Diagrami

Kazalo:

Diagrami
Diagrami

Video: Diagrami

Video: Diagrami
Video: Урок 7. Диаграммы в Excel для начинающих 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Diagrami

Prvič objavljeno v 28. avgust 2001; vsebinska revizija čet 13. dec. 2018

Vsi se ukvarjamo in uporabljamo utemeljeno sklepanje, vendar sklep, ki ga dejansko izvajamo, se na različne načine razlikuje od sklepov, ki jih preučuje večina (formalnih) logikov. Obrazložitev, ki jo izvajajo ljudje, običajno vključuje informacije, pridobljene z več kot enim medijem. Nasprotno, formalna logika se je doslej ukvarjala predvsem z veljavnim sklepanjem, ki temelji na informacijah samo v eni obliki, torej v obliki stavkov. V zadnjem času se mnogi filozofi, psihologi, logiki, matematiki in računalničarji vse bolj zavedajo pomena večmodalnega sklepanja, poleg tega pa je bilo izvedenih veliko raziskav na področju ne-simboličnih, zlasti shematskih, reprezentativnih sistemov. [1] Ta vnos opisuje splošne smeri tega novega raziskovalnega področja in se osredotoča na logični status diagramov v dokazih, njihovo reprezentacijsko funkcijo in ustreznost, različne vrste shematičnih sistemov in vlogo diagramov pri spoznavanju ljudi.

  • 1. Uvod
  • 2. Diagrami kot reprezentativni sistemi

    • 2.1 Eulerjevi diagrami
    • 2.2 Vennovi diagrami
    • 2.3 Peirceov podaljšek
    • 2.4 Diagrami kot formalni sistemi
    • 2.5 Eulerjevi krogi so bili znova objavljeni
  • 3. Posledice prostorskih lastnosti diagramov

    • 3.1 Omejitve pri shematski predstavitvi in sklepanju
    • 3.2 Učinkovitost diagramov
  • 4. Diagramski sistemi v geometriji

    • 4.1 Pogledi na diagramih Euclid je iz 4 th BCE stoletja do 20 th stoletja CE
    • 4.2 Natančno / korektno razlikovanje Mandersa in problem splošnosti

      • 4.2.1 Natančno / korektno razlikovanje
      • 4.2.2 Problem splošnosti konstrukcij Euclid
    • 4.3 Formalni sistemi FG in Eu
  • 5. Diagrami in spoznavanje, aplikacije

    • 5.1 Nekateri drugi diagramatični sistemi
    • 5.2 Diagrami kot mentalne reprezentacije
    • 5.3 Kognitivna vloga diagramov
  • Povzetek
  • Bibliografija

    • Reference
    • Ustrezna literatura
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Uvod

Diagrami ali slike verjetno sodijo med najstarejše oblike človeške komunikacije. Ne uporabljajo se samo za reprezentacijo, ampak jih lahko uporabimo tudi za izvedbo določenih vrst sklepanja, zato imajo posebno vlogo v logiki in matematiki. Vendar so sistemi sodobnega predstavljanja (npr. Logika prvega reda) prevladujoči v sodobni zgodovini logike, medtem ko so diagrami večinoma obravnavani le kot obrobni interesi. Diagrami so navadno sprejeti kot hevristično orodje pri raziskovanju dokaza, vendar ne kot del dokaza. [2] Med filozofi, logiki, kognitivnimi in računalniškimi strokovnjaki je dokaj nedavno gibanje, ki se osredotoča na različne vrste predstavitvenih sistemov, veliko raziskav pa je bilo usmerjenih zlasti na sistematične sisteme reprezentacije.

Izzivi dolgoletnih predsodkov proti shematski predstavitvi so tisti, ki delajo na večmodalnem sklepanju, uporabili različne pristope, ki jih lahko razvrstimo v tri različne skupine. Eno vejo raziskovanja lahko najdemo v filozofiji uma in kognitivni znanosti. Ker so meje jezikovnih oblik jasne tistim, ki se ukvarjajo z duševno reprezentacijo in sklepanjem, so nekateri filozofi in kognitivni znanstveniki to novo smer večmodalnega sklepanja sprejeli z navdušenjem in raziskovali človeško sklepanje in miselno reprezentacijo, ki vključujejo nejezikovne oblike (Cummins 1996; Chandrasekaran in sod., 1995). Drugi sklop dela na diagramatičnem sklepanju kaže, da med simboličnimi in diagramatičnimi sistemi ni nobene bistvene razlike, kolikor gre za njihov logični status. Nekateri logiki so predstavili študije primerov, s katerimi dokazujejo, da so lahko shematični sistemi zdravi in dovršeni v istem pomenu kot simbolni sistemi. Ta vrsta rezultatov je neposredno ovrgla splošno veljavno domnevo, da so diagrami sami po sebi zavajajoči, in odpravila teoretične ugovore glede diagramov, ki se uporabljajo v dokazih (Shin 1994; Hammer 1995a). Tretjo smer multi-modalnega sklepanja so ubrali računalniški znanstveniki, katerih zanimanje je veliko bolj praktično kot zanimanje drugih skupin. Ni tako presenetljivo, da so tisti, ki delujejo na številnih področjih računalništva - na primer predstavitev znanja, oblikovanje sistemov, vizualno programiranje, oblikovanje GUI in tako v tem novem konceptu "heterogenega sistema" našli nove in vznemirljive priložnosti in uvedli shematično reprezentacije na svojih raziskovalnih področjih.

Za ta vnos imamo naslednje cilje. Najprej bi radi bralca seznanili s podrobnostmi nekaterih specifičnih sistematičnih sistemov. Obenem bo v prispevku obravnaval teoretična vprašanja z raziskovanjem narave shematske predstavitve in sklepanja v smislu izrazne moči in pravilnosti. Študija primera drugega odseka ne bo samo zadovoljila našega prvega cilja, ampak nam bo zagotovila tudi trdno gradivo za bolj teoretično in splošno razpravo v tretjem razdelku. Četrti oddelek predstavlja drugo študijo primera in jo obravnava ob upoštevanju splošne razprave tretjega oddelka. Kot že omenjeno, je tema diagramov pritegnila veliko pozornosti s pomembnimi rezultati z mnogih različnih raziskovalnih področij. Zatonaš peti odsek želi predstaviti različne pristope k shematičnemu sklepanju na različnih področjih.

Za nadaljnjo razpravo moramo razjasniti dve povezani, vendar različni uporabi besede 'diagram': diagram kot notranja miselna reprezentacija in diagram kot zunanja reprezentacija. Naslednji citat Chandrasekaran et al. (1995: str. Xvii) strnjeno povzema razlikovanje med notranjimi in zunanjimi shematičnimi predstavitvami:

  • Zunanje shematske predstavitve: agent jih zgradi na mediju v zunanjem svetu (papir itd.), Vendar so mišljeni kot predstavniki s strani agenta.
  • Notranji diagrami ali slike: Vsebujejo (sporne) notranje predstavitve, ki imajo nekatere slikovne lastnosti.

Kot bomo videli spodaj, se logiki osredotočajo na zunanje shematične sisteme, razprava o sliki filozofov uma in kognitivnih znanstvenikov gre predvsem za notranje diagrame, raziskovanje kognitivne vloge diagramov pa se dotika obeh oblik.

2. Diagrami kot reprezentativni sistemi

Prevlada sentencialnih predstavitvenih sistemov v zgodovini moderne logike je zasenčila več pomembnih dejstev o shematičnih sistemih. Eden od njih je, da je bilo pred ero sodobne logike kot hevristično orodje na razpolago več znanih shematskih sistemov. Eulerjevi krogi, Vennovi diagrami in kvadrati Lewisa Carrolla se pogosto uporabljajo za nekatere vrste silogističnega sklepanja (Euler 1768; Venn 1881; Carroll 1896). Druga zanimiva, a zanemarjena zgodba je, da je ustanovitelj moderne simbolne logike Charles Peirce ne samo revidiral Vennove diagrame, ampak je izumil tudi grafični sistem Existential Graphs, za katerega se je izkazalo, da je enakovreden predikatnemu jeziku (Peirce 1933; Roberts 1973; Zeman 1964).

Ti obstoječi diagrami so navdihnili tiste raziskovalce, ki so pred kratkim opozorili na večmodalno reprezentacijo. Logiki, ki sodelujejo v projektu, so to temo raziskovali na dva različna načina. Prvič, njihovo zanimanje se je v nasprotju z notranjimi miselnimi reprezentacijami osredotočilo izključno na predstavljene sisteme navzven. Drugič, njihov namen je bil ugotoviti logično stanje sistema, ne pa razložiti njegove hevristične moči s preizkušanjem pravilnosti in izrazne moči sistemov selektivnega predstavljanja. Če sistem ne opraviči svoje trdnosti ali če je njegova izrazna moč preveč omejena, bo zanimanje logike za ta jezik zbledelo (Sowa 1984; Shin 1994).

V tem razdelku preučujemo zgodovinski razvoj diagramov Euler in Venn kot študijo primera, da ponazorimo na naslednje vidike: Prvič, ta postopek nam bo pokazal, kako se je enostavna matematikova enostavnost glede načrtovanja silogističnega sklepanja postopoma razvila v formalni sistem predstavitve. Drugič, opazili bomo različne poudarke na različnih stopnjah razširitve in spreminjanja shematičnega sistema. Tretjič in s tem povezano, ta zgodovinski razvoj ponazarja zanimivo napetost in kompromis med izrazno močjo in vizualno jasnostjo diagramov. Najpomembneje je, da bo bralec priča logikom, ki se spopadajo z vprašanjem, ali obstaja kakršen koli notranji razlog, da bi nam zaznavni sistemi, ne pa shematski, lahko zagotovili natančne dokaze,in njihov uspeh pri odgovoru na to vprašanje negativno.

Zato bralca ne bo presenetil naslednji sklep, ki sta ga naredila Barwise in Etchemendy, prva logika, ki sta začela logično preiskavo shematičnih dokazov,

ni načelnega razlikovanja med sklepnimi formalizmi, ki uporabljajo besedilo, in tistimi, ki uporabljajo diagrame. Lahko imamo stroge, logično zdrave (in popolne) formalne sisteme, ki temeljijo na diagramih. (Barwise & Etchemendy 1995: 214)

To prepričanje je bilo potrebno za rojstvo njihovega inovativnega računalniškega programa Hyperproof, ki sprejema tako jezike prvega reda kot tudi diagrame (v večmodalnem sistemu) za poučevanje osnovnih tečajev logike (Barwise in Etchemendy 1993 in Barwise & Etchemendy 1994).

2.1 Eulerjevi diagrami

Leonhard Euler, matematik iz 18. stoletja, je za ponazoritev silogističnega sklepanja (Euler 1768) sprejel zaprte krivulje. Štiri vrste kategoričnih stavkov ga predstavljajo, kot prikazuje slika 1.

Štirje primeri: prvi z oznako „Vsi A so B“ima notranji krog z oznako „A“, ki je v celoti znotraj zunanjega kroga z oznako „B“; drugi z oznako „Ne A je B“ima dva kroga, ki se ne prekrivata, enega z oznako „A“in drugega „B“; tretji z oznako "Nekateri A je B" ima dva kroga, ki se prekrivata, prekrivanje je označeno z "A" in bit nerazkrivajočega se kroga enega kroga je "B"; četrti primer z oznako „Nekateri A ni B“ima dva kroga, ki se prekrivata, bit ne prekrivajočega se enega označuje z „A“, bit drugega, ki se prekriva, pa je označen s „B“
Štirje primeri: prvi z oznako „Vsi A so B“ima notranji krog z oznako „A“, ki je v celoti znotraj zunanjega kroga z oznako „B“; drugi z oznako „Ne A je B“ima dva kroga, ki se ne prekrivata, enega z oznako „A“in drugega „B“; tretji z oznako "Nekateri A je B" ima dva kroga, ki se prekrivata, prekrivanje je označeno z "A" in bit nerazkrivajočega se kroga enega kroga je "B"; četrti primer z oznako „Nekateri A ni B“ima dva kroga, ki se prekrivata, bit ne prekrivajočega se enega označuje z „A“, bit drugega, ki se prekriva, pa je označen s „B“

Slika 1: Eulerjevi diagrami

Za dva univerzalna stavka sistem na intuitiven način sprejme prostorske odnose med krogi: Če je krog z oznako "A" vključen v krog z oznako "B", potem diagram predstavlja informacijo, da je vse A B. Če med dvema krožnicama ni prekrivajočega se dela, potem diagram prikazuje informacije, da noben A ni B.

To zastopanje ureja naslednja konvencija: [3]

Vsakemu predmetu x v domeni je dodeljena edinstvena lokacija, recimo l (x), v ravnini, tako da je l (x) v območju R, če in samo, če je x član niza, ki ga predstavlja območje R.

Moč tega upodabljanja je v dejstvu, da je objekt, ki je član niza, zlahka zasnovan kot objekt, ki sodi znotraj nabora, tako kot se na lokacijah na strani misli, da spadajo znotraj ali zunaj narisanih krogov. Moč sistema je tudi v tem, da niso potrebne dodatne konvencije za določitev pomenov diagramov, ki vključujejo več krogov: odnosi med množicami se potrjujejo z enakimi odnosi med krogi, ki jih predstavljajo. Reprezentacije obeh univerzalnih stavkov, "Vsi A so B" in "Ne A je B", ponazarjajo to moč sistema.

Če preidemo na dve eksistencialni trditvi, ta jasnost ni ohranjena. Euler utemeljuje diagram "Nekateri A je B", ki pravi, da lahko vizualno sklepamo, da je nekaj v A tudi v B, ker je del področja A v območju B (Euler 1768: 233). Očitno je sam Euler menil, da je v tem primeru in v splošnih izjavah mogoče uporabiti enako vrsto vizualnega zadrževalnega razmerja med področji. Vendar Eulerjevo prepričanje ni pravilno in to zastopanje povzroča škodljivo dvoumnost. V tem diagramu ni samo del kroga A, ki ga vsebuje območje B (kot opisuje Euler), ampak je naslednje: (i) del kroga B je v območju A (ii) del kroga A ni v krog B (iii) del kroga B ne vsebuje kroga A. Tretji diagram je mogoče prebrati kot »Nekaj B je A," Nekateri A niso B "in" nekateri B niso A "ter" nekateri A so B. " Da bi se izognili tej dvoumnosti, moramo vzpostaviti še več konvencij.[4]

Eulerjevi lastni primeri lepo prikazujejo prednosti in slabosti njegovega shematskega sistema.

Primer 1. Vsi A so B. Vsi C so A. Zato so vsi C B.

Trije koncentrični krogi, od katerih je notranji označen s „C“, naslednji z „A“in najbolj zunanji z „B“
Trije koncentrični krogi, od katerih je notranji označen s „C“, naslednji z „A“in najbolj zunanji z „B“

Primer 2. Ne A je B. Vsi C so B. Zato noben C ni A.

Na levi je krog z oznako „A“in na desni dva koncentrična kroga, notranji je označen s „C“in zunanji z „B“
Na levi je krog z oznako „A“in na desni dva koncentrična kroga, notranji je označen s „C“in zunanji z „B“

V obeh primerih lahko bralec zlahka sklepa, kar ponazarja vizualno močne značilnosti Eulerjevih diagramov. Ko pa so predstavljene eksistencialne izjave, stvari postanejo bolj zapletene, kot je razloženo zgoraj. Na primer:

Primer 3. Ne A je B. Nekaj C je A. Zato nekateri C niso B.

Noben sam diagram ne more predstavljati obeh premis, saj razmerja med skupinama B in C ni mogoče v celoti določiti v enem samem diagramu. Namesto tega Euler predlaga naslednje tri možne primere:

Trije primeri: Primer 1 ima na levi dve krogi, ki se prekrivata, prekrivanje je označeno s „C“, odsek prvega kroga, ki se ne prekriva, pa z oznako „A“; na desni in ločeno je tretji krog z oznako "B". Primer 2 ima tri kroge, dva od krogov se prekrivata, odsek prekrivanja pa je označen s „C“, odsek prvega kroga, ki se ne prekriva, pa je označen s „A“; v drugem krogu, ki se ne prekriva, je tretji krog z oznako „B“. Primer 3 je podoben primeru 2, le da tretji krog ni popolnoma znotraj odseka drugega kroga, ki se ne prekriva; odsek tretjega kroga zunaj drugega kroga je označen z „B“
Trije primeri: Primer 1 ima na levi dve krogi, ki se prekrivata, prekrivanje je označeno s „C“, odsek prvega kroga, ki se ne prekriva, pa z oznako „A“; na desni in ločeno je tretji krog z oznako "B". Primer 2 ima tri kroge, dva od krogov se prekrivata, odsek prekrivanja pa je označen s „C“, odsek prvega kroga, ki se ne prekriva, pa je označen s „A“; v drugem krogu, ki se ne prekriva, je tretji krog z oznako „B“. Primer 3 je podoben primeru 2, le da tretji krog ni popolnoma znotraj odseka drugega kroga, ki se ne prekriva; odsek tretjega kroga zunaj drugega kroga je označen z „B“

Euler trdi, da je trditev „Nekateri C ni B“mogoče prebrati z vseh teh diagramov. Vendar še zdaleč ni vizualno jasno, kako prva dva primera vodijo uporabnika k branju tega predloga, saj lahko uporabnik iz primera 1 prebere "Ne C je B" in "Vsi B je C" iz primera 2.

Zato predstavitev eksistencialnih stavkov ne samo zasenči vizualne jasnosti Eulerjevih krogov, ampak tudi povzroča resne interpretacijske težave sistema. Kot kaže, je Euler sam prepoznal to potencialno težavo in predstavil novo skladenjsko napravo '*' (ki predstavlja praznino) kot poskus popraviti to napako (1768: pismo 105).

Vendar pa je resnejša pomanjkljivost ugotovljena, ko ta sistem v enem samem diagramu ne predstavlja nekaterih združljivih (torej konsistentnih) informacij. Na primer, Eulerjev sistem preprečuje, da bi narisali en diagram, ki predstavlja naslednje pare stavkov: (i) "Vsi A so B" in "Ne A je B" (ki sta skladni, če je A prazen niz). (ii) "Vsi A so B" in "Vsi B so A" (ki sta skladni, če je A = B). (iii) "Nekateri A so B" in "Vsi A so B". (Recimo, da smo narisali Eulerjev diagram za nekdanji predlog in poskušali k obstoječemu diagramu dodati nov združljiv podatek, tj. Slednjega.) Ta pomanjkljivost je tesno povezana z Vennovo motivacijo za njegov lastni sistemski sistem (glej poglavje 3.1 za druge pomanjkljivosti Eulerjevega sistema).

2.2 Vennovi diagrami

Vennova kritika Eulerjevih krogov je povzeta v naslednjem odlomku:

Šibka točka tega [Eulerjevih diagramov] in v vseh podobnih shemah je sestavljena iz dejstva, da le strogo prikazujejo dejanski odnos razredov med seboj, ne pa nepopolnega poznavanja teh odnosov, ki jih lahko imamo, ali morda želijo posredovati s predlogom. (Venn 1881: 510)

Zaradi svoje strogosti Eulerjev sistem včasih ne predstavi doslednih informacij v enem samem diagramu, kot je prikazano zgoraj. Poleg te izrazne omejitve Eulerjev sistem zaradi topoloških omejitev ravninskih figur trpi tudi druge vrste izraznih omejitev v zvezi s praznimi množicami (glej poglavje 3.1).

Vennov novi sistem (1881) je moral preseči te izrazite omejitve, da bi lahko predstavljali delne informacije. Rešitev je bila njegova ideja o "primarnih diagramih". Primarni diagram predstavlja vse možne teoretične relacije med številnimi množicami, ne da bi glede njih prevzel kakršne koli eksistenčne zaveze. Slika 2 na primer prikazuje primarni diagram o nizih A in B.

dva prekrivajoča se kroga, prvi z oznako "A" in drugi z oznako "B"
dva prekrivajoča se kroga, prvi z oznako "A" in drugi z oznako "B"

Slika 2: Vennovi primarni diagrami

Po Vennovem sistemu ta diagram ne vsebuje nobenih posebnih informacij o razmerju med tema dvema sklopoma. To je glavna razlika med Eulerjevim in Vennovim diagramom.

Za predstavitev univerzalnih stavkov, za razliko od vizualno jasnih prostorskih zadrževalnih razmer v primeru Eulerjevih diagramov, je Vennova rešitev "senčenje [ustrezna področja] ven" (Venn 1881: 122). Z uporabo te skladenjske naprave dobimo diagrame za univerzalne stavke, kot je prikazano na sliki 3.

Dva Vennova diagrama. Prvi je naslov „Vsi A so B“in je sestavljen iz dveh prekrivajočih se krogov z oznako „A“in „B“, odsek A, ki se ne prekriva z B, je senčen. Drugi je z naslovom „Ne A je B“in je sestavljen tudi iz dveh prekrivajočih se krogov z oznakama „A“in „B“, prekrivanje obeh krogov pa je zasenčeno
Dva Vennova diagrama. Prvi je naslov „Vsi A so B“in je sestavljen iz dveh prekrivajočih se krogov z oznako „A“in „B“, odsek A, ki se ne prekriva z B, je senčen. Drugi je z naslovom „Ne A je B“in je sestavljen tudi iz dveh prekrivajočih se krogov z oznakama „A“in „B“, prekrivanje obeh krogov pa je zasenčeno

Slika 3: Vennovo senčenje

Vennova izbira senčenja morda ni povsem arbitrarna, saj bi lahko senčenje razlagalo kot vizualizacijo nastavljene praznine. Vendar je treba opozoriti, da je senčenje nova skladenjska naprava, ki je Euler ni uporabljal. Ta revizija je sistemu omogočila prilagodljivost, tako da so lahko nekateri združljivi podatki predstavljeni v enem samem diagramu. V nadaljevanju diagram na levi strani združuje dva podatka, "Vsi A so B" in "Ne A je B", da vizualno prenesejo informacije "Nič ni A." Diagram na desni, ki predstavlja "Vsi A so B" in "Vsi B so A", jasno kaže, da je A isto kot B:

Dva Vennova diagrama: prvi ima dva prekrivajoča se kroga z oznakama "A" in "B"; krog A je zasenčen. Drugi sta tudi dva kroga, ki se prekrivata z oznakama "A" in "B", oba kroga sta zasenčena, razen če se prekrivata
Dva Vennova diagrama: prvi ima dva prekrivajoča se kroga z oznakama "A" in "B"; krog A je zasenčen. Drugi sta tudi dva kroga, ki se prekrivata z oznakama "A" in "B", oba kroga sta zasenčena, razen če se prekrivata

Pravzaprav se z uporabo primarnih diagramov izognemo tudi nekaterim drugim težavam s ekspresivnostjo (povezanih s prostorskimi lastnostmi objektov diagramov), ki jih obravnavamo spodaj, v razdelku 3. Presenetljivo je Venn molčal o predstavitvi eksistencialnih stavkov, kar je bila še ena težava Eulerjevih diagramov. Lahko si samo predstavljamo, da bi Venn morda uvedel drugo vrsto skladenjskega predmeta, ki predstavlja eksistencialno zavezo. To je storil Charles Peirce približno dvajset let pozneje.

2.3 Peirceov podaljšek

Peirce poudarja, da Vennov sistem ne more predstavljati naslednjih vrst informacij: eksistencialne izjave, disjunktivne informacije, verjetnosti in odnosi. Peirce je želel razširiti Vennov sistem v ekspresivni moči glede na prvi dve vrsti propozicij, tj. Eksistencialnih in disjunktivnih izjav. Ta razširitev je bila zaključena s pomočjo naslednjih treh naprav. (i) Vennovo senčenje, ki predstavlja praznino, nadomestite z novim simbolom "o". (ii) Vstavite znak „x“za eksistencialni uvoz. (iii) Za disjunktivne informacije vnesite linearni simbol "-", ki povezuje "o" in "x".

Slika 4 na primer predstavlja izjavo: "Vsi A so B ali nekaj A je B", ki jih niti en Eulerjev niti Vennov sistem ne moreta predstavljati v enem samem diagramu.

Dva prekrivajoča se kroga z oznakama "A" in "B"; v notranjosti prekrivanja je nalepka „x“, v notranjosti ne prekrivajočega se bita kroga A je nalepka „o“; črta povezuje 'x' z 'o'
Dva prekrivajoča se kroga z oznakama "A" in "B"; v notranjosti prekrivanja je nalepka „x“, v notranjosti ne prekrivajočega se bita kroga A je nalepka „o“; črta povezuje 'x' z 'o'

Slika 4: Peirceov diagram

Razlog, da je Peirce nadomeščal Vennovo senčenje zaradi praznine s simbolom 'o', se zdi očiten: povezave senčil ali senčil in 'x' ne bi bilo enostavno, da bi predstavljali disjunktivne informacije. Peirce je na ta način povečal ekspresivno moč sistema, a ta sprememba ni bila brez njegovih stroškov.

Naslednji diagram na primer predstavlja predlog „Ali vsi A so B in nekateri A so B ali noben A je B in nekateri B niso A“:

dva prekrivajoča se kroga z oznakama "A" in "B"; prvič, znotraj odseka kroga A, ki se ne prekriva, je „o“, povezan s črto in „o“znotraj prekrivanja; drugič, tudi v odseku kroga A, ki se ne prekriva, je drug „o“, povezan s črto na „x“, v odseku kroga „B“, ki se ne prekriva; tretji del prekrivajočega se odseka obeh krogov sta 'x in' o ', povezan s črto; četrtič „x“v odseku, ki se prekriva, povezan s črto do „x“v odseku kroga B., ki se ne prekriva
dva prekrivajoča se kroga z oznakama "A" in "B"; prvič, znotraj odseka kroga A, ki se ne prekriva, je „o“, povezan s črto in „o“znotraj prekrivanja; drugič, tudi v odseku kroga A, ki se ne prekriva, je drug „o“, povezan s črto na „x“, v odseku kroga „B“, ki se ne prekriva; tretji del prekrivajočega se odseka obeh krogov sta 'x in' o ', povezan s črto; četrtič „x“v odseku, ki se prekriva, povezan s črto do „x“v odseku kroga B., ki se ne prekriva

Za branje tega diagrama je potrebno več kot branje vizualne omejitve med krogi (kot v Eulerjevih diagramih) ali senčenja (kot v Vennovih diagramih), zahtevajo pa tudi dodatne konvencije za branje kombinacij simbolov 'o,' x x 'in črt. Nove konvencije Peircea so povečale ekspresivno moč posameznih diagramov, vendar je samovoljnost njegovih konvencij in bolj zmedeno predstavljanje (na primer zgornji diagram) žrtvovala vizualno jasnost, ki jo uživa Eulerjev originalni sistem. Na tej točki Peirce sam prizna, da "obstaja izrazita zapletenost izraza, ki je bistven za pomen" (Peirce 1933: 4.365). Tako se je po Peircevi reviziji končala večina izgubljenih Eulerjevih prvotnih idej o vizualizaciji, le da se geometrijski predmet (krog) uporablja za predstavljanje (morda praznih) sklopov.

Še en pomemben prispevek Peircea k preučevanju diagramov se začne z naslednjo opombo:

"Pravilo" se tukaj uporablja v smislu, v katerem govorimo o "pravilih" algebre; torej kot dovoljenje pod strogo določenimi pogoji. (Peirce 1933: 4.361)

Peirce je bil verjetno prva oseba, ki je razpravljala o pravilih preobrazbe v nesmiselnem zastopniškem sistemu. Na enak način, kot nam pravila algebre povedo, katere transformacije simbolov so dovoljene in katere ne, tako tudi pravila manipulacije diagramov. Nekatera od Piercevih šestih pravil je potrebovala več razjasnitev in izkazalo se je, da so nepopolna - težava, ki jo je predvideval sam Peirce. Še pomembneje pa je, da Peirce ni imel nobenega teoretičnega orodja - jasnega razlikovanja med sintakso in semantiko -, da bi bralca prepričal, da je vsako pravilo pravilno, ali da ugotovi, ali je potrebnih več pravil. To pomeni, da je ostala pomembna njegova intuicija (da lahko obstajajo pravila preoblikovanja diagramov).

2.4 Diagrami kot formalni sistemi

Shin (1994) spremlja delo Peircea v dveh smereh. Eno je izboljšati Peirceovo različico Vennovih diagramov, drugo pa je dokazati trdnost in popolnost tega revidiranega sistema.

Shinovo delo spremeni Peircejeve spremembe Vennovih diagramov, da doseže povečanje izrazne moči brez tako hude izgube vidne jasnosti. Ta revizija je narejena v dveh stopnjah: (i) Venn-I: zadrži Vennove sence (za praznino), Peirceovo "x" (za eksistenčni uvoz) in Peirceovo povezovalno črto med 'x (za ločitvene informacije). (ii) Venn-II: Ta sistem, za katerega je dokazano, da je logično enakovreden monadični predikatni logiki, je enak kot Venn-I, le da je na novo uvedena povezovalna črta med diagrami za prikaz disjunktivnih informacij.

Če se vrnemo k enemu od Eulerjevih primerov, bomo jasno videli kontrast med temi različicami:

Primer 3. Ne A je B. Nekaj C je A. Zato nekateri C niso B.

Euler priznava, da ni mogoče sestaviti nobenega Eulerjevega diagrama, ki bi predstavljal prostore, vendar je treba narisati tri možne primere. Vennov sistem molči o eksistencialnih izjavah. Zdaj Peircejeva in Shinova sistema predstavljata ta dva prostora v enem samem diagramu, kot sledi:

Dva diagrama, sestavljena iz treh krogov, ki se prekrivajo z oznakami "A", "B" in "C". Prvi diagram z naslovom "Peirce" ima v prekrivanju vseh treh krogov "x", povezan z "x", v prekrivanju samo krogov A in C; ima v prekrivanju vseh treh krogov tudi 'o' in tudi 'o' v prekrivanju samo krogov A in B. Drugi diagram, ki nosi naslov Shin, ima v prekrivanju vseh treh krogov 'x' 'povezan z' x 'v prekrivanju samo krogov A in C; prekrivanje A in B je zasenčeno
Dva diagrama, sestavljena iz treh krogov, ki se prekrivajo z oznakami "A", "B" in "C". Prvi diagram z naslovom "Peirce" ima v prekrivanju vseh treh krogov "x", povezan z "x", v prekrivanju samo krogov A in C; ima v prekrivanju vseh treh krogov tudi 'o' in tudi 'o' v prekrivanju samo krogov A in B. Drugi diagram, ki nosi naslov Shin, ima v prekrivanju vseh treh krogov 'x' 'povezan z' x 'v prekrivanju samo krogov A in C; prekrivanje A in B je zasenčeno

V primeru Šinovega diagrama je Vennova senčna konvencija o praznini, v nasprotju s Peirceovim 'o', bralca bistveno bolj naravno pripeljati do sklepa »Nekaj C ni B« kot v primeru Peircejevega diagrama.

Vendar Venn-I ne more izraziti disjunktivnih informacij med univerzalnimi izjavami ali med univerzalnimi in eksistencialnimi izjavami. Zadržuje izrazno moč Venn-I, Venn-II omogoča povezovanje diagramov s črto. Peircejev zmeden pogled zgoraj je enakovreden naslednjem Venn-II diagramu:

Dva pravokotnika, povezana s črto, vsak vsebuje dva prekrivajoča se kroga; v prvem pravokotniku prekrivanje obeh krogov vsebuje 'x' in odsek prvega kroga, ki se ne prekriva, je senčen; v drugem pravokotniku je del prekrivanja obeh krogov zasenčen, v delu, ki se ne prekriva, v drugem krogu 'x'
Dva pravokotnika, povezana s črto, vsak vsebuje dva prekrivajoča se kroga; v prvem pravokotniku prekrivanje obeh krogov vsebuje 'x' in odsek prvega kroga, ki se ne prekriva, je senčen; v drugem pravokotniku je del prekrivanja obeh krogov zasenčen, v delu, ki se ne prekriva, v drugem krogu 'x'

Poleg te revizije je Shin (1994) vsak od teh dveh sistemov predstavil kot standardni formalni sistem predstavitve, opremljen z lastno skladnjo in semantiko. Skladnja nam pove, kateri diagrami so sprejemljivi, torej kateri so dobro oblikovani in katere manipulacije so dovoljene v vsakem sistemu. Semantika definira logične posledice med diagrami. Z uporabo teh orodij je dokazano, da so sistemi zdravi in popolni, v istem smislu, kot so nekatere simbolične logike.

Ta pristop je predstavljal temeljni izziv nekaterim predpostavkam o predstavniških sistemih. Od razvoja moderne logike so pomembni pojmi, npr. Skladnja, semantika, sklepanje, logična posledica, veljavnost in popolnost, uporabljeni le za sentencialne predstavitvene sisteme. Vendar pa se nobena od teh ni izkazala za lastno le tem tradicionalnim simbolnim logikam. Za vsak predstavitveni sistem, naj bo to sentencialni ali shematični, lahko razpravljamo o dveh ravneh, skladenjski in semantični. Pravila sklepanja nam sporočajo, kako lahko z določeno enoto, bodisi simbolično ali diagramatično, manipuliramo z drugo. Opredelitev logične posledice je tudi brez kakršne koli posebne oblike predstavitvenega sistema. Isti argument velja za trdnost in dokaze o popolnosti. Ko se sistem dokaže, da je dober,to bi morali sprejeti v dokazih. Pravzaprav veliko aktualnih raziskav raziskuje uporabo diagramov pri avtomatiziranem dokazovanju teorem (glej Barker-Plummer in Bailin 1997; Jamnik in sod., 1999).

2.5 Eulerjevi krogi so bili znova objavljeni

Zanimivo in pomembno je opaziti, da imajo postopne spremembe, izvedene od Eulerjevih krogov do Shinovih sistemov, eno skupno temo: povečati ekspresivno in logično moč sistema, tako da je zvok, popolnost in logično enakovreden monadični predikatni logiki. Glavna revizija od Eulerjevih do Vennovih diagramov, ki uvaja primarne diagrame, nam omogoča delno znanje o odnosih med sklopi. Razširitev z diagramov Venn na Peirce je narejena tako, da se lahko eksistencialne in ločitvene informacije predstavljajo učinkoviteje.

Tako Venn kot Peirce sta sprejela istovrstno rešitev, da bi dosegla te izboljšave: uvesti nove skladenjske predmete, torej senčenja po Vennu, in 'x's,' o ', in vrstice Peirce. Z negativne strani pa ti revidirani sistemi trpijo zaradi izgube jasnosti vida, kot je razvidno zgoraj, predvsem zaradi uvedbe več arbitrarnih konvencij. Spremembe od Peirce do Shin diagramov se osredotočajo na obnavljanje vizualne jasnosti, vendar brez izgube izrazne moči.

Hammer in Shin se ločita drugačne poti od teh revizij: Oživiti Eulerjev homomorfni odnos med krogi in zajemanje sklopov med krogi predstavlja razmerje podmnožice med množicami, ne prekrivanje regij pa predstavlja ločen odnos - in hkrati sprejetje Vennovi primarni diagrami so privzeti. Po drugi strani revidirani Eulerjev sistem ni samozadostno orodje za silogistično sklepanje, saj ne more predstavljati eksistencialnih trditev. Več podrobnosti o tem spremenjenem sistemu najdete v (Hammer & Shin 1998).

Ta študija primera sproža zanimivo vprašanje za nadaljnje raziskave diagramatičnega sklepanja. Zdi se, da se skozi različni razvoj Eulerjevih diagramov povečuje njegova izrazna moč in povečuje njegova vizualna jasnost. Glede na namene moramo dati prednost enemu nad drugim. Nadomestni sistem Hammer in Shin ponuja preprost model za razvoj drugih učinkovitih nesmiselnih predstavniških sistemov, ki je vse bolj pozorna na področju računalništva in kognitivnih znanosti.

3. Posledice prostorskih lastnosti diagramov

Medtem ko si lahko diagrami pogosto privoščijo enak logični status kot formule (kot je navedeno zgoraj), še vedno obstajajo pomembne razlike (ki imajo lahko posledice za pravilnost sistema) med diagrami in tradicionalnimi linearnimi dokaznimi izračuni. Pomembno pri diagramih (prim. Russell 1923) je, da se prostorski odnosi med predmeti v diagramu lahko uporabljajo za predstavljanje odnosov med predmeti na neki drugi domeni. Sekvenčni jeziki (npr. Simbolična logika, naravni jeziki) pa za prikaz odnosov med predmeti uporabljajo le odnos konkanacinacije. Posebna reprezentativna uporaba prostorskih odnosov v primeru diagramov je neposredna in intuitivna, kot je razvidno iz razvoja Eulerjevih diagramov zgoraj, vendar ima tudi svoje nevarnosti - kot bomo razpravljali. Prostorske omejitve, ki so značilne za shematske sisteme,lahko pričakujemo, da bo pomemben vir njihovih prednosti in slabosti. Psihološka razmišljanja o človekovih zmožnostih za vizualno obdelavo informacij in spretnost kvalitativnega prostorskega sklepanja imajo tudi posledice za učinkovitost sklepanja z diagrami, vendar jih tukaj ne bomo raziskovali.

Posebna značilnost diagramov je, da se zaradi uporabe ravnih površin kot medija reprezentacije držijo določenih "nomičnih" ali "notranjih" omejitev. Ideja je, da sentencialni jeziki temeljijo na zvočnih signalih, ki so zaporedni po naravi, zato morajo imeti kompetentno kompleksno skladnjo za izražanje določenih razmerij, medtem ko diagrami, ki so dvodimenzionalni, lahko prikažejo nekatere odnose brez posredovanja zapletena skladnja (Stenning & Lemon 2001). Diagrami izkoriščajo to možnost - uporabo prostorskih odnosov za prikaz drugih odnosov. Vprašanje je; kako dobro lahko prostorski odnosi in predmeti predstavljajo druge (morda bolj abstraktne) predmete in odnose?

Logično sklepanje z diagrami se pogosto izvaja na podlagi prikaza vseh možnih modelov situacije, do topološke enakovrednosti diagramov (to je seveda odvisno od posameznega uporabljenega shematskega sistema). En sam diagram je pogosto abstrakcija nad skupino situacij in ko je narejen ustrezen diagram, lahko sklepe preprosto odčitamo s predstavitve brez nadaljnjih manipulacij. V nekaterih shematičnih sistemih (npr. Eulerjevi krogi) sklepamo tako, da pravilno sestavimo diagrame in preberemo informacije z njih. Kompleksnost uporabe sklepnih pravil v simbolni logiki v teh primerih nadomesti problem pravilnega risanja določenih diagramov. [5]Na primer, diagram Euler Circles si prizadeva zajeti razmerja med množicami z uporabo topoloških razmerij med ravninskimi območji tako, da prikazuje vse možne načine, kako bi lahko bila določena zbirka teoretičnih trditev resnična. To ima dve pomembni posledici: (1) če določenega diagrama ni mogoče sestaviti, mora biti opisana situacija nemogoča (imenovana "samo-doslednost") in (2), če je treba med objekti diagrama sestaviti določeno razmerje, potem ustrezni razmerje lahko sklepamo kot logično veljavno. (Glej številne primere v oddelku 2.) Ta pojav pogosto imenujemo "vožnja brez proste vožnje" (Barwise & Shimojima 1995). Ta slog diagramatičnega sklepanja je torej odvisen od določene reprezentativne uporabe diagramov - da predstavljajo razrede modelov. Če določenega razreda modelov ni mogoče predstaviti s shematičnim sistemom, teh primerov ne bomo upoštevali pri sklepanju, ki uporabljajo sistem, in napačni sklepi bodo lahko narisani. Zaradi tega dejstva je predstavitvena ustreznost shematičnih sistemov, omejena z njihovo prostorsko naravo, izjemnega pomena, kot bomo raziskovali zdaj.

3.1 Omejitve pri shematski predstavitvi in sklepanju

Reprezentativna uporaba prostorskih razmerij v ravnini na določene pomembne načine omejuje shematično predstavitev in zato sklepanje z diagrami. Zlasti obstajajo topološke in geometrijske (naj jih združimo kot "prostorske") lastnosti shematskih objektov in razmerja, ki omejujejo ekspresivno moč diagramatičnih sistemov. Na primer, v teoriji grafov je znano, da nekaterih preprostih struktur ni mogoče risati v ravnini. Na primer, graf K 5je graf, sestavljen iz 5 vozlišč, ki so vsaka povezana z lokom. Ta graf je neplanarni, kar pomeni, da ga ni mogoče narisati brez prečkanja vsaj dveh lokov. To je le vrsta omejitve pri možnih diagramih, ki omejuje izrazno moč shematskih sistemov. Ker se lahko shematično sklepanje pojavi s naštevanjem vseh možnih modelov situacije, zaradi te reprezentativne neustreznosti (vrsta nepopolnosti) mnogi shematični sistemi postanejo napačni, če se uporabljajo za logično sklepanje (npr. Glej kritiko Englebretsena 1992 v Lemon & Pratt 1998).

Morda je najbolj preprost primer tega Lemon in Pratt [6] (glej npr. 1997). Razmislite o Eulerjevih krogih, kjer konveksna območja ravnine predstavljajo množice, prekrivanje regij pa predstavlja neprazno presečišče ustreznih nizov. Rezultat konveksne topologije, znane kot Hellyjeva teorema, navaja (za dvodimenzionalni primer), da če ima vsaka trojica štirih konveksnih regij ne prazno presečišče, morajo imeti vsa štiri območja neprazno presečišče.

Če želite razumeti posledice tega, upoštevajte naslednji problem:

PRIMER 4. Z Eulerjevimi krogi predstavljajte naslednje prostore:

  • A ∩ B ∩ C ≠ ∅
  • B ∩ C ∩ D ≠ ∅
  • C ∩ D ∩ A ≠ ∅

Upoštevajte, da iz te teorije izhajajo samo trivialne posledice. Vendar Eulerjev diagram prostorov, kot je slika 5, privede do napačnega sklepa, da je A ∩ B ∩ C ∩ D ≠ ∅ (zaradi četrtinskega območja prekrivanja v sredini diagrama):

Štirje prekrivajoči se krogi z oznakami "A", "B", "C" in "D"
Štirje prekrivajoči se krogi z oznakami "A", "B", "C" in "D"

Slika 5: Eulerjevi krogi s predstavitvijo Hellyjevega teorema

Z drugimi besedami, uporabnik Euler Circles je prisiljen [7] predstavljati razmerje med množicami, ki logično ni potrebno. To pomeni, da obstajajo logično možne situacije, ki jih sistem ne more predstavljati, in da bi uporabnik napačno sklepal, če bi se na sistem skliceval na svoje razloge. Na splošno je to vrsto rezultatov mogoče ustvariti za več različnih tipov diagramatičnega sistema, odvisno od posebnih prostorskih razmerij in predmetov, ki jih uporabljajo pri predstavitvi - raziskovalni program, ki poteka.

Na primer, uporaba nekonveksnih področij (npr. "Blobs" namesto krogov) povzroči podobno težavo, le da so namesto Hellyjevega teorema vključeni neplanarni grafi. Podoben rezultat se nanaša na linearne diagrame za silogizme Englebretsen 1992, kjer črte uporabljajo za predstavljanje množic, točke predstavljajo posameznike, presečišče točk predstavlja sestavljanje, presečišče črt pa predstavlja presečišče. Spet planarnostne omejitve omejujejo ekspresivno moč sistema in vodijo do napačnih sklepov.

"To omejitev hipoteza" Atsushija Shimojima morda vse to povzame:

Reprezentacije so predmeti na svetu in kot takšni upoštevajo določene strukturne omejitve, ki urejajo njihovo možno tvorbo. Razlike v inferencialnem potencialu različnih načinov reprezentacije je v veliki meri posledica različnih načinov, kako se te strukturne omejitve reprezentacije ujemajo z omejitvami za cilje reprezentacije (Shimojima 1996a, 1999).

3.2 Učinkovitost diagramov

Kot je razloženo zgoraj, je veliko zanimanja za diagrame vzbudila trditev, da so nekako bolj "učinkoviti" od tradicionalnih logičnih predstavitev za določene vrste nalog. Zagotovo je na primer zemljevid večja pomoč pri navigaciji kot verbalni opis pokrajine. Čeprav obstajajo psihološke prednosti, ki jih je mogoče pridobiti z uporabo diagramov, pa so (kot v primeru Eulerjevih krogov) pogosto neučinkovite kot predstavljanje abstraktnih predmetov in odnosov. Ko je povsem intuitiven pojem, je mogoče nepsihološke trditve o "učinkovitosti" diagramatičnih sistemov preučiti z vidika standardnih formalnih lastnosti jezikov (Lemon in sod., 1999). Zlasti so številni shematični sistemi samosledni, napačni in nepopolni, zapletenost sklepanja diagramov pa je trdna. Nasprotno je večina smiselnih logik, čeprav lahko izraža nedoslednosti, popolna in pravilna[8].

Po drugi strani pa nam neznanje nasprotij lahko ponuja zanimiva spoznanja o naravi shematske predstavitve. Če je osrednji cilj jezika predstavljati svet ali stanje stvari, potem je predstavljanje nasprotij ali tavtologij postavljeno pod vprašaj. Niti protislovja niti tavtologije niso del sveta. Kako lahko narišemo ali posnamemo protislovje, da „dežuje in ne dežuje“? Kako je s sliko ločitvenih informacij, „ali dežuje ali ne dežuje“? Zdi se nam, da smo veliko bližje Wittgensteinovi klasični teoriji slike o jeziku (Wittgenstein 1921).

4. Diagramski sistemi v geometriji

Matematiki so veliko uporabljali in še naprej uporabljajo diagrame. Komunikacija matematičnih konceptov in dokazov v učbenikih na tabli - ni enakomerno smiselna. Številke in slike so pogoste. V skladu s prevladujočo predstavo o logiki kot bistveno smiselni pa se običajno ne misli, da igrajo vlogo pri strogih matematičnih sklepanju. Njihova uporaba je omejena na izboljšanje razumevanja dokazov. Standardno ne verjamejo, da so del dokaznega gradiva.

Odnos dobro ponazarja standardna ocena Euclidove metodologije v Elementih. Diagrami v nobenem matematičnem predmetu niso izrazitejši kot v osnovni geometriji, ki jo v besedilu razvija Euclid. Zdi se, da so dokazi v nekem smislu diagrami trikotnikov in krogov, ki se pojavljajo z njimi. To še posebej velja za geometrijske dokaze elementov. Diagrami za Euclid niso zgolj ponazoritveni. Nekateri njegovi sklepni koraki so odvisni od ustrezno sestavljenega diagrama. V standardni zgodbi ti koraki nakazujejo vrzeli v Euclidovih dokazih. Pokažejo, kako Euclid projekta razvoja geometrije ni v celoti izvedel aksiomatično.

Ken Manders se je odločil, da bo to zgodbo eksplodiral s svojim osnovnim delom "Evklidski diagram" (2008 [1995]). Njegova analiza Euclidove shematične metode dokazovanja razkriva, da Euclid diagrame uporablja nadzorovano, sistematično. Tako postavlja pod vprašaj skupno, negativno oceno strogosti elementov. Poleg tega posebnosti Mandersove analize kažejo, da je mogoče razumeti, da se dokazi besedila držijo formalne shematične logike. To je pozneje potrdilo tudi razvoj formalnih sistematičnih sistemov, oblikovanih za značilnost takšne logike. Prva izmed njih je bila FG (predstavljena v Miller 2007), za njo pa sistem Eu (Mumma 2010).

Ta razdelek je namenjen ponazoritvi Mandersove analize in formalnih sistemov, ki so iz tega izhajali. Po kratki raziskavi, kako so skozi stoletja gledali Euclidove diagrame, je predstavljena Mandersova slika njihove vloge v geometrijskih dokazih. Sledi opis, kako sistem FG in Eu upodabljata to sliko v formalnem smislu in opisujeta logiko evklidskih diagramov.

4.1 Pogledi na diagramih Euclid je iz 4 th BCE stoletja do 20 th stoletja CE

Osnovna geometrija elementov je bila sprejeta, da je temeljno za matematiko od svojih začetkov v antični Grčiji do 19 th stoletja. V skladu s tem so se filozofi, ki se ukvarjajo z naravo matematike, znali komentirati shematična dokazila besedila. Glavna težava, če ne osrednja tema, je bila težava splošnosti. Diagram, ki se prikaže z evklidskim dokazom, zagotavlja eno samo instanco vrste geometrijskih konfiguracij, za katere je dokaz. Vse lastnosti, ki jih v diagramu držijo, imajo vse konfiguracije danega tipa. Kaj upravičuje ta skok iz določenega v splošno?

Kot ponazoritev upoštevajte dokaz predloga 16 knjige I o elementih.

Predlog je:

V katerem koli trikotniku, če je izdelana ena od strani, je zunanji kot večji od notranjega in nasprotnega kota.

Euklidov dokaz je:

Trikotnik ABC z odsekom BC, ki se razširi na točko D, in črto BF, ki seka odsek AC
Trikotnik ABC z odsekom BC, ki se razširi na točko D, in črto BF, ki seka odsek AC
  • Naj bo ABC trikotnik in naj bo ena stran BC ustvarjena na D;
  • Pravim, da je kot ACD večji od notranjega in nasprotnega kota BAC.
  • Pustimo, da se AC razdeli na E [I, 10] in naj se BE poveže in proizvede v ravni črti F;
  • naj bo EF enakovreden BE [I, 3] in naj se FC pridruži.
  • Potem, ker je AE enak EC in BE enak EF, sta obe strani AE, EB enaki dvema stranema CE, EF; in kot AEB je enak kotu FEC [I, 15].
  • Zato je osnova AB enaka osnovni FC, trikotnik ABE pa je enak trikotniku CFE [I, 4], zato je kot BAE enak kotu ECF (ki je tudi kot ACF);
  • Toda kot ACD je večji od kota ACF;
  • Zato je kot ACD večji od BAE.

Zdi se, da se dokaz nanaša na dele diagrama, ki so bili dani z dokazilom. Kljub temu dokaz ni namen tega, da bi v diagramu ugotovili nekaj le o trikotniku, ampak nekaj o vseh trikotnikih. Diagram tako na nek način predstavlja vse trikotnike.

Vlogo diagramov kot reprezentacij je spomnil Aristotel v 10. poglavju knjige Posterior Analytics: Aristotel:

Geometer ne temelji na določeni črti, ki jo je narisal, kot je ta, ki jo je opisal, ampak [navaja] tisto, kar ponazarjajo slike. (Prevod je T. Heath, najdeno v Euclid 1956: vol. I, str. 119)

Aristotel se ne spopada z vprašanjem, kako geometer uporablja diagrame za razmišljanje o tem, kar ponazarjajo. Nekaj stoletij kasneje Proclus to stori v svojem komentarju Elementi. Proclus zatrjuje, da je prehod iz posameznega primerka v univerzalni zaključek upravičen, ker so geometri

… Objektov, prikazanih na diagramu, uporabljajte ne kot te posebne figure, temveč kot figure, ki so podobne drugim iste vrste. Kota pred menoj ni enaka takšni velikosti, kot da bi bil pravokoten in nič več … Predpostavimo, da je dani kot pravi kot … če ne uporabim njegove pravilnosti in upoštevam samo njegov pravokotnik Karakter bo predlog enak za vse kote s pravokotnimi stranicami. (Komentar prve knjige Euclidovih elementov, Morrow 1970: 207))

Mesto diagramov v geometriji ostaja vprašanje v zgodnjem modernem obdobju. Glavni filozofski številke v 17 th in 18 th stoletij napredne položajih na njej. V pričakovanju prevladujočega modernega pogleda Leibniz zatrjuje:

… Niso figure tiste, ki dokazujejo geometrije, čeprav se vam lahko zdi, da je stil razstavljen tako. Moč demonstracije je neodvisna od narisane figure, ki je narisana samo zato, da olajšamo spoznanje našega pomena in popravimo pozornost; Splošne trditve, tj. že predstavljene definicije, aksiomi in izrek, so tisti, ki sklepajo in ki bi ga podprli, čeprav številke ni bilo. (1704 Novi eseji: 403)

V uvodu svojih Načela človeškega znanja (1710, odstavek 16) Berkeley ponavlja 13 stoletij pozneje Proclusov problem splošnosti. Čeprav je pri obdelavi trikotnikov vedno viden določen trikotnik, "ni niti najmanj omeniti" posameznih podrobnosti posameznega trikotnika v demonstraciji. Demonstracija tako kaže, po Berkeleyju, splošno trditev o trikotnikih.

Na Kantu najdemo najbolj razvit in predvidljivo najbolj zapleten in najtežji prikaz geometrijskih diagramov v sodobnem obdobju. Kant je videl nekaj globokega epistemološkega pomena v uporabi geometra določenega diagrama za razmišljanje o geometrijskem konceptu. Pri tem sklepanju geometer

koncept obravnava v konkretu, čeprav ne empirično, ampak zgolj kot tak, ki ga je a priori pokazal, torej zgrajen, in v katerem mora tisto, kar izhaja iz splošnih pogojev konstrukcije, na splošno veljati tudi za objekt konstruiranega koncepta. (1781, Kritika čistega razuma, A716 / B744.)

Za kontrastne poglede na odlomke, kot so ti, razkriva, kje diagrami ustrezajo Kantovi filozofiji geometrije, glejte Shabel 2003 in Friedman 2012.

V 19 th geometrije stoletja in matematike kot celote doživela revolucije. Pojavili so se bistveno bolj abstraktni pojmi kot tisti, ki jih najdemo v elementih (npr. Neevklidske geometrije, sklopi). Vprašanja o naravi Euclidove shematične metode niso samo izgubila nujnosti, ampak je metodo razumela kot matematično pomanjkljivo. Slednji pogled je našel najbolj natančen izraz v prelomnem delu Moritz Pascha, ki je v Paschu (1882) podal prvo sodobno aksiomatizacijo elementarne geometrije. V njej je Pasch pokazal, kako lahko zadevo razvijamo brez sklicevanja na diagrame ali celo na geometrične koncepte, ki jih diagrami predstavljajo. Metodološka norma, ki vodi delo, je lepo izražena v naslednjem pogosto citiranem odlomku:

Če je geometrija resnično deduktivna, mora biti postopek sklepanja v vseh pogledih neodvisen od smisla geometrijskih konceptov, tako kot mora biti neodvisen od figur; upoštevati je treba le razmerja, določena med geometrijskimi pojmi, ki se uporabljajo v zadevnih propozicijah (oziroma definicijah). (Pasch 1882: 98; poudarek v izvirniku. Prevod je iz Schlimma 2010)

Norma se je odtlej uveljavila tako v matematiki kot v filozofskih razpravah matematike. Manders je nasprotoval Mandru 2008 [1995]. Glede na to, da razvija starodavno geometrijo, nujnost posvetovanja s shemo v dokazu ne kaže na deduktivni razkorak. Diagram in besedilo raje tvorita natančen in odmeven matematični dokaz.

4.2 Natančno / korektno razlikovanje Mandersa in problem splošnosti

4.2.1 Natančno / korektno razlikovanje

Da bi razložil delitev dela med besedilom in diagramom v starodavni geometriji, Manders razlikuje natančne in so-točne lastnosti geometrijskih diagramov v Manders 2008 [1995]. Temelj razlikovanja je pojem variacije. Natančni pogoji, ki jih realizira diagram, so "pogoji, na katere ne vpliva vpliv vsakega nenehnega spreminjanja določenega diagrama." V nasprotju s tem vplivajo na natančne pogoje, ko je diagram najmanjši. Približno natančne lastnosti diagrama vključujejo načine, kako njegovi deli definirajo končni niz ravninskih regij in zadrževalna razmerja med temi regijami. Izrazito natančen odnos je enakost dveh mer v diagramu. Na primerpotrebna je le najmanjša sprememba položaja CF v diagramu za predlog 16, da bi koti BAE in ECF postali neenaki.

Mandersovo ključno opazovanje je, da Euclidovi diagrami prispevajo k dokazovanju le s svojimi natančno določenimi lastnostmi. Euclid nikoli ne sklepa natančne lastnosti iz diagrama, razen če ne izhaja neposredno iz so-točne lastnosti. Razmerja med veličinami, ki niso prikazana kot zadrževalna sredstva, se domnevajo že od samega začetka ali pa se dokažejo z verigo sklepov v besedilu. To je mogoče enostavno potrditi z dokazilom trditve 16. Ena ugotovitev, ki temelji na diagramu, je druga zadnja ugotovitev dokaza. Konkretno sklepamo, da je kot ACD večji od kota ACF. To je bistveno na podlagi tega, da iz diagrama vidimo, da kot ACD vsebuje kot ACF. V dokazih je treba trditi, da obstajajo številni drugi odnosi. Čeprav jih diagram sproži, so v besedilu izrecno utemeljeni. In s temi odnosi,relata sta prostorsko ločeni magnitudi.

Ni težko domnevati, zakaj bi se Euclid na tak način omejil. Diagrami so zmožni učinkovito delovati kot dokazni simboli le, če lahko predstavljajo so-točne lastnosti in razmerja. Natančne lastnosti diagramov so preveč rafinirane, da bi jih bilo mogoče zlahka ponoviti in podpirati določljive sodbe. Kot pravi Manders

Praksa ima vire, s katerimi omeji tveganje nesoglasja glede (izrecnih) natančnih atribucij iz diagrama; manjka pa takih virov za natančno pripisovanje, zato jih ne bi mogel dovoliti, ne da bi se raztopilo v nerazrešljivo nasprotujočih si sodbah. (Manders 2008 [1995]: 91–92)

Mandersova spoznanja seveda vodijo k ideji, da bi bilo mogoče Euklidove argumente formalizirati na podoben način, kot so bili formalizirani Vennovi diagrami v Shin 1994. Natančne informacije, ki jih prenašajo Euclidovi diagrami, so diskretne. Ko je za te informacije na voljo diagram, je pomembno, kako njegove črte in krogi razdelijo omejeno ravninsko območje v končni niz podregij. To odpira vrata za zasnovo Euclidovih diagramov kot dela sintakse Euclidove metode dokazovanja.

4.2.2 Problem splošnosti konstrukcij Euclid

Realizacija tega pojma v formalnem dokaznem sistemu znaša, kot v Shin 1994, določitev skladnje in semantike diagramov. Na skladenjski strani to pomeni natančno določitev Euclidovih diagramov kot formalnih objektov in določitev pravil, po katerih so diagrami kot formalni objektni elementi v izpeljavah Euclidovih predlogov. Na semantični strani to pomeni določiti, kako je mogoče izpeljane izraze geometrijsko razlagati, ali z drugimi besedami, kako natančno jih je treba razumeti, da predstavljajo Euclidove predloge.

Semantična situacija z Euklidovimi diagrami se tako razlikuje od tiste z Vennovimi. Vennovi diagrami se uporabljajo za dokazovanje logičnih rezultatov. Sklepanja z njimi so tematsko nevtralna. Euklidovi diagrami na drugi strani se uporabljajo za dokazovanje geometrijskih rezultatov. Sklepanja, ki so narejena z njimi, so tematska. Čeprav so predmeti ravnine evklidske geometrije abstraktni (npr. Geometrijske črte so brez pomera), so še vedno prostorske. Posledično vprašanja, ki se nanašajo na prostorskost diagramov in predstavitveni obseg, ne nastajajo pri Euclidovih diagramih, kot na primer pri Eulerjevih diagramih. V primeru geometrije v resnici prostornost diagramov šteje v njihovo korist. Prostorske omejitve, kar je mogoče z geometrijskimi konfiguracijami, delujejo tudi s prostorskimi evklidovimi diagrami.

Kljub temu pa, kot je razvidno iz filozofskega komentarja o Euklidovi geometriji od antike dalje, se z evklidskimi diagrami pojavljajo vprašanja reprezentativnega obsega. Kakšna je utemeljitev za obravnavanje lastnosti posameznega geometrijskega diagrama kot reprezentativnih za vse konfiguracije v območju dokaza? Kako lahko en diagram dokaže splošen rezultat? Mandersovo natančno / korektno razlikovanje je osnova za delni odgovor. Natančne lastnosti diagrama lahko delijo vse geometrijske konfiguracije v območju dokaza, zato je v takih primerih ena upravičena pri odčitavanju točnih lastnosti z diagrama. Na primer o dokazih o trikotnikov je različica konfiguracij v območju dokaza različica natančnih lastnosti - npr. Merilo kotov trikotnikov,razmerja med njihovimi stranmi. Vsi imajo enake natančne lastnosti, tj. Vse so sestavljene iz treh omejenih linearnih regij, ki skupaj določajo območje.

To ni popoln odgovor, ker Euclidovi dokazi običajno vključujejo konstrukcije na začetni vrsti konfiguracije. Na primer s trditvijo predloga 16 je določena konstrukcija na trikotniku z eno podaljšano stranjo. V takih primerih lahko diagram ustrezno predstavlja natančne lastnosti začetne konfiguracije. Toda rezultatov uporabe dokazne konstrukcije na diagramu ni mogoče domnevati, da predstavljajo natančne lastnosti vseh konfiguracij, ki izhajajo iz konstrukcije. Za to ni treba preučiti zapletenih geometrijskih situacij. Recimo, da je na primer začetna vrsta konfiguracije dokazila trikotnik. Nato diagram

trikotnik (akutni trikotnik)
trikotnik (akutni trikotnik)

služi za prikaz točnih lastnosti te vrste. Predpostavimo, da je prvi korak konstrukcije dokaza dokaz, da se pravokotno spušča z vrha trikotnika na črto, ki vsebuje stran nasproti točki. Nato rezultat izvedbe tega koraka na diagramu

enak trikotnik kot prejšnja slika s pravokotnikom, padlim iz ene točke
enak trikotnik kot prejšnja slika s pravokotnikom, padlim iz ene točke

preneha biti reprezentativen. To, da pravokotnik spada v trikotnik v diagramu, je točna značilnost tega. Obstajajo pa trikotniki z natančnimi lastnostmi, ki se razlikujejo od začetnega diagrama, pri čemer uporaba gradbenega koraka povzroči pravokotno lego zunaj trikotnika. Na primer s trikotnikom

Nestrpen trikotnik
Nestrpen trikotnik

rezultat uporabe koraka gradnje je

Trmast trikotnik, ki se pravokotno spušča z enega od ostrih kotov na podaljšek nasprotne strani trikotnika
Trmast trikotnik, ki se pravokotno spušča z enega od ostrih kotov na podaljšek nasprotne strani trikotnika

4.3 Formalni sistemi FG in Eu

In tako lahko izvajanje evklidske konstrukcije na reprezentativnem diagramu povzroči nepredstavljiv diagram. Osrednja naloga formalizacije Euclidovih diagramatičnih dokazov je računovodstvo tega - tj. Zagotavljanje metode za razlikovanje splošnih natančnih značilnosti od splošnih v diagramatičnih predstavitvah konstrukcij. Sistemi FG in Eu k tej nalogi uporabljajo dva različna pristopa.

Pri uporabi metode FG moramo izdelati s shemo vsak primer, ki bi lahko nastal na konstrukciji. Splošni korektni odnos konstrukcije je potem tisti, ki se pojavi v vsakem primeru. Zahteva FG, da bi bila izdelana vsaka zadeva, bi bila seveda malo zanimiva, če ne bi zagotovil tudi metode za njihovo izdelavo. Način, ki ga ponuja FG, je odvisen od dejstva, da so črte in krogi v diagramih sistema definirani s čisto topološkimi izrazi. Njihova posledična prilagodljivost omogoča oblikovanje in izvajanje v računalniškem programu splošne metode za generiranje primerov. [9]

Črte in krogi diagramov Eu niso podobno prožni. Zato problema splošnosti ne more rešiti z analizo primerov, kot to počne FG. Osrednja ideja njegovega pristopa je omogočiti, da diagrami že od začetka omogočajo delne informacije. Znotraj izpeljave Eu ima diagram, ki ga izdela konstrukcija dokaza, začetno vsebino, ki je sestavljena iz vseh kvalitativnih razmerij dokaznega začetnega diagrama. Kakovostnih odnosov v zvezi s predmeti, ki jih doda konstrukcija, diagrama ni mogoče takoj očitati. Tisti, ki jih je mogoče prebrati s diagrama, morajo izhajati iz pravil sistema. [10]

Razlike med FG in Eu pristopi k formaliziranju Euclidovih konstrukcij lahko razumemo kot predstavljajo različne splošne predstave o vlogi diagramov v matematiki. FG uteleša zasnovo, kjer diagrami konkretno uresničujejo različne matematične možnosti. Podpirajo matematično sklepanje z zagotavljanjem neposrednega dostopa do teh možnosti. Eu v nasprotju s tem uteleša zasnovo, kjer diagrami služijo za prikaz v enem samem simbolu različnih sestavnih delov zapletene matematične situacije. Podpirajo matematični sklep s tem, da matematičnemu članu omogočajo, da vse te komponente preuči na enem mestu in se osredotoči na tiste komponente, ki so pomembne za dokazilo.

5. Diagrami in spoznavanje, aplikacije

Kljub zgoraj omenjenim formalnim omejitvam nekaterih shematskih sistemov se trenutno v različnih kontekstih uporablja veliko različnih sistemov; poučevanje logike, avtomatizirano sklepanje, določitev računalniških programov, sklepanje o situacijah v fiziki, grafični uporabniški vmesniki do računalniških programov ipd. Na splošno še ni znano, kako učinkoviti so (v zgornjem smislu) mnogi od teh shematskih sistemov. Zdaj dajemo kratek pregled drugih shematičnih sistemov in njihove uporabe, pa tudi bolj filozofskih vprašanj, ki jih je sprožila razprava o stanju diagramatičnega sklepanja.

5.1 Nekateri drugi diagramatični sistemi

Omeniti velja, da so številni matematiki in filozofi predlagali shematične sisteme, pogosto z didaktično motivacijo. Nekateri sistemi, kot je Lewis Carroll v "Igra logike" (1896), so različni na predloge Eulerja in Venna. Drugi, kot Frege (1879), so raje uporabljali črte in ne ravne regije. (Za opis Fregeove notacije glej poglavje o zapletenih izjavah in splošnosti v vpisu o Gottlob Frege. Glej tudi Englebretsen 1992.) Carroll-ov sistem nadomešča Vennova, ker so kompleti nizov izrecno predstavljeni kot regije diagrama, ne pa če ostane kot območje ozadja, na katerem se prikazujejo krogi. To pomeni, da je Carroll-ov sistem sposoben izpeljati sklepe o odnosih med komplementi lastnosti na račun predstavljanja nekaterih lastnosti kot ločenih (tj.nepovezane) regije. Ta premik natančno zrcali premik logike od argumentacije subjekta do predikata do predstavitve argumentov funkcije (Stenning 1999).

Peirce, ustanovitelj moderne kvantificirane logike, je izumil tudi grafični sistem, imenovan Existential Graphs, ki je logično enakovreden logiki predikata. Skupaj z pionirskim delom Don Roberta o eksistencialnih grafih in ustvarjalno uporabo Johna Sowa Peircejevih grafov je pred kratkim skupina raziskovalcev diagramov ponudila bolj raznolike pristope k eksistencialnim grafom v širšem teoretičnem kontekstu (Shin 2003).

Na bolj praktično temo so raziskovalci AI, katerih glavna skrb je hevristična moč reprezentacijskih sistemov poleg njihove izrazne moči, desetletja razpravljali o različnih oblikah reprezentacije (Sloman 1971, 1985, 1995). Zato so pozdravili razprave o izraziti vlogi vizualnega sklepanja in so nedavno na konferencah AI gostili interdisciplinarne simpozije o shematičnem sklepanju. [11] Hkrati so nekateri raziskovalci in teoretiki oblikovanja, zavedajoč se, da ljudje prevzemajo različne oblike zastopanja, glede na vrsto težav, s katerimi se soočajo, uveljavili pristope, ki so specifični za domeno, da bi ustvarili oblike predstavitve, prilagojene problemom. [12]

Harel (1988) je na primer izumil higrafe, da bi predstavljal sistemske specifikacije v računalništvu. Ta ideja je bila uporabljena v industrijskih aplikacijah (npr. UML, v Booch et al., 1998). Barker-Plummer in Bailin (1997) predstavljata študijo primera pri razvijanju računalnikov, ki lahko izvedejo vrsto analognih sklepov, ki jih izvajajo ljudje pri dokazovanju nekaterih matematičnih izrek. Pred kratkim je zanimiv rezultat predstavila Mateja Jamnik iz skupine za matematično razmišljanje Alana Bundyja v Edinburghu (Jamnik 2001). Jamnik prikazuje, kako lahko polavtomatski formalni dokazni sistem izvede nekatere zaznavne sklepe, ki se jim zdijo ljudje tako naravni. Na primer, da je vsota prvih n neparnih naravnih števil enaka brez težav, če razkrojimo mrežo n × n v "ells" (Jamnik in sod., 1999).

Štipendisti Univerze v Brightonu izvajajo zanimive projekte tako pri razvoju shematskih sistemov kot pri uporabi vizualnih orodij pri razvoju programske opreme, glejte povezavo v razdelku Drugi internetni viri.

Omeniti je treba tudi, da znanstveniki, kot so kemiki in fiziki, uporabljajo tudi diagrame za izvajanje določenih izračunov. Feynmanovi diagrami se na primer uporabljajo za izvajanje izračunov v subatomski fiziki. Pred kratkim so za kvantno teorijo razvili formalno diagramatično sklepanje (Coecke in Kissinger 2017). V teoriji vozlov (ki ima aplikacije v fiziki, Kauffman 1991) so tri poteze Reidemeistra shematične operacije, ki sestavljajo popolno računico za dokazovanje enakovrednih vozlov. Ni presenetljivo, da so diagrami Knot vzbudili zanimanje raziskovalcev (De Toffoli & Giardino 2014). Preučena je bila tudi ključna vloga diagramov in diagramatičnega sklepanja v abstraktni matematiki teorije kategorij (Halimi 2012; De Toffoli 2017).

5.2 Diagrami kot mentalne reprezentacije

Ali imajo naše miselne predstave sestavine v obliki diagrama ali slike kot sestavne dele? To vprašanje ima tako filozofijo kot psihologijo dolgo zgodovino, neodvisno drug od drugega. Toda v zadnjem času so nekateri filozofi sodelovali v tej "slikovni razpravi", eni najbolj spoštovanih polemik v psihologiji, nekateri kognitivni psihologi pa se zdijo določene epistemološke teorije v filozofiji koristne za podporo njihovih pogledov na to vprašanje.

Narava miselne reprezentacije je bila ena izmed večjih tem v filozofiji in zlahka zasledimo filozofske razprave o podobah in miselnem predstavljanju do antičnih časov. [13]Zapisi Hobbesa, Lockea, Berkeleyja in Huma se v veliki meri nanašajo na mentalni diskurz, pomen besed, miselne podobe, določene ideje, abstraktne ideje, vtise itd. Descartesovo dobro razlikovanje med zamišljanjem in zamišljanjem nečesa je sprožilo veliko razprav o edinstveni vlogi vizualnih podob v miselnih reprezentacijah. Razvoj kognitivne znanosti v 20. stoletju je seveda zbližal določeno skupino filozofov in psihologov in najdemo številne avtorje, katerih dela zlahka spadajo v obe disciplini (Block 1983; Dennett 1981; Fodor 1981).

Podobe, ki temeljijo na introspekciji, so bile glavni poudarek pri zgodnjem razvoju psihologije, dokler v disciplini ni prevladoval bihevioristični pristop. V dobi biheviorizma je bilo karkoli v zvezi z miselnim pregledom, vključno s podobami, izključeno iz resnih raziskovalnih programov. Nazadnje, ko se je tema duševnih podob vrnila v psihologiji v šestdesetih letih prejšnjega stoletja, so raziskovalci sprejeli bolj skromno agendo za mentalne podobe kot prej: Vsi mentalni prikazi ne vključujejo podob, posnetki pa so eden od mnogih načinov manipulacije informacij v mislih. Tudi zahvaljujoč se vplivu biheviorizma priznava, da introspekcija ni dovolj za raziskovanje slikovnih slik, ampak je treba s poskusi potrditi trditev o mentalnih podobah, da bi dokazali, da duševno dogajanje uspešno eksternaliziramo. Se praviče je tisto, kar nam določena miselna introspekcija sporoča, pristno, potem bi bile opazne zunanje posledice tega duševnega stanja.

Tako sodobna slikovna debata med kognitivnimi znanstveniki temelji na trditvi, da podobne slike obstajajo kot miselne reprezentacije in o tem, kako razlagamo določene poskuse. [14]

Kosslyn (1980, 1994) in drugi slikarji (Shepard & Metzler 1971) predstavljajo eksperimentalne podatke, ki podpirajo njihovo stališče, da so nekatere naše miselne slike bolj podobne slikam kot linearni obliki jezika (na primer naravni jeziki ali umetni simbolični jeziki) v nekateri pomembni vidiki, čeprav niso vse vizualne miselne slike in slike popolnoma iste vrste. V nasprotju s tem Pylyshyn (1981) in drugi deskriptivisti (Dennett 1981) postavljajo vprašanja o slikovnem stanju miselnih podob in trdijo, da so miselne podobe oblikovane iz strukturiranih opisov. Miselne podobe se jim predstavljajo kot jezik in ne slike, zato ni slikovnih vizualnih miselnih podob.

Obe strani razprave sta včasih kot podporni faktor uporabljali filozofsko teorijo. Na primer, slikarji v slikovni debati so v filozofiji našli moderno teorijo smiselnih datumov precej blizu njihovemu stališču. Iz istega razloga so kritiki teorije čutnih datumov trdili, da zmoten slikovni pogled na miselne podobe izhaja predvsem iz naše zmede glede navadnega jezika in trdili so, da so miselne podobe epifenomena.

5.3 Kognitivna vloga diagramov

Ne glede na to, da se močno vključujejo v razpravo o sliki, so se nekateri raziskovalci osredotočili na izrazito vlogo, ki jo diagrami ali slike - v nasprotju s tradicionalnimi sentencialnimi oblikami - igrajo v naših kognitivnih dejavnostih. (Shin 2015; Hamami in J. Mumma 2013) Na podlagi domnev, da ljudje v razmišljanju o konkretnih ali abstraktnih situacijah prevzemajo shematske ali prostorske notranje miselne predstave (glej Howell 1976; Sober 1976), so se nekateri kognitivni znanstveniki osredotočili na funkcije slike ali diagrami v naših različnih kognitivnih dejavnostih, na primer spomin, domišljija, zaznavanje, navigacija, sklepanje, reševanje problemov ipd. Tu je izrazita narava "vizualnih informacij", ki jih dobimo bodisi z notranjimi miselnimi podobami bodisi z zunanje narisanimi diagrami, postala glavna tema raziskovanja. Čeprav večina teh del domneva, da obstajajo miselne podobe (torej sprejemajo trditev slikarjev), strogo gledano, se jim ni treba zavezati mnenju, da te podobe obstajajo kot osnovne enote v našem spoznavanju. Deskripcionarjem ni treba zavreči razprav o funkcijah slik, ampak le dodati, da te slike niso primitivne enote, shranjene v našem spominu, ampak oblikovane iz strukturiranih opisov, bolj podobnih stavkom nekega jezika (glej Pylyshyn 1981).vendar je treba samo dodati, da te slike niso primitivne enote, shranjene v našem spominu, ampak oblikovane iz strukturiranih opisov, bolj podobnih stavkom nekega jezika (glej Pylyshyn 1981).vendar je treba samo dodati, da te slike niso primitivne enote, shranjene v našem spominu, ampak oblikovane iz strukturiranih opisov, bolj podobnih stavkom nekega jezika (glej Pylyshyn 1981).

Iskanje razločne vloge diagramov je privedlo do raziskovanja razlik med različnimi oblikami zunanjih ali notranjih predstav, predvsem pa med shematičnimi in sentencialnimi predstavitvami. V kognitivni znanosti je bilo doseženih veliko pomembnih rezultatov. Izhajajoč iz Larkinove in Simonove klasične študije primerov (1987), ki ponazarjajo razliko med informacijsko in računalniško enakovrednostjo med predstavitvenimi sistemi, Lindsayjevo delo poišče, kje leži ta računska razlika, ki jo imenuje "nedoduktivna" metoda. Kot je bilo na kratko omenjeno zgoraj, Barwise in Shimojiima (1995) ta postopek sklepanja imenujeta "brezplačna vožnja", to je vrsta sklepa, v katerem se zdi, da se sklep samodejno odčita iz predstavitve prostorov. V filmih Gurr, Lee in Stenning (1998) ter Stenning in Lemon (2001)obstaja razlaga o edinstvenosti shematičnega sklepanja glede na stopnjo "neposrednosti" interpretacije in trdijo, da je ta lastnost sorazmerna, torej "nekateri vozniki so cenejši od drugih". Glede na vlogo grafov Wang in Lee (1993) predstavljata formalni okvir kot vodilo za pravilne vizualne jezike. Na tej točki smo zelo blizu uporabnim vidikom raziskovanja teorije oblikovanja večmodalnih sklepov in raziskav AI, saj tem strokam zagotavljamo računalniško podporo za vizualno sklepanje. Wang in Lee (1993) predstavljata formalni okvir kot vodilo za pravilne vizualne jezike. Na tej točki smo zelo blizu uporabnim vidikom raziskovanja teorije oblikovanja večmodalnih sklepov in raziskav AI, saj tem strokam zagotavljamo računalniško podporo za vizualno sklepanje. Wang in Lee (1993) predstavljata formalni okvir kot vodilo za pravilne vizualne jezike. Na tej točki smo zelo blizu uporabnim vidikom raziskovanja teorije oblikovanja večmodalnih sklepov in raziskav AI, saj tem strokam zagotavljamo računalniško podporo za vizualno sklepanje.

Z vprašanjem domišljijske miselne reprezentacije je povezano preučevanje semantike različnih shematskih sistemov in tega, kar nas lahko naučijo o naravi jezikov na splošno (npr. Goodman 1968). Robert Cummins (1996), na primer, med drugim trdi, da je shematskim predstavitvam namenjeno premalo pozornosti in da lahko osredotočenost na pojem "strukturne reprezentacije", ki je bolj podoben diagramu, lahko pomaga razložiti naravo samega predstavljanja. Verjamemo, da nam zgoraj predstavljeni premisleki vsaj nekaj empirično obravnavajo tovrstne trditve - odvisno od uporabljenih domišljijskih predmetov in odnosov bi morali biti vzorci napačnega sklepanja predvidljivi in zaznavni. Malinas 1991 je pomemben, če je malo znan članek na to temo. Tu Malinas raziskuje koncepte slikovnega upodabljanja in "resnice v" sliki s pojmom podobnosti in obravnava različne semantične uganke o slikovni reprezentaciji. Razvija Peacockejevo osrednjo tezo o upodobitvi (Peacocke 1987), kjer izkušnje podobnosti med lastnostmi slikovnih predmetov in njihovimi referencami na vidnem polju povzročajo odnos upodobitve. Nadaljuje s formalno semantiko slik, ki je "analogna semantiki za idealen jezik".kjer izkušnje podobnosti med lastnostmi slikovnih predmetov in njihovimi referencami v vidnem polju povzročajo odnos upodobitve. Nadaljuje s formalno semantiko slik, ki je "analogna semantiki za idealen jezik".kjer izkušnje podobnosti med lastnostmi slikovnih predmetov in njihovimi referencami v vidnem polju povzročajo odnos upodobitve. Nadaljuje s formalno semantiko slik, ki je "analogna semantiki za idealen jezik".

Povzetek

Začeli smo z motiviranjem filozofskega zanimanja diagramov z njihovo vlogo v človeškem sklepanju in njihovem odnosu do študija jezika na splošno ter večmodalno obdelavo informacij. Nato smo razložili kompromis med izrazno močjo in vizualno jasnostjo shematičnih sistemov s preučevanjem zgodovinskega razvoja diagramov od Eulerja in Venna prek Peircejevega dela do nedavnega dela Shina in Hammerja. Trdili so, da je mogoče sistematskim sistemom zagotoviti enak logični status kot tradicionalni linearni dokazni kalkuli. Nato smo razložili nekatere možne pasti diagramatičnega predstavljanja in sklepanja s preučevanjem prostorskih omejitev na sistemskih sistemih in kako lahko vplivajo na pravilnost in izrazno moč. Zaprli smo z raziskovanjem drugih sistemov diagramov,zanimanje za diagrame, nastale v računalništvu in kognitivni znanosti, in je uvod v debato o sliki v filozofiji uma.

Bibliografija

Reference

  • Allwein, G. in J. Barwise (ur.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, Oxford: Oxford University Press.
  • Avigad, J. z E. Dean in J. Mumma, 2009, "Formalni sistem za Euclidove elemente", Pregled simbolične logike, 2: 700–768.
  • Barker-Plummer, D. in S. Bailin, 1997, "Vloga diagramov v matematičnih dokazih", Strojna GRAFIKA in VIZIJA, 6 (1): 25–56. (Posebna številka o diagramatični predstavitvi in obrazložitvi).
  • Barker-Plummer, D., D. Beaver, J. van Benthem in P. Scotto di Luzio, 2002, Besede, dokazi in diagrami, Stanford: Publikacije CSLI.
  • Barwise, J., 1993, "Heterogene razsodbe", v G. Mineau, B. Moulin in J. Sowa, (ur.), ICCS 1993: konceptualni grafi za predstavitev znanja (predavanja v umetni inteligenci: letnik 699), Berlin: Springer Verlag, str. 64–74.
  • Barwise, J. in J. Etchemendy, 1989, "Informacije, Infons in sklepanje", v Cooper, Mukai in Perry, (ur.), Situacijska teorija in njene aplikacije, letnik 1, Stanford: Publikacije CSLI.
  • –––, 1991, „Vizualne informacije in veljavno razmišljanje“, v Zimmermanu in Cunninghamu (ur.), Vizualizacija v poučevanju in učenju matematike, strani 9–24. Washington: Ameriško matematično združenje.
  • –––, 1993, Jezik logike prvega reda, Stanford: Publikacije CSLI.
  • –––, 1994, Hyperproof, Stanford: Publikacije CSLI.
  • –––, 1995, „Heterogena Logic“, J. Glasgow, N. Hari Narayanan in B. Chandrasekaran, (ur.), Diagrammatic Mason: Kognitivne in računske perspektive, strani 209–232. Cambridge, MA: AAAI Press / MIT Press.
  • Barwise, J. in A. Shimojima, 1995, "Surrogate Reasoning", Kognitivne študije: Bilten Japonske družbe za kognitivno znanost, 4 (2): 7–27.
  • Berkeley, G., 1710, Načela človeškega znanja, v Davidu Armstrongu (ur.), Berkeley's Philosophical Writings, London: Macmillian, 1965.
  • Block, N., (ur.), 1981, Imagery, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 1983, „Mentalne slike in kognitivna znanost“, Filozofski pregled, 92: 499–541
  • Booch, G., J. Rumbaugh in I. Jacobson, 1999, Referenčni priročnik za jezik enovitega modeliranja, branje, Mass.: Addison-Wesley.
  • Coecke, B. in Kissinger, A., 2017, Slikovni kvantni procesi. Prvi tečaj kvantne teorije in diagramatičnega sklepanja, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Carroll, L., 1896, Simbolična logika, New York: Dover.
  • Chandrasekaran, B., J. Glasgow in N. Hari Narayanan, (ur.), 1995, Diagrammatic Reasoning: Kognitivne in računske perspektive, Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Cummins, R., 1996, Predstavitve, cilji in stališča, Cambridge, MA: MIT Press.
  • De Toffoli, S., 2017, „Chasing the Diagram - Uporaba vizualizacij v algebraičnem razmišljanju“, Review of Symbolic Logic, 10 (1): 158–186.
  • De Toffoli, S. in Giardino, V., 2014, “Oblike in vloge diagramov v teoriji vozlov”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • Dennett, D., 1981, "Narava slik in introspektivna past", v Block 1981, str. 87–107.
  • Englebretsen, G., 1992, „Linearni diagrami za silogizme (z relacijami)“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 33 (1): 37–69.
  • Euclid, Trinajst knjig elementov (druga izdaja, Vols. I – III), New York, NY: Dover Publications, 1956. Prevedel ga je iz besedila Heiberga z besedilom avtorja in avtorja Thomasa L. Heatha.
  • Euler, L., 1768, Lettres à une Princesse d'Allemagne, Sankt Peterburg; l'Academie Imperiale des Sciences.
  • Fodor, J., 1981, "Imagistična reprezentacija", v bloku 1981, str. 63–86.
  • Frege, G., 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle am See: Louis Nebert
  • Friedman, M., 2012, Kant o geometriji in prostorski intuiciji, Synthese, 186: 231–255.
  • Gardner, M., 1958, Logični stroji in diagrami, Sussex: Harvester Press.
  • Goodman, N., 1968, Jeziki umetnosti: pristop k teoriji simbolov, London: Oxford University Press.
  • Greaves, M., 2002, Filozofski status diagramov, Stanford: Publikacije CSLI.
  • Grigni, M., D. Papadias in C. Papadimitriou, 1995, "Topološki sklep", v Mednarodni skupni konferenci o umetni inteligenci (IJCAI '95), strani 901–907, Cambridge, MA: AAAI Press.
  • Gurr, C., J. Lee in K. Stenning, 1998, "Teorije diagramatičnega sklepanja: Razlikovanje komponentnih problemov", Minds and Machines, 8: 533–557.
  • Halimi, B., 2012, “Diagrami kot skice”, Synthese, 186 (1): 387–409.
  • Hamami Y. in Mumma J., 2013, "Prolegomena of the Cognitive Investigation of Euclidean Diagrammatic Reasoning", Journal of Language, Logic and Information, 22 (4): 421–448.
  • Hammer, E., 1995a, „Razumevanje obsodb in diagramov“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35 (1): 73–87.
  • Hammer, E. in S. Shin, 1998, "Eulerjeva vizualna logika", Zgodovina in filozofija logike, 19: 1–29.
  • Harel, D., 1988, „O vizualnih formalizmih“, Komunikacije ACM, 31 (5): 514–530.
  • Howell, R., 1976, „Navadne slike, mentalne reprezentacije in logične oblike“, Synthese, 33: 149–174.
  • Jamnik, M., 2001, Mathematical Reasoning with Diagrams, Stanford: Publikacije CSLI.
  • Jamnik, M., A. Bundy in I. Green, 1999, "O avtomatizaciji diagramatičnih dokazov aritmentnih argumentov", Časopis za logiko, jezik in informacije, 8 (3): 297–321.
  • Kant, I., 1781, Kritika čistega razuma, prevedla in uredila P. Guyer in A. Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
  • Kauffman, L. 1991, Vozli in fizika, Singapur: World Scientific.
  • Kosslyn, S., 1980, Image and Mind, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1994, Podoba in možgani: resolucija slikovne razprave, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Lambert, JH, 1764, Neues Organon, Berlin: Akademie Verlag, 1990.
  • Larkin, J. in H. Simon, 1987, "Zakaj je diagram (včasih) vreden 10.000 besed", Kognitivna znanost, 11: 65–99.
  • Leibniz, G., 1704, Novi eseji o človeškem razumevanju, LaSalle: Založba odprtega sodišča, 1949.
  • Lemon, O., 2002, "Primerjava učinkovitosti vizualnih jezikov", v Barker-Plummer in sod. (ur.), 2002, str. 47–69.
  • Lemon, O., M. de Rijke in A. Shimojima, 1999, "Učinkovitost diagramatičnega razmišljanja" (uredništvo), Journal of Logic, Language in Information, 8 (3): 265–271.
  • Lemon, O. in I. Pratt, 1997, "Prostorska logika in zapletenost diagramatičnega razmišljanja", Strojna grafika in vizija, 6 (1): 89–108, 1997. (Posebna številka o diagramatični predstavitvi in razlogi).
  • –––, 1998, „O nezadostnosti linearnih diagramov za silogizme“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 39 (4): 573–580.
  • Malinas, G., 1991, "Semantika za slike", Kanadski časopis za filozofijo, 21 (3): 275–298.
  • Manders, K., 2008 [1995], "Evklidov diagram", v Filozofiji matematične prakse, P. Mancosu (ur.), Oxford: Clarendon Press, 2008, str. 112–183. (Kot rokopis je prvič izšel leta 1995.)
  • Miller, Nathaniel, 2007, Euclid in njegova dvajsetletna rivala: Diagrami v logiki evklidske geometrije (Študije CSLI v teoriji in uporabi diagramov), Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 2006, „Računalniška zapletenost zadovoljstva diagramov v evklidski geometriji“, Journal of Complexity, 22: 250–74.
  • Morrow, G., 1970, Proclus: komentar prve knjige Euclid's Elements, Princeton: Princeton University Press, 1970.
  • Mumma, J., 2010, "Dokazi, slike in evklid", Synthese, 175 (2): 255–287.
  • Narayanan, N., 1993, "Ob vprašanju / forum: Ponovna razprava o sliki", Računalniška inteligenca, 9 (4): 303–435.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner: Leipzig.
  • Peacocke, C., 1987, „Prikazovanje“, Filozofski pregled, 96: 383–410
  • Peirce, CS, 1933, Zbrani zborniki, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Pylyshyn, Z., 1981, "Podoba in umetna inteligenca", v N. Block, (ur.), Bralke iz filozofije psihologije, letnik 2, strani 170–196. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Roberts, D., 1973, Existential Graphs Charlesa S. Peircea, Haag: Mouton.
  • Russell, B., 1923, "Nejasnost", v J. Slater, (ur.), Eseji o jeziku, pameti in zadevi: 1919–26 (Zbrane knjige Bertranda Russella), strani 145–154. London: Unwin Hyman.
  • Schlimm, D., 2010, "Paschova filozofija matematike", Pregled simbolične logike, 3 (1): 93–118.
  • Shabel, L., 2003, Matematika v Kantovi kritični filozofiji: Razmisleki o matematični praksi, New York: Routledge.
  • Shepard, R. in J. Metzler, 1971, "Miselna rotacija tridimenzionalnih predmetov", Science, (171): 701–3.
  • Shimojima, A., 1996a, O učinkovitosti zastopanja, dr. diplomsko delo, Univerza v Indiani.
  • –––, 1999, „Reprezentacije za ohranjanje omejitev“, v L. Mossu, J. Ginzburgu in M. de Rijke, (ur.), Logika, jezik in računanje: letnik 2, Beležke predavanj CSLI # 96, strani 296– 317. Stanford: CSLI Publikacije.
  • Shin, S., 1994, Logični status diagramov, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2003, Ikonična logika Peircejevih grafov, Cambridge: MIT Press (Bradford).
  • –––, 2015, „Skrivnost odbitka in diagramatični vidiki reprezentacije“, Pregled filozofije in psihologije: slikovna in prostorska reprezentacija, 6: 49–67.
  • Sloman, A., 1971, "Interakcija med filozofijo in AI: Vloga intuicije in nelogičnega sklepanja v inteligenci", v Zborniku II.
  • –––, 1985, „Zakaj potrebujemo veliko formalizmov za zastopanje znanja“, v M. Bramer (ur.), Raziskave in razvoj v strokovnih sistemih, strani 163–183.
  • –––, 1995, „Razprave o vlogah logičnih in neloških nepredstavitev v inteligenci“, v Chandrasekaran in sod., 1995, str. 7–32.
  • Sober, E., 1976, "Mentalne reprezentacije", Synthese, 33: 101–148
  • Sowa, J., 1984, Konceptualne strukture: Obdelava informacij v umu in stroju, London: Addison Wesley.
  • Stenning, K., 1999, "Pregled Das Spiel der Logik, Lewis Carrol", Journal of Symbolic Logic, 64: 1368–1370.
  • Stenning, K. in O. Lemon, 2001, "Uskladitev logičnih in psiholoških perspektiv glede diagramatičnega razmišljanja", Pregled umetne inteligence, 15 (1–2): 29–62. (Ponatisnjeno v misli z diagrami, Kluwer, 2001.)
  • Tye, M., 1991, The Imagery Debate, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Venn, J., 1881, Symbolic Logic, London: Macmillan.
  • Wang, D. in J. Lee, 1993, "Vizualno utemeljevanje: njegova formalna semantika in aplikacije", Časopis za vizualne jezike in računalništvo, 4: 327–356.
  • Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, B. Pears in B. McGuinness (trans), London: Routledge & Kegan Paul, 1961
  • Zeman, J., 1964, Grafična logika CS Peirce, dr. diplomsko delo, Univerza v Chicagu.

Ustrezna literatura

  • Barwise, J. in E. Hammer, 1994, "Diagrami in koncept logičnega sistema", v Gabbay, D. (ur.), Kaj je logični sistem? New York: Oxford University Press.
  • Hammer, E., 1995b, Logike in vizualne informacije, Študije logike, jezika in računanja. Stanford: CSLI Publikacije in FoLLI.
  • –––, 1998, „Semantika eksistencialnih grafov“, Časopis za filozofsko logiko, 27: 489–503
  • Hammer, E. in S. Shin, 1996, "Euler in vloga vizualizacije v logiki", v Seligman, J. in Westerståhl, D. (ur.), Logika, jezik in računanje: 1. zvezek, beležke predavanj CSLI # 58, strani 271–286. Stanford: CSLI Publikacije.
  • Kneale, W. in Kneale, M., 1962, Razvoj logike, Oxford: Clarendon Press.
  • Lemon, O., 1997, "Pregled logike in vizualnih informacij, EM Hammer", Journal of Logic, Language and Information, 6 (2): 213–216.
  • Roberts, D., 1992, "Eksistencialni grafi Charlesa S. Peircea", Computer and Math. Prijavitelj., (23): 639–663.
  • Shimojima, A., 1996b, "Operativne omejitve v diagramičnem sklepanju", J. Barwise in G. Allwein, (ur.), Logično sklepanje z diagrami, New York: Oxford University Press, strani 27–48.
  • –––, 1996c, „Obrazložitev z diagrami in geometrijskimi omejitvami“, v Seligman, J. in Westerståhl, D. (ur.), Logika, jezik in računanje: 1. zvezek, Beležke predavanj CSLI # 58, strani 527–540. Stanford, CSLI Publikacije.
  • Shin, S., 1991, "Situacijsko-teoretični prikaz veljavnega utemeljevanja z Vennovimi diagrami", v J. Barwise, J. Gawron, G. Plotkin in S. Tutiya, (ur.), Situacijska teorija in njene uporabe: zvezek 2, Beležke CSLI št. 26, strani 581–605. Stanford: CSLI Publikacije.
  • –––, 1999, „Vzpostavitev beta grafik v učinkovit sistem“, Časopis za logiko, jezik in informacije, 8: 273–295.
  • –––, 2000, „Oživitev ikoničnosti Beta grafov“, Anderson, Cheng in Haarslev, (ur.), Teorija in uporaba diagramov, strani 58–73. Springer-Verlag
  • –––, 2002a, Ikonična logika Peircejevih grafov, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2002b, „Več branja Peirceovih alfa grafov“, M. Anderson, B. Meyer in P. Olivier, (ur.), Diagrammatic Reprezentation and Reasoning, London: Springer-Verlag, str. 297–314.
  • Sowa, J., 2000, Predstavitev znanja: logične, filozofske, računalniške fundacije, Belmont, Kalifornija: Brooks / Cole.
  • Stenning, K., 2002, Videti razlog: podoba in jezik pri učenju razmišljanja, Oxford: Oxford University Press.
  • Stenning, K. in J. Oberlander, 1995, "Kognitivna teorija grafičnega in jezikovnega sklepanja: logika in implementacija", Kognitivna znanost, 19 (1): 97–140.
  • Tufte, E., 1983, Vizualni prikaz kvantitativnih informacij, Connecticut: Graphics Press.
  • –––, 1990, Predvajanje informacij, Connecticut: Grafični tisk.

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

  • Eksistencialni grafi (Peircejev MS 514 s komentarjem Johna Sowa).
  • Vizualni zaslon Edwarda Tufteja.
  • Raziskava Vennovih diagramov (Univerza v Victoria, Frank Ruskey).
  • Raziskovalci o diagramatičnem sklepanju, rezultati iskanja v Google Učenjaku.
  • Diagrams 2018, Mednarodna konferenca o teoriji in uporabi diagramov.