Kantova Filozofija Matematike

Kazalo:

Kantova Filozofija Matematike
Kantova Filozofija Matematike

Video: Kantova Filozofija Matematike

Video: Kantova Filozofija Matematike
Video: Философия Канта за 10 минут 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Kantova filozofija matematike

Prvič objavljeno petek, 19. julija 2013

Kant je bil skozi celotno kariero študent in učitelj matematike, njegovi razmisleki o matematiki in matematični praksi pa so močno vplivali na njegovo filozofsko misel. Razvil je filozofske poglede na status matematične presoje, naravo matematičnih definicij, aksiomov in dokazovanja ter na odnos med čisto matematiko in naravnim svetom. Poleg tega je njegov pristop k splošnemu vprašanju "kako a priori možne sintetične sodbe?" oblikoval ga je njegov koncept matematike in njeni dosežki kot dobro utemeljena znanost.

Kantova filozofija matematike zanima številne učenjake iz več razlogov. Prvič, njegova razmišljanja o matematiki so ključna in osrednja sestavina njegovega kritičnega filozofskega sistema, zato jih osvetljujejo zgodovinarju filozofije, ki deluje na katerem koli vidiku Kantovega korpusa. Poleg tega vprašanja Kanta razmišljajo o najbolj temeljnih in osnovnih matematičnih disciplinah, vprašanjih, ki še naprej opisujejo pomembna vprašanja v metafiziki in epistemologiji matematike. Končno so nesoglasja o razlagi Kantove filozofije matematike ustvarila plodno območje trenutnih raziskav in razprav.

  • 1. Kantova predkritična filozofija matematike
  • 2. Kantova kritična filozofija matematike

    • 2.1 Kantova teorija konstrukcije matematičnih konceptov v "Disciplina čistega razuma v dogmatični rabi"
    • 2.2 Kantov odgovor na njegovo vprašanje "Kako je možna čista matematika?"
    • 2.3 Kantova koncepcija vloge matematike v transcendentalnem idealizmu
  • 3. Komentar in razlaga razprave
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Kantova predkritična filozofija matematike

Leta 1763 se je Kant prijavil na natečaj za eseje, ki je obravnaval vprašanje, ali je mogoče dokazati prva načela metafizike in morale in s tem doseči enako stopnjo gotovosti kot matematične resnice. Čeprav je njegov esej prejel drugo nagrado Kraljevske akademije znanosti v Berlinu (izgubil je film Mosesa Mendelssohna "O dokazih v metafizičnih znanostih"), je bil kljub temu znan kot Kantov "esej za nagrado". Nagradni esej je akademija izdala leta 1764 pod naslovom „Vprašanje o razpoznavnosti načel naravne teologije in moralnosti“in je ključno besedilo Kantove predkritične filozofije matematike.

V nagradnem eseju se je Kant lotil primerjave metod matematike in metafizike (Carson 1999; Sutherland 2010). Trdil je, da je "matematični posel … združevanje in primerjava danih pojmov, ki so jasni in določeni, da bi ugotovili, kaj iz njih lahko sklepamo" (2: 278). Nadalje je trdil, da se ta posel izvaja s pregledom številk ali "vidnih znakov", ki zagotavljajo konkretne predstavitve univerzalnih konceptov, ki so bili sintetično opredeljeni. Na primer, matematični koncept definiramo s poljubno kombinacijo drugih konceptov ("štiri ravne črte, ki omejujejo ravninsko površino, tako da nasprotni strani nista vzporedni drug drugemu" [1]), ki ga spremlja "smiseln znak", ki prikazuje odnose med deli tako opredeljenih predmetov. Opredelitve in temeljne matematične predloge, na primer, da ima prostor lahko le tri dimenzije, je treba „pregledati konkretno, da jih lahko intuitivno spoznamo“, vendar takšnih predpostavk ni mogoče nikoli dokazati, ker niso sklepano na podlagi drugih propozicij (2: 281). Teoreme se vzpostavijo, kadar se preproste kognicije združijo »s pomočjo sinteze« (2: 282), ko je na primer dokazano, da so proizvodi odsekov, ki jih tvorijo dva akorda, ki segata znotraj kroga, enaka. V zadnjem primeru je dr.eden dokazuje izrek o katerem koli paru črt, ki se sekajo v krogu, ne tako, da "narišejo vse možne črte, ki bi se lahko sekale med [krogom]", temveč z risanjem le dveh črt in določitvijo razmerja, ki je med njih (2: 278). „Univerzalno pravilo“, ki ima rezultate, se izvede s sintezo med razstavljenimi občutljivimi znaki in posledično med koncepti, ki jih predstavljajo smiselni znaki.

Kant zaključuje, da matematične metode ni mogoče uporabiti za dosego filozofskih (zlasti metafizičnih) rezultatov zaradi primarnega razloga, ker "geometri svoje koncepte pridobivajo s sintezo, medtem ko filozofi lahko svoje koncepte pridobijo le s pomočjo analize in ki popolnoma spremeni način razmišljanja «(2: 289). Toda na tej predkritični stopnji tudi zaključuje, da je metafizika, čeprav nima sintetičnih definicij svojih osnovnih pojmov, toliko gotovosti, ki je potrebna za prepričanje kot matematika “(2: 296). (Kasneje, v kritičnem obdobju, bo Kant pojem sinteze razširil tako, da bo opisal ne samo genezo in kombinacijo matematičnih pojmov, temveč tudi dejanje poenotenja večvrstnih predstav. Prav tako bo seveda dr.uporabljajte izraza "sintetični" in "analitični", da ločite dva medsebojno izključujoča načina, na katera se subjektni in predikatni pojmi med seboj nanašajo na različne kakršne koli sodbe, in poudaril bo razširjen občutek tega razlikovanja, ki vključuje metodološko nasprotje med dva načina argumentacije, ena sintetična ali progresivna in druga analitična ali regresivna. Ta različna čutila analitičnega / sintetičnega razlikovanja bodo obravnavana na kratko spodaj.)Ta različna čutila analitičnega / sintetičnega razlikovanja bodo obravnavana na kratko spodaj.)Ta različna čutila analitičnega / sintetičnega razlikovanja bodo obravnavana na kratko spodaj.)

V esejih "V zvezi s končnim temeljem diferenciacije smeri v vesolju" in "O obliki in načelih občutljivega in razumljivega sveta [inavguralna disertacija]" iz leta 1768 oziroma 1770 se začnejo Kantova razmišljanja o matematiki in njenih rezultatih da se razvija v smeri svoje kritične filozofije, ko začne prepoznavati vlogo, ki jo bo na račun matematičnega spoznanja igrala izrazita sposobnost senzibilnosti (Carson 2004). V teh esejih pripisuje uspeh matematičnega sklepanja njegov dostop do "načel občutljive oblike" in "primarnih podatkov intuicije", kar ima za posledico "zakone intuitivne kognicije" in "intuitivne presoje" o veličini in razširitvi. Ena taka sodba služi določitvi možnosti predmeta, ki je "popolnoma enak in podoben drugemu,vendar tega ni mogoče zabeležiti v enakih mejah kot drugi, njegov inkongruentni nasprotnik «(2: 382) (Buroker 1981; Van Cleve in Frederick 1991; Van Cleve 1999). Kant v „Smerih v vesolju“kliče takšne „neskladne kolege“, da ugotovi orientacijo in aktualnost absolutnega prostora newtonskega sloga, predmeta geometrije, kot ga potem razume. Enak primer sklicuje v „inavguralni disertaciji“, da ugotovi, da lahko prostorske odnose „zaznamo le z določeno čisto intuicijo“, in tako pokaže, da „geometrija uporablja načela, ki niso samo spodbuda in diskurzivna, ampak tudi spadajo pod pogled uma. " Matematični dokazi so torej »paradigma in sredstvo vseh dokazov v drugih znanostih« (2: 403). (Kasneje, v kritičnem obdobju Prolegomena,skliceval se bo na neprimerne kolege, da bi vzpostavili transcendentalno idealnost prostora, s čimer bo zavrnil svoje prejšnje trditve v podporo absolutnemu prostoru.)

2. Kantova kritična filozofija matematike

2.1 Kantova teorija konstrukcije matematičnih konceptov v "Disciplina čistega razuma v dogmatični rabi"

Kantova kritična filozofija matematike najde popoln izraz v poglavju Kritika čistega razuma z naslovom "Disciplina čistega razuma v dogmatični rabi", ki začenja drugo od dveh glavnih oddelkov kritike, "transcendentalna doktrina metode." V prejšnjih delih kritike je Kant kritiki izpostavil čisti razum "v svoji transcendentalni rabi v skladu z zgolj koncepti", da bi "omejil svojo nagnjenost k širitvi zunaj ozkih meja možne izkušnje" (A711 / B739). Toda Kant nam pravi, da je nepotrebno matematiko podrediti takšni kritiki, ker je uporaba čistega razuma v matematiki prek intuicije zadržana na "vidnem tiru": "[matematični] koncepti morajo biti takoj razstavljeni v konkretu v čisti intuiciji,skozi katero postane očitno vse neutemeljeno in samovoljno”(A711 / B739). Kljub temu praksa in disciplina matematike zahtevata razlago, da bi lahko upoštevali svoj uspeh pri dokazovanju vsebinskih in potrebnih resnic in tudi dovolili njeno priklic kot model sklepanja. Kant se tako kot v predkritičnem obdobju usmerja k vprašanju, kaj predstavlja "srečno in dobro utemeljeno" matematično metodo in tudi, ali je uporabna v kateri koli disciplini, razen matematike. Za odgovor na to vprašanje v negativnem primeru mora Kant razložiti edinstvenost matematičnega sklepanja.da bi tako upoštevali svoj uspeh pri dokazovanju vsebinskih in potrebnih resnic in tudi dovolili njegovo priklic kot model sklepanja. Kant se tako kot v predkritičnem obdobju usmerja k vprašanju, kaj predstavlja "srečno in dobro utemeljeno" matematično metodo in tudi, ali je uporabna v kateri koli disciplini, razen matematike. Za odgovor na to vprašanje v negativnem primeru mora Kant razložiti edinstvenost matematičnega sklepanja.da bi tako upoštevali svoj uspeh pri dokazovanju vsebinskih in potrebnih resnic in tudi dovolili njegovo priklic kot model sklepanja. Kant se tako kot v predkritičnem obdobju usmerja k vprašanju, kaj predstavlja "srečno in dobro utemeljeno" matematično metodo in tudi, ali je uporabna v kateri koli disciplini, razen matematike. Za odgovor na to vprašanje v negativnem primeru mora Kant razložiti edinstvenost matematičnega sklepanja. Kant mora razložiti edinstvenost matematičnega sklepanja. Kant mora razložiti edinstvenost matematičnega sklepanja.

Osrednja teza Kantovega računa o edinstvenosti matematičnega sklepanja je njegova trditev, da matematično spoznanje izhaja iz »konstrukcije« njegovih konceptov: » konstruiratikoncept pomeni a priori pokazati intuicijo, ki ji ustreza. "(A713 / B741) (Friedman 1992, Friedman 2010). Na primer, medtem ko lahko koncept diskurzivno definiramo kot pravokotno figuro, ki jo vsebujejo tri ravne črte (kot to storijo v Euklidovih elementih), koncept v Kantovem tehničnem pomenu izraza tvori le, če je taka opredelitev združena z ustrezna intuicija, torej s singularnim in takoj nazornim prikazom tristranske figure. Kant trdi, da ko človek tako ustvari trikotnik za izvajanje pomožnih konstruktivnih korakov, potrebnih za geometrično dokazovanje, to stori a priori, ali je trikotnik izdelan na papirju ali samo v domišljiji. To je zato, ker si v nobenem primeru prikazani objekt ne izposodi svojega vzorca iz izkušenj (A713 / B741). Še več,iz takšnega posebnega prikaza posameznega trikotnika je mogoče izvesti univerzalne resnice o vseh trikotnikov, saj so določene določitve prikazanega predmeta, npr. velikost njegovih strani in kotov, "popolnoma brezbrižne" do zmožnosti, da se upodabljani trikotnik razkaže splošni koncept (A714 / B742). Kantov račun je zato treba zagovarjati pred splošno zavzetim stališčem, da univerzalne resnice ne morejo izhajati iz sklepanja, ki je odvisno od določenih predstav. (V povezavi s tem so manj kot popolnoma ravne strani empirično upodobljenega trikotnika prav tako "brezbrižne", zato takšna empirična intuicija velja za geometrično dokazovanje. To sproža vprašanja, kako je mogoče biti prepričan, da intuicija ustrezno prikazuje vsebino koncept, odnos med čisto in empirično intuicijo inzlasti, katere od intuitivno prikazanih funkcij lahko varno prezremo (Friedman 2010, Friedman 2012).

Na koncu Kant trdi, da je "samo koncept veličine" (količin) mogoče konstruirati v čisti intuiciji, saj "lastnosti ni mogoče razkriti ničesar drugega kot empirično intuicijo" (A714 / B742) (Sutherland 2004a; 2004b, 2005a). To vodi k načelnemu razlikovanju med matematičnim in filozofskim spoznanjem: medtem ko je filozofsko spoznanje omejeno na rezultate abstraktne konceptualne analize, je matematično spoznanje rezultat "verige sklepov, ki jo vedno vodi intuicija", to je konkretna predstavitev njegovih predmetov (Hintikka 1967, Parsons 1969, Friedman 1992). Kant se nekoliko napne, da bi razložil, kako matematik gradi aritmetične in algebarske veličine, ki se razlikujejo od prostorskih figur, ki so predmet geometrijskega sklepanja. Z razlikovanjem med "ostenistično" in "simbolično" konstrukcijo ostenska konstrukcija poistoveti z geometrsko prakso prikazovanja ali prikazovanja prostorskih figur, medtem ko simbolična konstrukcija ustreza korektnemu aritmetičnemu ali algebraičnemu znaku (kot na primer "ena" velikost je treba deliti z drugo, [matematika] svoje simbole postavi skupaj v obliki zapisa za delitev … ") (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matematika] svoje simbole postavi skupaj v obliki zapisa za delitev…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matematika] svoje simbole postavi skupaj v obliki zapisa za delitev…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).

Kant trdi tudi, da je čisti koncept obsega primeren za gradnjo, ker za razliko od drugih čistih konceptov ne predstavlja sinteze možnih intuicij, ampak "že vsebuje čisto intuicijo v sebi." Ker pa sta edina kandidata za takšno "čisto intuicijo" prostor in čas ("zgolj oblika nastopov"), izhaja, da je mogoče v čisti intuiciji razstaviti samo prostorske in časovne veličine, tj. Takšne prostorske in časovne veličine lahko kakovostno razstavimo s prikazom oblik stvari, npr. Pravokotnosti oken, ali pa jih lahko razstavimo le količinsko, tako da prikažemo število delov stvari, npr. Število podoknov ki ga okno obsega. V obeh primerih se prikazano šteje za čisto in "formalno intuicijo",inšpekcijski pregled je presoja, ki "presega" vsebino prvotnega koncepta, s katerim je bila povezana intuicija. Takšne sodbe so paradigmatično sintetične a priori sodbe (o katerih bomo podrobneje razpravljali spodaj), saj so amplivativne resnice, ki so upravičene neodvisno od izkušenj (Shabel 2006).

Kant trdi, da matematičnega sklepanja ni mogoče uporabiti zunaj področja matematike, ki je primerno za takšno sklepanje, saj ga razume, je nujno usmerjeno v predmete, ki so "natančno podani v čisti intuiciji a priori in brez empiričnih podatkov" (A724 / B752). Ker je tako mogoče dati le formalne matematične predmete (tj. Prostorske in časovne veličine), je matematično sklepanje glede materialno danih vsebin neuporabno (čeprav resnice, ki izhajajo iz matematičnega sklepanja o formalnih matematičnih predmetih, plodno nanesejo na takšno vsebinsko vsebino, kar je če rečemo, da je matematika a priori resnična za nastope.) Posledično filozofije ali fizikalnih ved matematika ne more „doseči ali posnemati“matematike, ki jo matematika najde v svojih definicijah, aksiomih in demonstracijah (A727 / B755).

Medtem ko je Kantova teorija o konstrukciji matematičnih konceptov lahko razlagala kot razlago matematične prakse, kot jo je razumel Kant [2], je teorija prepletena s Kantovo širšo zavezanostjo strogemu razlikovanju med intuicijami in pojmi kot načini reprezentacije; med miselnimi sposobnostmi občutljivosti in razumevanja; med sintetičnimi in analitičnimi presojami; in med a priori in posteriori dokazom in sklepanjem. Slika matematike, ki se je razvila v disciplini čistega razuma v dogmatični rabi, je navsezadnje odvisna od celotne teorije presoje, ki jo želi kritika zagotoviti, in predvsem od teorije smiselnosti, ki jo Kant ponuja v filmu Transcendentalna estetika (Parsons 1992, Carson 1997), kot tudi v ustreznih odlomkih iz prvega dela glavnega transcendentalnega vprašanja Prolegomena, kjer raziskuje "izvor" čistih smiselnih konceptov matematike in "obseg njihove veljavnosti" (A725 / B753).[3]

2.2 Kantov odgovor na njegovo vprašanje "Kako je možna čista matematika?"

Kant postavlja dva povezana vprašanja kritične filozofije: (1) Kako so a priori možne sintetične sodbe ?; in (2) Kako je metafizika možna kot znanost (B19; B23)? Matematika ponuja posebno pot za odgovor na ta vprašanja z zagotavljanjem modela kodificirane znanstvene discipline, katere možnost je jasna in poleg tega zagotovljena z lastnim dosežkom spoznanja, ki je hkrati sintetično in a priori. Z drugimi besedami, razlaga, kako se sintetične a priori presoje potrjujejo v matematičnih kontekstih, skupaj s posledično in s tem povezano razlago, kako sistematično telo dokazljivega znanja vsebuje takšne sodbe, dopušča, da se matematična resnica sklicuje kot vsebinska paradigma potrebne in univerzalne resnice, ki jih metafizika upa doseči. Kant 's teorijo matematične konstrukcijske zasnove (obravnavano zgoraj) je mogoče v celoti razumeti le v povezavi z obravnavo tako širših vprašanj o sami naravi in možnosti matematičnega in metafizičnega znanja.

Tako v preambuli Prolegomena k kakršni koli prihodnji metafiziki in B-uvodu v kritiko čistega razuma, Kant uvaja analitično / sintetično razlikovanje, ki razlikuje med sodbami, katerih predikati pripadajo ali so vsebovani v predmetnem konceptu in sodbami katerih predikati so povezani, vendar presegajo predmetni koncept. V vsakem besedilu sledi predstavitvi tega razlikovanja z razpravo o njegovi trditvi, da so vse matematične sodbe sintetične in a priori. [4]Tam najprej trdi, da so "pravilno matematične sodbe vedno a priori presoje", ker so potrebne, zato jih izkušnje ne morejo izpeljati (B14). Temu sledi z razlago, kako so takšne neempirične sodbe še lahko sintetične, torej kako lahko služijo sinteziranju subjekta in predikata koncepta, ne pa zgolj razlaganju ali analiziranju subjektnega koncepta v njegovih sestavnih logičnih delih. Tu se imenitno sklicuje na predlog "7 + 5 = 12" in negativno trdi, da "ne glede na to, kako dolgo bom analiziral svoj koncept tako možne vsote [sedem in pet], še vedno ne bom našel dvanajstih v njem", in tudi pozitivno, trdijo, da "mora človek preseči te koncepte [sedmih in petih] in išče pomoč v intuiciji, ki ustreza enemu od dveh, petih prstov,recimo… in drug za drugim dodajte enote petih, ki so bile podane v intuiciji, v koncept sedem… in tako vidite, da število 12 nastane”(B15). Iz tega sledi, da potrebne resnice aritmetičnega predloga, kot je "7 + 5 = 12", ni mogoče ugotoviti z nobeno metodo logične ali konceptualne analize (Anderson 2004), ampak jo je mogoče ugotoviti z intuitivno sintezo (Parsons 1969). Temu sledi razprava o aritmetičnem sklepanju in resnici z ustreznimi trditvami o evklidski geometriji, v skladu s katerimi načela geometrije izražajo sintetična razmerja med pojmi (na primer med konceptom premice med dvema točkama in konceptom najkrajše črte med temi isti dve točki), od katerih nobene ne moremo analitično "izvleči" iz druge. Načela geometrije tako izražajo razmerja med osnovnimi geometrijskimi pojmi, kolikor jih je mogoče "pokazati v intuiciji" (Shabel 2003, Sutherland 2005a).

Drugje pa Kant tudi geometrijske teoreme vključuje kot vrste propozicij (poleg geometrijskih načel), ki štejejo za sintetične (Friedman 1992, Friedman 2010). Toda Kantov račun sintetičnosti takšnih izrek ni pregleden. Ker je zanikal, da bi bilo mogoče načela (Grundsätze) analitično spoznati iz načela protislovja, priznava, da matematični sklep, ki je potreben za vzpostavitev geometrijskih teoremov, poteka "v skladu z načelom protislovja" in tudi, da "sintetični predlog je seveda mogoče razumeti v skladu z načelom protislovja, "čeprav" le, če je predpostavljen drug sintetični predlog, iz katerega je mogoče sklepati, nikoli sam po sebi "(B14). Čeprav je jasno, da so vse matematične sodbe, vključno z geometrijskimi teoremi,so sintetični, manj mu je jasno, kaj to pomeni za takšne predloge ali sklepe, ki jih podpirajo, da bi »uskladili« načelo protislovja, izpeljavnost, iz katere jemlje kot test paradigme analitičnosti. To vodi do razlagalnega nesoglasja glede tega, ali predstavljive matematične presoje izhajajo iz sintetičnih načel s strogo logičnim ali konceptualnim sklepanjem - in tako v strogem skladu s samo načelom protislovja - ali so sklenjene prek sklepov, ki so sami odvisni od intuicije, ki pa ne kršijo zakona nasprotovanja. Tako obstaja nesoglasje glede tega, ali je Kant zavezan zgolj sintetičnosti matematičnih aksiomov (ki prenašajo sintetičnost v razstavljive teoreme z logičnim sklepanjem),ali pa se zavzema tudi za sintetičnost matematičnega sklepanja. Nekdanje interpretacijsko stališče je povezano z Ernstom Cassirerjem in Lewisom White Beckom; slednji položaj z Bertrandom Russellom (prihaja Hogan). Gordon Brittan (Brittan 2006) oba taka stališča predstavlja kot "dokazni", kar je njegova oznaka za vsako razlago, v skladu s katero intuicije zagotavljajo nepogrešljiv dokaz za resničnost matematike, ne glede na to, ali so ti dokazi podprti aksiomi ali sklepi, ali oboje. Po njegovem alternativnem „objektivističnem“stališču intuicije ne zagotavljajo dokazov, temveč so precej semantični nosilci edinstvene reference in „objektivne resničnosti“(Brittan 2006).slednji položaj z Bertrandom Russellom (prihaja Hogan). Gordon Brittan (Brittan 2006) si obe taki stališči predstavlja kot "dokazni", kar je njegova oznaka za vsako razlago, po kateri intuicija zagotavlja nepogrešljiv dokaz za resničnost matematike, ne glede na to, ali so ti dokazi podprti aksiomi ali sklepi, ali oboje. Po njegovem alternativnem „objektivističnem“stališču intuicije ne prinašajo dokazov, ampak so precej semantični nosilci edinstvene reference in „objektivne resničnosti“(Brittan 2006).slednji položaj z Bertrandom Russellom (prihaja Hogan). Gordon Brittan (Brittan 2006) si obe taki stališči predstavlja kot "dokazni", kar je njegova oznaka za vsako razlago, po kateri intuicija zagotavlja nepogrešljiv dokaz za resničnost matematike, ne glede na to, ali so ti dokazi podprti aksiomi ali sklepi, ali oboje. Po njegovem alternativnem „objektivističnem“stališču intuicije ne prinašajo dokazov, temveč so precej semantični nosilci edinstvene reference in „objektivne resničnosti“(Brittan 2006). Po njegovem alternativnem „objektivističnem“stališču intuicije ne prinašajo dokazov, temveč so precej semantični nosilci edinstvene reference in „objektivne resničnosti“(Brittan 2006). Po njegovem alternativnem „objektivističnem“stališču intuicije ne prinašajo dokazov, temveč so precej semantični nosilci edinstvene reference in „objektivne resničnosti“(Brittan 2006).

Pozornost na to interpretacijsko vprašanje v Kantovi filozofiji matematike je bistvenega pomena za luč, ki jo osvetljuje splošnejše vprašanje, kaj omogoča sintetično a priori spoznanje, osrednje vprašanje Kantove kritike čistega razuma. V zvezi s tem splošnejšim vprašanjem je pomembno razlikovati Kantovo uporabo izrazov "analitična" in "sintetična" za označevanje logično-semantičnega razlikovanja med vrstami sodb - ki jih Kant uporablja za obrambo razločljive teze, da je matematično spoznanje sintetično a priori - od njegove uporabe istih izrazov za označevanje tradicionalnega matematičnega razlikovanja med analitičnimi in sintetičnimi metodami (Beaney 2012). Slednje razlikuje, da bi opredelil dve različni argumentirani strategiji za odgovor na vprašanje o "možnosti čiste matematike."Za analitično metodo je značilno razmišljanje, ki v mislih zasleduje dano telo spoznanja, na primer matematiko, do njegovega izvora ali virov. V nasprotju s tem želi sintetična metoda izhajati iz pravega spoznanja neposredno iz takšnih izvirnih kognitivnih virov, katere vire ali moči najprej razlagajo neodvisno od katerega koli organa spoznavanja (vključno z matematiko), ki bi ga na koncu lahko proizvedle sile. Kant je v svoji Prolegomena sprejel prejšnjo metodo, ki izhaja iz sintetične in a priori narave matematične presoje do trditve, da sta prostor in čas oblika človeške senzibilnosti; slednjo metodo sprejme v Kritiki čistega razuma in trdi, da oblike človeške senzibilnosti, prostora in časa dajejo osnovo, iz katere izhajajo sintetične in a priori matematične presoje (Shabel 2004). Ti argumenti,skupaj s podrobnostmi njegovega poročila o sintetični in a priori naravi celotne matematične presoje dajejo odgovor na vprašanje možnosti matematike: prakse, ki prinašajo paradigmatično sintetične in a priori presoje znanosti matematike, so utemeljene v in razloženo z naravo človeške senzibilnosti, predvsem pa s prostorsko-časovno obliko vseh (in samo) predmetov človeške izkušnje (Van Cleve, 1999).po prostorsko-časovni obliki vseh (in samo) predmetov človeške izkušnje (Van Cleve, 1999).po prostorsko-časovni obliki vseh (in samo) predmetov človeške izkušnje (Van Cleve, 1999).

2.3 Kantova koncepcija vloge matematike v transcendentalnem idealizmu

Kantova teorija matematične prakse se ne povezuje samo z njegovo teorijo občutljivosti (kot je opisano zgoraj), ampak tudi z drugimi vidiki doktrine transcendentalnega idealizma, kot je artikulirano v Kantovih kritičnih delih.

V transcendentalni analitiki Kant vzame tabelo z dvanajstimi kategorijami ali čistimi pojmi razumevanja, katerih prvih šest opisuje kot "matematične" (v nasprotju z "dinamičnimi") kategorijami zaradi njihove zaskrbljenosti s predmeti intuicije (B110). Pojem števila obravnavamo kot pripadnost kategoriji »vseobsežnosti« ali celovitosti, ki naj bi bila posledica kombinacije pojmov enotnosti in pluralnosti (Parsons 1984). Toda Kant trdi tudi, da težave, ki nastanejo pri predstavljanju neskončnosti - v katerih domnevno predstavlja enotnost in množino brez izhajajočega predstavljanja števila - razkrijejo, da mora koncept števila zahtevati posredovanje "posebnega dejanja razumevanja" (B111).(To posebno dejanje je verjetno sinteza, ki jo Kant opisuje kot funkcijo tako domišljije kot razumevanja in ki jo je treba razložiti celotna teorija presoje - vključno s transcendentalno odbitkom in shematizmom (Longuenesse 1998).), čeprav trdi tudi, da aritmetika »oblikuje svoje pojme števil z zaporednim seštevanjem enot v času« (4: 283), je napačno sklepati, da je aritmetika čas, kot je geometrija v vesolje, saj formalna intuicija časa pomeni neprimerno za razlago splošne in abstraktne znanosti o številu.čeprav trdi tudi, da aritmetika »oblikuje svoje pojme števil z zaporednim seštevanjem enot v času« (4: 283), je napačno sklepati, da je aritmetika čas kot geometrija v vesolje, saj formalna intuicija časa ni zadostna razložiti splošno in abstraktno znanost o številu.čeprav trdi tudi, da aritmetika »oblikuje svoje pojme števil z zaporednim seštevanjem enot v času« (4: 283), je napačno sklepati, da je aritmetika čas kot geometrija v vesolje, saj formalna intuicija časa ni zadostna razložiti splošno in abstraktno znanost o številu.[5] (Dejansko Kant izjavlja, da je mehanika matematična znanost, ki je čas, v katerem je geometrija vesolje.)

V shematizmu se Kant zavezuje, da bo določil poseben mehanizem, ki omogoča, da čisti koncepti razumevanja zajemajo smiselne intuicije, s katerimi so raznolike. Kategorije morajo biti „shematizirane“, ker njihov neempirični izvor v čistem razumevanju preprečuje, da bi imeli takšno smiselno vsebino, ki bi jih takoj povezala s predmeti izkušnje; transcendentalne sheme so posredniške reprezentacije, ki naj bi na pravilen način vzpostavile povezavo med čistimi pojmi in pojavi. V tem kontekstu so obravnavani matematični koncepti, saj so edinstveni po tem, da so čisti, a tudi smiselni pojmi: čisti so, ker so strogo a priori po poreklu, in so smiselni, saj so konstruirani v betonu.(Kant to vprašanje še dodatno zaplete, če identificira številko kot čisto shemo kategorije velikosti (Longuenesse 1998).) Pojavi se razlagalno vprašanje, ali matematični pojmi, katerih konceptualna vsebina je podana smiselno, potrebujejo shematizacijo s prepoznavno "tretjo stvarjo" ", In če je tako, kaj pomeni (Young 1984). Širše se postavlja vprašanje, kako transcendentalna domišljija, fakulteta, odgovorna za shematizem, deluje v matematičnih kontekstih (Domski 2010).postavlja se vprašanje, kako transcendentalna domišljija, fakulteta, odgovorna za shematizem, deluje v matematičnih kontekstih (Domski 2010).postavlja se vprašanje, kako transcendentalna domišljija, fakulteta, odgovorna za shematizem, deluje v matematičnih kontekstih (Domski 2010).

Končno v analitiki načel izhaja sintetična presoja, ki "a priori izvira iz čistih konceptov razumevanja" in utemeljuje vse druge a priori spoznanja, vključno z matematičnimi (A136 / B175). Načela čistega razumevanja, ki so povezana s kategorijami količin (tj. Enotnosti, pluralnosti in celovitosti), so Aksiomi intuicije. Medtem ko so matematični principi "črpani samo iz intuicije" in ne predstavljajo nobenega sistema načel čistega razumevanja, je treba razlago o možnosti takšnih matematičnih načel (zgoraj opisano) dopolniti z najvišjim možnim računom transcendentalna načela (A148–9 / B188–9). V skladu s tem Aksiomi intuicije zagotavljajo meta princip ali princip matematičnih načel količine,in sicer, da so "Vse intuicije obsežne veličine" (A161 / B202). Večina komentatorjev razlaga Kanta tukaj, da navaja, zakaj so načela matematike, povezana s čistim prostorom in časom, uporabna za nastope: nastopi so lahko predstavljeni le »z isto sintezo kot tisto, skozi katerega prostor in čas na splošno so določeni «(A161 / B202). Torej, vse intuicije, čiste ali empirične, so "obsežne veličine", ki jih urejajo načela matematike. Daniel Sutherland, ki izraža alternativno stališče, v Aksiomih intuicije vidi, da "ne velja le za uporabo matematike, ampak tudi za možnost kakršnega koli matematičnega spoznanja, čistega ali uporabnega, splošnega ali posebnega" in tako da ima širši pomen, kot je bil cenjen (Sutherland 2005b).

(Opazno je tudi, da se ključni odlomki kritike moči sodbe ukvarjajo z matematiko in "matematičnim vzvišenostjo" (Breitenbach 2015). Glej zlasti [5: 248ff].)

3. Komentar in razlaga razprave

O Kantovem konceptu matematike so razpravljali njegovi sodobniki; vplivali in izzvali Fregeja, Russella in Husserla; in navdih za brouwerjanski intuicij. Njegova zamisel o matematiki je bila pomlajena kot vredna tesne zgodovinske študije iz monografije Gottfrieda Martina iz leta 1938 Arithmetik und Kombinatoric bei Kant (Martin 1985). Kljub zelo različnim stališčem, ki jih sodobni komentatorji razvijajo glede tega, kako najbolje razumeti Kantovo misel, so na splošno enotni v nasprotovanju dolgo standardni standardni zgodbi (morda jo je Bertrand Russell v svojih Načelih matematike sprva spodbujal Bertrand Russell v svojih filozofskih osnovah fizika), po katerem je razvoj moderne logike v 19 th in 20 thstoletja, odkrivanje neevvlidskih geometrij in formalizacija matematike povzroča Kantovo intuicijsko teorijo matematike in s tem povezane filozofske zaveze zastarele ali nepomembne. Sodobni komentatorji poskušajo rekonstruirati Kantovo filozofijo matematike s pomočjo Kantovega lastnega zgodovinskega konteksta in tudi identificirati elemente Kantove filozofije matematike, ki so večni filozofski interesi.

V zadnjem času je na štipendijo Kantove filozofije matematike najbolj vplivala nenehna razprava med Jaakkom Hintikko in Charlesom Parsonsom o tem, kar se je poznalo kot Kantove "logične" in "fenomenološke" razlage; Semenska knjiga Michaela Friedmana, Kant in natančne znanosti (Friedman 1992), pa tudi njegovi zdaj klasični članki "Kantova teorija geometrije" in "Geometrija, konstrukcija in intuicija pri Kantu in njegovih naslednikih" (Friedman 1985, 2000); in po prispevkih, zbranih v zvezku Carla Posya, Kantova filozofija matematike (ki vključuje prispevke Hintikka, Parsonsa in Friedmana, pa tudi Stephena Barkerja, Gordona Brittana, Williama Harperja, Philipa Kitcherja, Arthurja Melnicka, Carla Posyja, Manleyja Thompsona in J. Michael Young,vsi objavljeni pred več kot dvajsetimi leti (Posy 1992).)[6] Nove generacije učenjakov prispevajo k živahni, plodni in stalni razpravi o razlagi in zapuščini Kantove filozofije matematike, ki izvira s to literaturo.

Razlagalna razprava o tem, kako razumeti Kantov pogled na vlogo intuicije v matematičnem sklepanju, je najmočneje vplivala na obliko štipendije v Kantovi filozofiji matematike; ta razprava je neposredno povezana z vprašanjem (opisanim zgoraj) o sintetičnosti matematičnih aksiomov, izrek in sklepov. Kant v svoji splošni razpravi o mentalni reprezentaciji nakazuje, da sta neposrednost in singularnost oba merila ne-konceptualne, intuitivne reprezentacije, vrste reprezentacije, ki utemeljuje sintetično presojo. Charles Parsons (Parsons 1964, 1969, 1984) je v seriji prispevkov trdil, da je sintetičnost matematičnih sodb odvisna od tega, da so matematične intuicije v osnovi neposredne, in neposrednost takšnih predstav razlaga na zaznaven način, kot neposreden oz.fenomenološka prisotnost uma. Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969), ki razvija idejo iz prejšnjega dela EW Beth, ugovarja, da je sintetičnost matematičnih sodb namesto tega odvisna le od posebnosti njihovih intuitivnih sestavin. Hintikka matematične intuicije pripenja k posameznim izrazom ali podrobnostim in razlaga uporabo intuicije v matematičnem kontekstu po analogiji z logično potezo eksistencialne instancije. Ta dva stališča sta bila znana kot „fenomenološka“in „logična“interpretacija. Hintikka matematične intuicije pripenja k posameznim izrazom ali podrobnostim in razlaga uporabo intuicije v matematičnem kontekstu po analogiji z logično potezo eksistencialne instancije. Ta dva stališča sta bila znana kot „fenomenološka“in „logična“interpretacija. Hintikka matematične intuicije pripenja k posameznim izrazom ali podrobnostim in razlaga uporabo intuicije v matematičnem kontekstu po analogiji z logično potezo eksistencialne instancije. Ta dva stališča sta bila znana kot „fenomenološka“in „logična“interpretacija.

Prvotni položaj Michaela Friedmana (Friedman 1985, 1992) glede vloge intuicije v matematičnem sklepanju izvira iz Bethjevih in Hintikkinih, čeprav je bistveno drugačen od njihovega in je bil spremenjen v njegovih najnovejših spisih. V svojem Kantu in Natančnih znanostih (Friedman 1992) Friedman zavzema stališče, da bi bilo treba naše moderno pojmovanje logike uporabiti kot orodje za razlago (ne pa kritiziranje) Kanta, pri čemer je poudaril, da je eksplicitna predstavitev neskončnosti matematičnih predmetov, ki lahko nastane s poliazno logiko moderne teorije kvantifikacije, ki matematiku in logiku Kantovega časa konceptualno ni na voljo. Zaradi neustreznosti monadske logike za prikaz neskončnosti predmetov oz.matematik iz osemnajstega stoletja se zanaša na intuicijo, da poda predstavitve, potrebne za matematično sklepanje. Friedman na podlagi tega zgodovinskega uvida razloži podrobnosti Kantove filozofije matematike.

Friedman je spremenil svoj prvotni položaj kot odgovor na kritike Emily Carson (Carson 1997), ki je razvila interpretacijo Kantove teorije geometrije, ki je Parsonsianova v svojem antiformalističnem poudarku na epistemološki in fenomenološki nad logično vlogo intuicije v matematiki. V nedavnem delu (Friedman 2000, 2010) Friedman trdi, da je intuicija, ki utemeljuje geometrijo, v osnovi kinematična, najbolje pa jo razloži s prevodi in rotacijami, ki opisujejo tako konstruktivno delovanje evklidskega geometrija kot zaznavno stališče običajnega, prostorsko usmerjen opazovalec. Ta nov račun ponuja sintezo med logičnimi in fenomenološkimi interpretativnimi računi,v veliki meri s povezovanjem geometrijskega prostora, ki ga domišljija raziskuje prek evklidskih konstrukcij, v perspektivilen prostor, ki je po Kantovem mnenju oblika vse zunanje občutljivosti. Natančneje, uskladi logiko s fenomenološkim tako, da "[vdela] čisto logično razumevanje geometrijskih konstrukcij (kot Skolemove funkcije) v vesolje kot čisto obliko naše zunanje čutne intuicije (kot je opisano v Transcendentalni estetiki)" (Friedman 2012, n.17).on uskladi logiko s fenomenološkim tako, da "[vdela] čisto logično razumevanje geometrijskih konstrukcij (kot Skolemove funkcije) znotraj prostora kot čiste oblike naše zunanje čutne intuicije (kot je opisano v Transcendentalni estetiki)" (Friedman 2012, n. 17).uskladi logiko s fenomenološkim tako, da "[vdela] čisto logično razumevanje geometrijskih konstrukcij (kot Skolemove funkcije) znotraj prostora kot čiste oblike naše zunanje čutne intuicije (kot je opisano v Transcendentalni estetiki)" (Friedman 2012, n. 17).

Bibliografija

Sklici na Kantova besedila sledijo strinjanju izdaje Akademije (Gesammelte Schriften, Akademie der Wissenschaften (ur.), Berlin: Reimer / DeGruyter, 1910ff.) Sklici na Kritiko čistega razuma uporabljajo običajno A / B konvencijo. Prevodi so iz Cambridgeove izdaje Dela Immanuela Kanta.

  • Anderson, RL, 2004, "Dodaja navsezadnje: Kantova filozofija aritmetike v luči tradicionalne logike", Filozofija in fenomenološka raziskovanja, 69 (3): 501–540.
  • Barker, S., 1992, "Kantov pogled na geometrijo: delna obramba", v Posy 1992, str. 221–244.
  • Breitenbach, A., 2015, „Lepota v dokazih: Kant o estetiki v matematiki“, European Journal of Philosophy, 23: 955–977; prvič objavljeno na spletu 2013, doi: 10.1111 / ejop.12021
  • Brittan, G., 1992, "Algebra in intuicija" v Posyju 1992, str. 315–340.
  • –––, 2006, „Kantova filozofija matematike“v G. Birdu (ur.), Spremljevalec Kanta, Malden, MA: Blackwell, str. 222–235.
  • Buroker, JV, 1981, Vesolje in inkongruenca: izvor Kantovega idealizma, Dordrecht: D. Reidel.
  • Butts, R., 1981, "Pravila, primeri in konstrukcije Kantova teorija matematike", Synthese, 47 (2): 257–288.
  • Carson, E., 1997, "Kant o intuiciji v geometriji", Canadian Journal of Philosophy, 27 (4): 489–512.
  • –––, 1999, „Kant o metodi matematike“, Časopis za zgodovino filozofije, 37 (4): 629–652.
  • –––, 2002, „Lockeov račun določenega in poučnega znanja“, British Journal for History of Philosophy, 10 (3): 359–378.
  • –––, 2004, „Metafizika, matematika in razlikovanje med čutnim in razumljivim v Kantovi inavguralni disertaciji“, Časopis za zgodovino filozofije, 42 (2): 165–194.
  • Domski, M., 2010, Kant o domišljiji in geometrijski gotovosti, Perspektive znanosti, 18 (4): 409–431.
  • –––, 2012, „Kant in Newton o priorski nuji geometrije“, Študije zgodovine in filozofije znanosti (del A), 44 (3): 438–447.
  • Domski, M. in Dickson, M. (ur.), 2010, Diskurz o novi metodi: Poživitev zakonske zveze zgodovine in filozofije znanosti, Chicago: Založba odprtega sodišča.
  • Dunlop, K., 2012, „Kant in Strawson o vsebini geometrijskih konceptov“, Noûs, 46 (1): 86–126.
  • Friedman, M., 1985, "Kantova teorija geometrije", Filozofski pregled, 94 (4): 455–506.
  • –––, 1992, Kant in družbe Exact Sciences, Cambridge: Harvard University Press.
  • –––, 2000, „Geometrija, konstrukcija in intuicija pri Kantu in njegovih naslednikih“, G. Scher in R. Tieszen (ur.), Med logiko in intuicijo: Eseji na čast Charlesa Parsonsa, Cambridge: Cambridge University Press, str. 186–218.
  • –––, 2010, „Sintetična zgodovina na novo“, v Domski in Dickson 2010, str. 573–813.
  • –––, 2012, „Kant o geometriji in prostorski intuiciji“, Synthese, 186: 231–255.
  • Guyer, P. (ur.), 1992, The Cambridge Companion to Kant, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Guyer, P. (ur.), 2006, The Cambridge Companion to Kant and Modern Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hagar, A., 2008, "Kantova in ne-euklidska geometrija", Kant-Studien, 99 (1): 80–98.
  • Hanna, R., 2002, "Matematika za ljudi: Kantova filozofija aritmetike revidirana", Evropski časopis za filozofijo, 10 (3): 328–352.
  • Harper, W., 1984, "Kant o vesolju, empirični realizem in temelji geometrije", Topoi, 3 (2): 143–161. [Ponatis v Posy 1992.]
  • Hatfield, G., 2006, "Kant o dojemanju prostora (in časa)", v Guyerju 2006, str. 61–93.
  • Heis, J., prihajajoči, "Kant na vzporednih črtah", v Posy in Rechter, prihajajoči.
  • Hintikka, J., 1965, "Kantova nova metoda mišljenja" in njegove teorije matematike ", Ajatus, 27: 37–47.
  • –––, 1967, „Kant o matematični metodi“, Monist, 51 (3): 352–375. [Ponatis v Posy 1992]
  • –––, 1969, „O Kantovem pojmu intuicije (Anschauung)“, v T. Penelhum in JJ MacIntosh (ur.), Prva kritika, Belmont, Kalifornija: Wadsworth Publishing.
  • –––, 1984, „Kantova transcendentalna metoda in njegova teorija matematike“, Topoi, 3 (2): 99–108. [Ponatis v Posy 1992]
  • Hogan, D., v prihodnosti, "Kant in značaj matematičnega sklepanja", v prispevku Posy in Rechter.
  • Horstmann, RP, 1976, „Prostor kot intuicija in geometrija“, razmerje, 18: 17–30.
  • Jauernig, A., 2013, "Sintetična narava geometrije in vloga konstrukcije v intuiciji", v: S. Bacin, A. Ferrarin, C. La Rocca in M. Ruffing (ur.), Akten des XI. Internationalen Kant Kongresses 2010, Berlin / New York: Walter de Gruyter.
  • Kim, J., 2006, "Koncepti in intuicije v Kantovi filozofiji geometrije", Kant-Studien, 97 (2): 138–162.
  • Kitcher, P., 1975, „Kant in temelji matematike“, Filozofski pregled, 84 (1): 23–50. [Ponatis v Posy 1992]
  • Laywine, A., 1993, Kantova zgodnja metafizika in izvori kritične filozofije, Atascadero, CA: Ridgeview.
  • –––, 2010, „Kant in Lambert o geometrijskih postulatih v reformi metafizike“, v Domski in Dickson 2010, str. 113–133.
  • Longuenesse, B., 1998, Kant in sposobnost presoje. Princeton: Princeton University Press.
  • Martin, G., 1985, Aritmetika in kombinacija: Kant in njegovi sodobniki, J. Wubnig, (trans), Carbondale in Edwardsville: Southern Illinois University Press.
  • Melnick, A., 1984, „Geometrija oblike intuicije“, Topoi, 3 (2): 163–168. [Ponatis v Posy 1992]
  • Parsons, C., 1964, "Neskončnost in Kantovo pojmovanje" možnosti izkušenj ", Filozofski pregled, 73 (2): 182–197. [Ponatis v Parsonsu 1983]
  • –––, 1969, „Kantova filozofija aritmetike“, S. Morgenbesser, P. Suppes in M. White (ur.), Filozofija, znanost in metoda: eseji v čast Ernesta Nagela, New York: St. Martin's Pritisnite. [Ponatisano v Parsonsu 1983 in v Posyju 1992]
  • –––, 1983, Matematika v filozofiji: Izbrani eseji. Ithaca: Cornell University Press.
  • –––, 1984, „Aritmetika in kategorije“, Topoi, 3 (2): 109–121. [Ponatis v Posy 1992.]
  • –––, 1992, „Transcendentalna estetika“, v Guyerju 1992, str. 62–100.
  • –––, 2010, „Dve študiji recepcije Kantove filozofije aritmetike“, v Domski in Dickson, 2010, str. 135–153.
  • –––, 2012, Od Kanta do Husserla: Izbrani eseji, Cambridge: Harvard University Press.
  • Posy, C., 1984, "Kantov matematični realizem", The Monist, 67: 115–134. [Ponatis v Posy 1992.]
  • ––– (ur.), 1992, Kantova filozofija matematike: moderni eseji, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
  • –––, 2008, „Intuicija in neskončnost: Kantovska tema z odmevi v osnovah matematike“, Dodatek Royal Institute of Philosophy, 63: 165–193.
  • Posy, C. in Rechter, O. (ur.), Prihaja, Kantova filozofija matematike, 2 zvezka, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Rechter, O., 2006, "Pogled iz leta 1763: Kant na aritmetično metodo pred intuicijo", v E. Carson in R. Huber (ur.), Intuicija in aksiomatična metoda, Dordrecht: Springer.
  • Risjord, M., 1990, "Senzible Foundation for Mathematics: Zagovor Kantovega pogleda", Študije zgodovine in filozofije znanosti, 21 (1): 123–143.
  • Rusnock, P., 2004, "Je bila Kantova filozofija matematike prava za svoj čas?", Kant-Studien, 95 (4): 426–442.
  • Schönfeld, M., 2000, The Philosophy of the Young Kant: The Precritical Project, New York: Oxford University Press.
  • Shabel, L., 1998, „Kant o„ simbolni konstrukciji “matematičnih konceptov“, Študije zgodovine in filozofije znanosti, 29 (4): 589–621.
  • –––, 2003, Mathematics in Kant's Critical Philosophy: Reflections on Mathematical Practice, New York: Routledge.
  • –––, 2004, Kantov „Argument iz geometrije“, Časopis za zgodovino filozofije 42 (2): 195–215.
  • –––, 2006, „Kantova filozofija matematike“, v Guyerju 2006, str. 94–128.
  • Strawson, PF, 1966, Bounds of Sense, London: Methuen, peti del.
  • Sutherland, D., 2004a, "Kantova filozofija matematike in grška matematična tradicija", The Philosophical Review, 113 (2): 157–201.
  • –––, 2004b, „Vloga veličine v Kantovi kritični filozofiji“, Canadian Journal of Philosophy, 34 (3): 411–441.
  • –––, 2005a, „Kant o temeljnih geometrijskih odnosih“, Archiv für Geschichte der Philosophie, 87 (2): 117–158.
  • –––, 2005b, „Točka Kantovih aksiomov intuicije“, Pacific Philosophical Quarterly, 86 (1): 135–159.
  • –––, 2006, „Kant o aritmetiki, algebri in teoriji proporcij“, Časopis za zgodovino filozofije, 44 (4): 533–558.
  • –––, 2010, „Filozofija, geometrija in logika v Leibnizu, Wolffu in zgodnjem Kantu“, v Domski in Dickson, 2010, str. 155–192.
  • Thompson, M., 1972, „Singularni izrazi in intuicije v Kantovi epistemologiji“, Pregled metafizike, 26 (2): 314–343. [Ponatis v Posy 1992]
  • van Cleve, J. in Frederick, R. (ur.), 1991, The Philosophy of Right and Left: Incongruent Counterparts and the Nature of Space, Dordrecht, Boston: Kluwer Academic Publishers.
  • van Cleve, J., 1999, Problemi s Kanta, Oxford: Oxford University Press.
  • Young, JM, 1984, "Gradnja, shematizem in domišljija", Topoi, 3 (2): 123–131. [Ponatis v Posy 1992]

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

  • Kant: Pregled izdaje Akademije, celoten opis Kantove Gesammelte Schriften.
  • Kanta v spletu
  • Severnoameriško društvo Kant

Priporočena: