Mehka Logika

Kazalo:

Mehka Logika
Mehka Logika

Video: Mehka Logika

Video: Mehka Logika
Video: Логика 14. Общие сведения об умозаключениях 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Mehka logika

Prvič objavljeno v 15. november 2016; vsebinska revizija Tue 18. julij 2017

Nejasna logika je namenjena modeliranju logičnega sklepanja z nejasnimi ali nenatančnimi izjavami, kot je "Petr je mlad (bogat, visok, lačen itd."). Nanaša se na družino večvrednih logik (glej vnos o večvredni logiki) in tako določa, da je vrednost resnice (ki v tem primeru pomeni stopnjo resnice) logično sestavljenega predloga, kot je „Carles visok in Chris je bogat, "je določen z resničnostjo vrednosti njegovih sestavnih delov. Z drugimi besedami, tako kot v klasični logiki človek vsiljuje resničnost.

Mehka logika se je pojavila v kontekstu teorije mehkih množic, ki jo je uvedel Zadeh (1965). Nejasna množica dodeli elemente vesolja določeno stopnjo članstva, običajno resnično število od intervala ([0,1]). Nejasna logika se pojavi z dodeljevanjem stopenj resnice predlogom. Standardni niz vrednosti resnic (stopinj) je ([0,1]), kjer (0) pomeni "popolnoma napačno", (1) predstavlja "popolnoma resnično", druga števila pa se nanašajo na delne resnica, tj. vmesne stopnje resnice. [1]

"Mehka logika" se pogosto razume v zelo širokem smislu, ki vključuje vse vrste formalizmov in tehnik, ki se nanašajo na sistematično ravnanje z nekaterimi stopnjami (glej npr. Nguyen & Walker 2000). Zlasti v inženirskih okoliščinah (mehko krmiljenje, mehka klasifikacija, mehko računalništvo) je usmerjen v učinkovite računske metode, ki so odporne na premajhnost in natančnost (glej npr. Ross 2010). Ta vnos se osredotoča na mehko logiko v ozkem smislu, ki je bila uveljavljena kot disciplina matematične logike po semenarni monografiji Petra Hájeka (1998) in se danes navadno imenuje "matematična mehka logika" (glej Cintula, Fermüller, Hájek, & Noguera 2011 in 2015). Osredotoča se na logiko, ki temelji na resnično funkcionalnem prikazu delne resnice in jih preučuje v duhu klasične matematične logike (skladnja oz.modelna teoretska semantika, dokazni sistemi, popolnost itd.; tako na predlogski kot na predikatni ravni).

  • 1. Nejasne vezi, ki temeljijo na t-normativih
  • 2. MTL: Temeljna mehka logika
  • 3. logika Łukasiewicz
  • 4. Gödel – Dummettova logika
  • 5. Druge opazne mehke logike
  • 6. Predikatna logika
  • 7. Algebrajska semantika
  • 8. Teorija dokazovanja
  • 9. Semantika, ki upravičuje funkcionalnost resnice
  • 10. Nejasna logika in nejasnost
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Nejasne vezi, ki temeljijo na t-normativih

Standardni niz stopenj resnice za mehko logiko je dejanski interval enote ([0,1]) z njegovim naravnim urejenjem (leq), ki sega od celotne napačnosti (predstavljene z (0)) do popolne resnice (predstavljeno z (1)) skozi kontinuum vmesnih stopenj resnice. Najosnovnejša predpostavka (mainstream) matematične mehke logike je, da je treba povezave razlagati resnico funkcionalno v množici stopenj resnice. Domneva se, da se take resnične funkcije klasično obnašajo na skrajnih vrednostih (0) in (1). Zelo naravno vedenje vezanja in disjunkcije dosežemo z vsiljevanjem (x / land y = / min {x, y }) in (x / lor y = / max {x, y }) za vsak (x, y / v [0,1]).

Drug, ne-idempotenten veznik (&) je navadno dodan za razumevanje intuicije, da lahko uporaba delno resnične hipoteze dvakrat privede do resnične stopnje resnice kot uporaba le enkrat. Takšen veznik se ponavadi razlaga z binarno operacijo na ([0,1]), ki ni nujno idempotentna, je pa še vedno asociativna, komutativna, v obeh argumentih ne upada in ima (1) kot nevtralen element. Te operacije imenujemo t-norme (trikotne norme) in njihove matematične lastnosti so bile temeljito preučene (npr. Klement, Mesiar in Pap 2000). Izstopajoči primeri t-norm so že omenjena funkcija (min), standardni produkt realnih števil in,ukasiewicz t-norma: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Te tri t-norme so dejansko neprekinjene funkcije in vsako drugo neprekinjeno t-normo lahko opišemo kot zaporedni seštevek teh treh osnovnih (glej, Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Negacija se razlaga z naraščajočo funkcijo, ki dodeli (0) v (1) in obratno; običajna izbira sta negacija Łukasiewicz (neg_ {Ł} x = 1 - x) in negacija Gödel: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) in (neg_ / mathrm {G} x = 0) za vsako (x> 0). Običajno je tudi, da se za popolno napačnost vnese stalen simbol (preglas {0}), ki ga razlagamo kot (0). Končno je ustrezna izbira za posledico ostanek t-norme (ast), torej edinstvena funkcija (Rightarrow), ki izpolnjuje tako imenovani pogoj bivanja: (x / ast y / leq z), če in samo, če (x / leq y / Rightarrow z). Takšna funkcija obstaja (in je opredeljena kot (x / Rightarrow y = / max {z / mid x / ast z / leq y })), če in le, če je t-norma levo neprekinjena.

2. MTL: Temeljna mehka logika

Najšibkejša logika z vezniki, ki jih razlagajo resnične funkcije zgoraj opisanega tipa, je MTL (Monoidal T-norm, ki temelji na logiki, Esteva in Godo 2001). To je logika s primitivnimi vezmi (mathbin { &}, / to, / klin,) in (prekrivanje {0}) ter izvedljivimi veznimi datotekami, opredeljenimi kot: (začeti {poravnati} varphi / lor / psi & = ((varphi / to / psi) to / psi) land ((psi / to / varphi) to / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / to / overline {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / to / psi) land (psi / to / varphi), in \\ / overline {1} & = / neg / overline { 0}. / end {align}) MTL je opredeljen kot posledica razmerja glede semantike, ki jo podajajo vse levo neprekinjene t-norme. Namreč, glede na določeno levo kontinuirano t-normo (ast), je ocena (e_ / ast) preslikava iz predlaganih spremenljivk v ([0,1]),razširjeno na vse formule z razlago (&) kot (ast), implikacija (do) kot njen ostanek (Rightarrow) in (land) in (overline {0}) kot (min) in (0).

Formula (varphi) je posledica niza formul (Gamma) v MTL, označenih (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi), če je za vsak levo neprekinjen t- norma (ast) in vsako ocenjevanje (e_ / ast) tako, da (e (psi) = 1) za vsako (psi / v / Gamma) imamo (e (varphi) = 1); to pomeni: vsako vrednotenje, ki naredi prostore popolnoma resnične, mora tudi zaključek popolnoma resničen. Formule (varphi), ki vedno ocenjujejo na (1) ((models_ / mathrm {MTL} varphi)) imenujemo tavtologije MTL. Upoštevajte, da je formula ((varphi / mathbin { &} psi) to (varphi / land / psi)) tavtologija v MTL, torej je veznik (&) močnejši od (zemljišče).

MTL je mogoče predstaviti tudi v Hilbert-ovem dokaznem sistemu z naslednjimi aksiomi:

(začeti {poravnati} (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / to / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / do / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / land / psi & / do / varphi \\ / varphi / land / psi & / to / psi / land / varphi \(chi / to / varphi) & / to ((chi / to / psi) to (chi / to / varphi / wedge / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) & / to (varphi / to (psi / to / chi)) (varphi / to (psi / to / chi)) & / do (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) ((varphi / to / psi) to / chi) & / to (((psi / to / varphi) to / chi) do / chi) / \ preglasiti {0} & / do / varphi \\ / konec {poravnati})

in modus ponens kot edino pravilo sklepanja: od (varphi) in (varphi / do / psi), infer (psi). Ta sistem je popolna aksiomatizacija logike MTL: (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma / vdash_ / mathrm {MTL} varphi), pri čemer slednje razmerje označuje izvedljivost iz primeri zgornjih aksiomov in formul v (Gamma). Problem veljavnosti (mathrm {MTL}) je znano rešiti, vendar njegova računska zapletenost še ni določena.

3. logika Łukasiewicz

Logiko Łukasiewicz lahko določimo tako, da v sistem Hilbert-ovega sistema MTL dodamo [((varphi / to / psi) to / psi) to ((psi / to / varphi) to / varphi)). Ustreza končni različici posledicnega razmerja, ki je določena glede na ocene, ki temeljijo na t-normi iewukasiewicz t (v simbolih: za vsak končni niz formul (Gamma) in vsako formulo (varphi) imamo (Gamma / models_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). [2]

Ta logika je bil zgodnji primer večvredne logike, ki sta jo Łukasiewicz & Tarski (1930) uvedla precej pred začetkom teorije mehkih množic s pomočjo enakovrednega aksiomatičnega sistema (z modusom ponens kot edino pravilo sklepanja):

(začeti {poravnati} varphi & / to (psi / to / varphi) (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) ((varphi / to / psi) to / psi) & / to ((psi / to / varphi) to / varphi) (neg / psi / to / neg / varphi) & / do (varphi / to / psi) ((varphi / to / psi) & / to (psi / to / varphi)) to (psi / to / varphi) / \ konec {poravnati })

Łukasiewicz logika je edina mehka logika, ki temelji na t-normi, kjer se vse vezne točke razlagajo z neprekinjenimi funkcijami, vključno z implikacijo, ki jo kot rezidual (_ {Ł}) daje funkcija (x / to_ {Ł } y = / min {1,1-x + y }). McNaughtonov izrek (1951) navaja, da so funkcije, ki se vrednotijo po vrednosti [0,1] in interpretirajo formule Łukasiewiczove logike, natančno nepretrgane linearne funkcije s celoštevilnimi koeficienti. Z vidika kompleksnosti računa težava veljavnosti te logike ni asimptotično slabša kot pri klasični logiki: ostaja popolna coNP.

4. Gödel – Dummettova logika

Logika Gödel – Dummett, znana tudi kot Dummettova LC ali preprosto Gödelova logika, je še en zgodnji primer večvredne logike z resničnimi vrednostmi v ([0,1]). Uvedel ga je Michael Dummett (1959) kot podaljšek intuicijske logike (glej vnos o intuicijistični logiki) z aksiomo [(varphi / to / psi) lor (psi / to / varphi).) Ta formula uveljavlja linearni vrstni red v osnovni semantiki (v slogu Kripke in algebarske). Tudi v okviru Gödlovega opažanja se zdi, da je intuitivno logiko nemogoče karakterizirati s tabelami s končnimi resnicami (Gödel 1932). Logiko Gödel – Dummetta lahko dobimo tudi kot aksiomatično razširitev MTL z dodajanjem aksioma (varphi / to / varphi / mathbin { &} varphi), kar pomeni, da je potrebna idempotenca (&),in zato razlaga obeh veznikov sovpada. V nastavitvi mehke logike je logika Gödel – Dummett mogoče razumeti kot posledico, ki jo daje minimalna t-norma. Odlikuje se kot edina logika, ki temelji na t-normi, pri čemer resničnost formule v dani oceni ni odvisna od posebnih vrednosti, dodeljenih predlaganim spremenljivkam, temveč le od relativnega vrstnega reda teh vrednosti. V tem smislu je Gödel-Dummettova logika mogoče razumeti kot logiko primerjalne resnice. Tako kot za Łukasiewicz logiko tudi računska zapletenost preverjanja veljavnosti ostaja koNP popolna. Odlikuje se kot edina logika, ki temelji na t-normi, pri čemer resničnost formule v dani oceni ni odvisna od posebnih vrednosti, dodeljenih predlognim spremenljivkam, temveč le od relativnega vrstnega reda teh vrednosti. V tem smislu je Gödel-Dummettova logika mogoče razumeti kot logiko primerjalne resnice. Tako kot za Łukasiewicz logiko tudi računska zapletenost preverjanja veljavnosti ostaja koNP popolna. Odlikuje se kot edina logika, ki temelji na t-normi, pri čemer resničnost formule v dani oceni ni odvisna od posebnih vrednosti, dodeljenih predlognim spremenljivkam, temveč le od relativnega vrstnega reda teh vrednosti. V tem smislu je Gödel-Dummettova logika mogoče razumeti kot logiko primerjalne resnice. Tako kot za Łukasiewicz logiko tudi računska zapletenost preverjanja veljavnosti ostaja koNP popolna.

5. Druge opazne mehke logike

Poleg MTL (logika vseh le-kontinuiranih t-normativov) in Łukasiewicz in Gödel – Dummett-logike (ki jih sproži ena določena t-norma), je mogoče razmisliti o logiki, ki jo povzročajo drugi sklopi t-norm ali na splošno poljubni aksiomatski podaljški MTL. Zlasti logiko vseh neprekinjenih t-norm (Hájekova osnovna mehka logika) dobimo tako, da dodamo aksiom [(varphi / mathbin { &} (varphi / to {{ psi}})) v (psi / mathbin { &} (psi / do / varphi))) s tistimi iz MTL. Pravzaprav je za vsak niz neprekinjenih t-normativov končna aksiomatizacija ustrezne logike (Esteva, Godo, & Montagna 2003; Haniková 2014). Zlasti logika zadnje izrazite neprekinjene t-norme (algebrični izdelek), znane kot Product logika, je razširitev Hájekove osnovne mehke logike po aksiomi: (neg / varphi / vee ((varphi / to / varphi / mathbin { &} {{ psi}}) do {{ psi}})) Po drugi strani pa ni mogoče, da imajo vsi aksiomatični podaljški MTL semantiko t-norm. Na primer, klasično logiko je mogoče aksiomatizirati kot MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi), vendar aksiom izločene sredine ni tavtologija v nobeni interpretaciji, ki temelji na t-normi.

Obstajajo tudi razlogi za razmislek o šibkejši mehki logiki. Na primer, lahko trdimo, da so predpostavke, ki silijo razlago veznika kot t-norma, premočne. Zlasti predpostavka, da je (1) nevtralen element vezanja, uveljavlja definicijo tavtologije kot formule, ki se vedno ocenjuje z (1), in posledicni odnos kot ohranjanje vrednosti (1) - to je, (1) je edina določena vrednost v semantiki. [3]Naravni način uvajanja logike z več kot eno določeno stopnjo resnice je domnevati, da je nevtralni element za (ast) število (t <1). (Lahko se pokaže, da so v tej situaciji določene stopnje resnice natančneje tiste, ki so večje ali enake (t).) Takšne razlage veznikov imenujemo uninorms. Nastalo logiko sta aksiomatizirala Metcalfe & Montagna (2007).

Analogno lahko kdo trdi proti komutativnosti ali celo proti asociativnosti veznika. Aksiomatizacije dobljenih logik so opisane v literaturi (glej Cintula, Horčík, & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); izjema je logika nekomutivativnih uninormov, za katere naravni aksiomatski sistem ni znan.

Nazadnje, če upoštevamo, da mehke logike, za razliko od klasične logike, običajno niso funkcionalno dokončane, lahko povečamo njihovo izrazno moč z dodajanjem novih zvez. Najpogosteje se štejejo vezi: konstante resnice (bar r) za vsako racionalno število (r / in (0,1)); unry konektorji (sim) in (trikotnik), ki se razlagajo kot ({ sim} x = 1-x) in (trikotnik x = 1), če (x = 1) in (0) drugače; binarna veznica (odot), ki se razlaga kot običajni algebrični izdelek itd. (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo, & Noguera 2007; Esteva, Godo, & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek in Navara 2000).

Temeljit pregled vseh vrst predloge mehke logike, omenjene v tem razdelku (in njihova splošna teorija), je na voljo v priročniku Matematične mehke logike (3 zvezki, Cintula in sod. 2011a, b, 2015).

6. Predikatna logika

Glede na kakršno koli predlagano mehko logiko L obstaja enoten način, da v prvotni jezik (mathcal {P \! L}) vnesete svojega kolega prvega reda L (forall) (opredeljenega kot v klasičnem primeru). V tem razdelku ga zaradi preprostosti predstavljamo za logiko, ki temelji na t-normi.

Semantika je podana s strukturami, v katerih se predikalni simboli razlagajo kot funkcije, ki preslikajo naboje elementov domene v resnične vrednosti. Natančneje, strukturo ({ mathbf M}) sestavlja neprepustna domena elementov (M), funkcija (f _ { mathbf M} dvopičje M ^ n / do M) za vsak (n) - simbol ary funkcije (f / in / mathcal {P \! L}) in funkcija (P _ { mathbf M} dvopičje M ^ n / do [0,1]) za vsak (n) - arilni predikatni simbol (P / in / mathcal {P \! L}). Če pritrdimo oceno ({ mathrm v}) objektnih spremenljivk v (M), določimo vrednosti izrazov ((| f (t_1, / pike, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / pike, / | t_n / | _ { mathrm v}))) in resnične vrednosti atomskih formul ((| P (t_1, / pike, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / pike, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Vrednosti resnice univerzalno / eksistencialno kvantificirane formule se izračunajo kot infimum / supremum resničnih vrednosti primerov formule, kjer količinsko določena spremenljivka poteka nad vsemi elementi domene (M). Formalno: (začeti {poravnati} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} sred a / v M } / \ | (obstaja x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} sredi / v M }, \\ / konec {poravnati}), kjer je ({ mathrm v} [x {:} a]) pošiljanje ocene (x) do (a) in ohranjanje nespremenjenih vrednosti drugih spremenljivk. Vrednosti drugih formul so izračunane z uporabo funkcije resnice za propozicijske povezovalnice L.(začeti {poravnati} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } sredi / v M } / \ | (obstaja x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} sredi / v M }, \\ / konec {poravnati}), kjer je ({ mathrm v} [x {:} a]) ocena, ki jo pošlje (x) v (a) in ohranjanje nespremenjenih vrednosti drugih spremenljivk. Vrednosti drugih formul so izračunane z uporabo funkcije resnice za propozicijske povezovalnice L.(začeti {poravnati} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } sredi / v M } / \ | (obstaja x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} sredi / v M }, \\ / konec {poravnati}), kjer je ({ mathrm v} [x {:} a]) ocena, ki jo pošlje (x) v (a) in ohranjanje nespremenjenih vrednosti drugih spremenljivk. Vrednosti drugih formul so izračunane z uporabo funkcije resnice za propozicijske povezovalnice L. Vrednosti drugih formul so izračunane z uporabo funkcije resnice za propozicijske povezovalnice L. Vrednosti drugih formul so izračunane z uporabo funkcije resnice za propozicijske povezovalnice L.

Logika L prvega reda (forall) je potem definirana kot posledica, ki jo daje ohranitev popolne resnice (vrednost (1)), kot v predlagalnem primeru. Natančneje, pravimo, da je formula prvega reda (varphi) posledica nabora formul (Gamma) (v simbolih: (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi)) če (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) za vsako oceno v, kadarkoli (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) za vsako ocena v in vsaka (psi / v / Gamma).

L (forall) lahko damo izračun v slogu Hilberta z naslednjimi aksiomi:

  • (P) Primeri (prvega reda) aksiomov propozicijske logike L
  • ((forall1)) ((forall x) varphi (x) to / varphi (t)), pri čemer je izraz (t) nadomestljiv za (x) v
  • ((obstaja1)) (varphi (t) to (obstaja x) varphi (x)), pri čemer je izraz (t) nadomestljiv z (x) v
  • ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), kjer (x) ni brezplačno v (chi)
  • ((obstaja2)) ((forall x) (varphi / to / chi) to ((obstaja x) varphi / to / chi)), kjer (x) ni prost v (chi)
  • ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) to / chi / vee (forall x) varphi), kjer (x) ni prost v (chi).

Pravila odbitka L (forall) so pravila L in pravilo posploševanja: od (varphi) infer ((forall x) varphi).

Za številne opazne predloge mehke logike (vključno z logiko MTL in Gödel) je zgornji aksiomatični sistem glede na semantiko dober in dovršen (tj. (Gamma / modeli _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) za vsakega (Gamma) in vsakega (varphi); Cintula, Horčík in Noguera 2014).

Vendar logicukasiewiczova logika prvega reda ni rekurzivno aksiomatizirana, kot je pokazal Scarpellini (1962; Ragaz (1981)), ki je dokazal, da je nabor tavtologij pravzaprav (Sigma_2) - popoln v smislu aritmetične hierarhije). Popolnost je mogoče doseči z vključitvijo infinitarnega pravila sklepanja (Hay 1963) ali s posploševanjem niza resničnih vrednosti (glej naslednje poglavje). Situacija je še bolj zapletena v primeru Hájekove osnovne mehke logike, kjer je nabor tavtologij prvega reda vseh struktur, ki jih dajejo stalne t-norme, tako kompleksen kot prava aritmetika (Montagna 2001).

7. Algebrajska semantika

Eno glavnih orodij pri preučevanju meglene logike je orodje algebrajske semantike (glej vnos o algebrski semantiki). Grobo rečeno, ideja je nadomestiti dejanski interval enote s poljubnim nizom in interpretirati veznice kot operacije ustreznih aritet na tem nizu.

MTL-algebra (uvedla Esteva & Godo (2001)) je nabor ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) kam

  • (langle A, / klin, / vee, / prekrivanje {0}, / prekrivanje {1} rangle) je omejena rešetka
  • (langle A, &, / overline {1} rangle) je komutacijski monoid
  • ((x / do y) vee (y / do x) = / prekrivanje {1})
  • (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / to z) (kjer je (leq) vrstni red rešetke, ki ga povzroči (klin) ali (vee)).

MTL-algebre so posplošitev zgoraj opisane semantike t-norme in zagotavljajo zanesljivo in popolno semantiko MTL. [4]

MTL-verige so tiste, katerih vrstni red rešetk je popoln in so osnovni gradniki celotnega razreda algeb, v smislu, da se lahko vsaka MTL-algebra razgradi kot poddirektni verig. To pomeni, da je logika popolna tudi glede semantike verig MTL, ki se nato uporabi kot prvi korak v dokazu popolnosti glede na semantiko, ki temelji na t-normi (Jenei in Montagna 2002).

Algebrajska semantika je univerzalno orodje, ki se lahko uporablja za vsako logiko. Zlasti za vsako poljubno mehko logiko, ki se preučuje v literaturi (tudi tiste, ki ne podpirajo semantike, ki temelji na t-normi, kot je mejna logika s končnimi vrednostmi ali logika nekomutativnih uninormov), lahko poiščemo ustrezen razred algeb, ki so lahko razpadla kot verižni proizvodi verig. Zaradi tega dejstva je Běhounek in Cintula (2006) predlagala opredelitev mehke logike kot logike, ki je popolna glede na popolnoma urejene algebarske strukture.

Uporaba algebrske semantike za logiko prvega reda ponavadi prinaša manjšo kompleksnost preizkušanja veljavnosti ali izpolnljivosti kot standardna semantika (Montagna in Noguera 2010).

8. Teorija dokazovanja

Pred izzivom analitičnih sistemov za mehko logiko je bil velik izziv. Gre za sisteme, ki si delijo pomembne lastnosti, kot je odpravljivost rezov in lastnosti subformule, z Gentzen-jevim zaporednim izračunom za klasično in intuicijsko logiko (glej vnos o razvoju teorije dokazovanja). Večji preboj je bil dosežen z uvedbo tako imenovanega hipersekvenčnega izračuna za Gödel-Dummettovo logiko Arnona Avrona (1991). Hipersekvenčni izračuni izhajajo iz sekvenčnih izračunov, če upoštevamo končne večsede ali sekvence sekvenc, ki jih razlagamo kot ločitve zaporedja kot glavni predmet sklepanja. V primeru Gödel-Dummettove logike eden odpravi pravila Gentzen-ove intuicijistične sekvence izračunov s preprosto dodajanjem stranskih hipersekancev zgornjim in spodnjim zaporedjem. Na primerzaporedno pravilo za uvedbo disjunkcije na desni strani (frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}] kjer sta (Gamma_1) in (Gamma_2) končna zaporedja formul, se pretvori v naslednje hipercesijsko pravilo: (frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}), kjer (H) in (H') označujeta stransko- hipersekvenci, tj. končna zaporedja ali večsesti sekvenc. To samo po sebi ne spreminja ustrezne logike (v tem primeru intuicijska logika). Ključno dodatno strukturno pravilo je tako imenovano pravilo komunikacije: (frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Rightarrow / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Tukaj (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) so končni seznami formul; (Delta_1) in (Delta_2) sta enotni formuli ali ostaneta prazna; (H) in (H ') označujeta stranske hipersekvencije, kot zgoraj.

Za pridobitev hiperseksualnega izračuna za temeljno mehko logiko MTL je treba komunikacijsko pravilo dodati zaporednemu sistemu za različico intuicijske logike brez kontrakcije. Analitični dokazni sistemi za druge meglene logike, zlasti Łukasiewicz logiko, zahtevajo bolj radikalen odmik od tradicionalnih kalkulacij, kjer se zaporedne komponente hipersekvenc razlagajo drugače kot intuicijistična ali klasična zaporedja. Predlagani so tudi tako imenovani zaščitni sistemi in različni tabeli. Podrobna predstavitev ustreznega stanja tehnike je na voljo v Metcalfe, Olivetti, & Gabbay 2008 in Metcalfe 2011.

9. Semantika, ki upravičuje funkcionalnost resnice

Zaželeno je, da ne samo s filozofskega vidika, ampak tudi za boljši oprijem potencialnih aplikacij mehke logike, da pomen posredniških vrednosti resnice in ustreznih logičnih povezav povežemo z osnovnimi modeli sklepanja z nejasnimi in nenatančnimi pojmi. Predstavljena je bila vrsta takšne semantike, ki poskuša upravičiti določene izbire resničnih funkcionalnih povezav. Tu sta na kratko opisana samo dva.

Semantika glasovanja temelji na ideji, da lahko različni zastopniki (volivci) skladno presojajo isto trditev. Delež agentov, ki sprejmejo predlog (varphi) kot resničnega, je mogoče videti kot vrednost resnice. Brez nadaljnjih omejitev to ne vodi do funkcionalne semantike resnice, temveč do dodelitve verjetnosti propozicijam. Če pa vsakemu povzročitelju dodelimo določeno raven skepticizma in naloži nekaj naravnih pogojev, ki presojajo logično zapletene izjave skladne s temi ravnmi, potem si lahko opomore (min), (max) in (1-x) kot resnične funkcije za vezanje, ločevanje in negacijo. Podrobnosti najdete v Lawry 1998.

Giles (1974) je predstavil še en intriganten model sklepanja, ki opravičuje vse predloge povezovalcev standardne Łukasiewiczove logike. Sestavljen je v igri, kjer dva igralca, jaz in ti, sistematično reduciramo logično zapletene trditve (formule) na enostavnejše po pravilih, kot so:

  • Če trdim (varphi / lor / psi), potem moram uveljavljati bodisi (varphi) bodisi (psi).
  • Če trdim (varphi / land / psi), potem izberete enega od veznikov in moram potrditi bodisi (varphi) bodisi (psi).
  • Če trdim (varphi / to / psi), potem moram uveljaviti (psi), če se strinjate (varphi).

Pravila za količinsko opredeljene izjave se nanašajo na fiksno domeno, ob predpostavki, da za vsak element domene obstaja stalen simbol, ki določa:

  • Če trdim ((forall x) varphi (x)), potem moram uveljaviti (varphi (c)), za konstanto (c), ki jo izberete vi.
  • Če trdim ((obstaja x) varphi (x)), potem moram uveljaviti (varphi (c)), za konstanto (c), ki sem jo izbral sam.

Pravila za vaše trditve so dvojna. Ob vsakem stanju igre se izbere pojav ne-atomske formule v večsetih trenutnih trditev, ki jih imam jaz ali vi, in jih nadomestite s podformulami, kot so navedena v teh pravilih, dokler ne ostanejo samo atomske trditve. Končno stanje igre se nato oceni v skladu z naslednjo shemo stav.

Za vsako atomsko formulo obstaja ustrezen poskus, ki lahko odpove ali uspe, vendar lahko pokaže razpršenost, tj. Ob ponovitvi lahko daje različne rezultate. Vsakemu poskusu in s tem vsaki atomski formuli je dodeljena fiksna verjetnost odpovedi, imenovana vrednost tveganja. Igralci morajo plačati ($) 1 drugemu igralcu za vsako svojo atomsko trditev, če z njim povezani poskusi ne uspejo. Za vsako igro, ki se začne z mojo trditvijo (varphi), lahko pričakujemo, da pričakujem skupno izgubo denarja, če oba igramo racionalno, da obratno ustreza vrednosti resnice (varphi), ocenjeni v razlagi logike Łukasiewicz, da atomskim formulam dodeli obratno vrednost tveganja kot vrednosti resnice. Zlasti formula v logiki Łukasiewicz velja le, če in samo, če za vsako dodelitev vrednosti tveganjaImam strategijo, ki zagotavlja, da je moja pričakovana skupna izguba na koncu igre (0) ali negativna.

Fermüller & Metcalfe (2009) sta izpostavila ujemanje med optimalnimi strategijami Gilesove igre in brezrezervenimi dokazi v hipersedečnem sistemu za Łukasiewiczovo logiko. Fermüller & Roschger (2014) so igro razširili tudi na opis različnih vrst (pol) mehkih kvantifikatorjev, namenjenih modeliranju naravnih jezikovnih izrazov, kot sta „približno polovica“ali „skoraj vse“.

Pariz (2000) ponuja pregled nad drugo semantiko, ki podpira različne izbire funkcij resnice; zlasti ponovna randomizacija semantike (Hisdal 1988), semantika podobnosti (npr. Ruspini 1991), semantika sprejemljivosti (Pariz 1997) in semantika približevanja (Pariz 2000). Omenimo še semantiko Běhounek (2009), ki temelji na virih. Poleg tega obstajajo različne oblike ocenjevalnih iger za različne meglene logike, poleg zgoraj opisane logike Giles for Łukasiewicz. Pregled teh semantičnih iger najdete v Fermüllerju 2015.

10. Nejasna logika in nejasnost

Modeliranje sklepanja z nejasnimi predikati in propozicijami se pogosto navaja kot glavna motivacija za uvedbo mehke logike. Obstaja veliko alternativnih teorij o nejasnosti (glej vnos o nejasnosti), vendar obstaja splošno soglasje, da je dovzetnost za paradoks soritov (glej vnos paradoksa sorita) glavna značilnost nejasnosti. Razmislite o naslednji različici paradoksa:

  • (1) (10 ^ {100}) je ogromno število.
  • (2) Če je (n) ogromno število, potem je (n-1) tudi ogromno.

Zdi se, da se ti dve predpostavki ne spodobita. Z uveljavitvijo (n) z (10 ^ {100}) v (2) in uporabo modusov ponens s (1) kot drugo premiso sklepamo, da je (10 ^ {100} -1) ogromno. S preprosto ponovitvijo te vrste sklepanja pridemo do nerazumne izjave

(3) (0) je ogromno število

Nejasna logika nakazuje analizo paradoksa sorita, ki spoštuje intuicijo, da izjava (2), čeprav zagotovo ni povsem resnična, skoraj drži.

Obstajajo različni načini za modeliranje te oblike sklepanja v mehkih logikah, ki temeljijo na t-normi, ki razrešijo paradoks. Na primer, lahko izjavimo, da je vsak primer modus ponens zdrav, če stopnja resničnosti sklepa ni nižja od stopnje močne povezanosti njegovih premis. [5]Kot je navedeno, je določeno, da je vsak primer (2) resničen do stopnje (1- / epsilon), za nekaj zelo majhnega števila (epsilon). Tudi če izjavimo, da je (1) popolnoma resnična, je izjava, da je (10 ^ {100} -1) tudi ogromno, potem morda manj kot popolnoma resnična, ne da bi pri tem žrtvovali trdnost instancije in modus ponen. Če je poleg tega stopnja resničnosti povezanosti dveh ne povsem resničnih (ali ne povsem napačnih) trditev manjša kot pri vsakem vezniku, lahko trdimo, da je izjava (3) popolnoma napačna in vseeno vztrajamo pri trdnosti vsak korak v navedeni verigi sklepov. Neuradno gledano paradoks izgine, če domnevamo, da večkratno zmanjševanje kakšnega povsem velikega števila za majhno količino privede do številk, od katerih je vse manj res, da jih je tudi ogromno.

Hájek & Novák (2003) sta predlagala alternativno rešitev na stopnji resnice na paradoksu sorita. Uvajajo novo resnično funkcionalno vezniško modeliranje izraza "to je skoraj res." Na ta način formalizirajo razmišljanje o soritskih slogih v aksiomatični teoriji ustrezne mehke logike, ki temelji na t-normi.

Smith (2008; glej tudi 2005) je trdil, da tako imenovano načelo zaprtosti zajema bistvo nejasnosti. Izraža, da morajo izjave enake oblike o nerazločljivih predmetih ostati resnične glede resnice. To je znak številnih pristopov k paradoksu, ki uporabljajo mehko logiko, da so združljivi s tem načelom. [6]

Bibliografija

Dopolnilni dokument:

Bibliografija razvrščena po temah

  • Aguzzoli, S., Bova, S., in Gerla, B., 2011, "Proste algebre in funkcionalna reprezentacija za mehke logike", v P. Cintula, P. Hájek in C. Noguera, (uredniki), Priročnik za matematiko Fuzzy Logic, letnik 2, (Matematična logika in temelji, letnik 38), London: College Publications, strani 713–719.
  • Avron, Arnon, 1991, "Hipersekvenci, logična posledica in vmesna logika za sočasnost", Anali matematike in umetne inteligence, 4 (3–4): 225–248. doi: 10.1007 / BF01531058
  • Baaz, Matthias, 1996, "Logika z neskončno vrednostjo Gödel z 0-1 projekcijami in relativizacijami", v Petr Hájek (ur.), Gödel'96: Logične osnove matematike, računalništva in fizike (Opombe predavanja v logiki, letnik 6), Brno: Springer, 23–33
  • Baaz, M., Hájek, P., Montagna, F. in Veith, H., 2002, "Kompleksnost T-tavtologij", Anali čiste in uporabne logike, 113 (1–3): 3–11.
  • Baaz, Matthias in Preining, Norbert, 2011, "Gödel-Dummett Logics", v Cintuli, Petr, Petr Hájek in Carles Noguera (ur.), Priročnik matematične mehke logike, letnik 2, (Matematična logika in temelji, zvezek 38), London: College Publications, strani 585–625.
  • Běhounek, Libor, 2009, “Mehka logika, ki se razlaga kot logika virov”, v Michalu Pelišu (ur.), The Logica Yearbook 2008, London: College Publications, str. 9–21.
  • –––, 2014, „V katerem pomenu je mehka logika logika za nejasnost?“, V Lukasiewicz, Thomas, Peñaloza, Rafael in Turhan, Anni-Yasmin (uredniki), PRUV 2014: Logika za razmišljanje o preferencah, negotovosti, in Nejasnost, (Zbornik delavnic CEUR, letnik 1205), Dresden: CEUR.
  • Běhounek, Libor in Cintula, Petr, 2005, "Teorija mehkih razredov", Mehke garniture in sistemi, 154 (1): 34–55.
  • –––, 2006, „Mehke logike kot logika verig“, Mehke garniture in sistemi, 157 (5): 604–610.
  • Běhounek, Libor in Haniková, Zuzana, 2014, “Nastavite teorijo in aritmetiko v mehki logiki”, v Montagni, Franco (urednik), Petr Hájek o matematični mehki logiki, (izjemni prispevki k logiki, letnik 6), Cham: Springer, strani 63–89.
  • Bělohlávek, R. in Vychodil, V., 2005, Fuzzy Equational Logic, (Študije mehkega in mehkega računanja, letnik 186), Berlin in Heidelberg: Springer.
  • Bobillo, F., Cerami, M., Esteva, F., García-Cerdaña, A., Peñaloza, R., in Straccia, U., 2015, "Ločne opisne logike", v Cintula, P., Fermüller, CG, in Noguera, C., (uredniki), Priročnik matematične mehke logike, letnik 3, (Matematična logika in temelji, letnik 58), London: College Publications, strani 1105–1181.
  • Bou, F., Esteva, F., Godo, L., in Rodríguez, RO, 2011, „O minimalni večvrednoteni modalni logiki v končni rezidentirani rešetki“, Časopis za logiko in računanje, 21 (5): 739 –790.
  • Busaniche, Manuela in Montagna, Franco, 2011, “Hájekova logika BL in BL-Algebras”, v Cintuli, Petr, Petr Hájek in Carles Noguera (ur.), Priročnik matematične mehke logike, letnik 1, (Matematična logika in Temelji, letnik 37), London: College Publications, strani 355–447.
  • Ciabattoni, A., Galatos, N., in Terui, K., 2012, “Algebraic Teory of proof for Substructural Logics: Cut-Elimination and Doplete”, Anali čiste in uporabne logike, 163 (3): 266-290.
  • Caicedo, X., in Rodríguez, RO, 2010, “Standard Gödel Modal Logics”, Studia Logica, 94 (2): 189–214.
  • Cicalese, F. in Montagna, F., 2015, „Ulam-Rényi Game Semantics for Fuzzy Logics“, v P. Cintula, CG Fermüller in C. Noguera, (uredniki), Priročnik matematične mehke logike, letnik 3, (Matematična logika in temelji, letnik 58), London: College Publications, strani 1029–1062.
  • Cignoli, R., D'Ottaviano, IM in Mundici, D., 1999, Algebraic Temelji večvrednotenega razmišljanja, (letnik 7), Dordrecht: Kluwer.
  • Cintula, Petr, 2006, "Šibko nepredvidljiva (mehka) logika I: Osnovne lastnosti", Arhiv za matematično logiko, 45 (6): 673–704.
  • Cintula, P., Esteva, F., Gispert, J., Godo, L., Montagna, F., in Noguera, C., 2009, "Razlikovana algebrajska semantika za mehke logike, ki temeljijo na tirmi: metode in algebarske enakovrednosti", Anali čiste in uporabne logike, 160 (1): 53–81.
  • Cintula, Petr, Christian Fermüller in Carles Noguera (ur.), 2015, Priročnik matematične mehke logike, letnik 3, (Študije v logiki, letnik 58), London: College Publications.
  • Cintula, Petr, Petr Hájek in Carles Noguera (ur.), 2011a, Priročnik matematične mehke logike, zvezki 1 (Študije v logiki, letnik 37), London: College Publications.
  • ––– (ur.), 2011b, Priročnik matematične mehke logike, letnik 2 (Študije v logiki, letnik 38), London: College Publications.
  • Cintula, Petr, Rostislav Horčík, & Carles Noguera, 2013, „Neosebna podstrukturna logika in njihove polpretekle razširitve: Aksiomatizacija in lastnosti popolnosti“, Pregled simbolične logike, 6 (3): 394–423. doi: 10.1017 / S1755020313000099
  • –––, 2014, „Iskanje osnovne mehke logike“, Franco Montagna (ur.), Petr Hájek o matematični mehki logiki (izjemni prispevki k logiki, letnik 6), Cham: Springer, str. 245–290. doi: 10.1007 / 978-3-319-06233-4_12
  • Cintula, Petr in Noguera, Carles, 2011, "Splošni okvir matematične mehke logike", v Cintuli, Petr, Petr Hájek in Carles Noguera (ur.), Priročnik matematične mehke logike, letnik 1, (Matematična logika in Temelji, letnik 37), London: College Publications, strani 103–207.
  • Cintula, P. in Metcalfe, G., 2009, "Strukturna popolnost v mehki logiki", Notre Dame Journal of Formal Logic, 50 (2): 153–183.
  • Dellunde, P., 2012, “Ohranjanje preslikav v mehki predikatni logiki”, Journal of Logic and Computation, 22 (6): 1367–1389.
  • Di Nola, A. in Gerla, G., 1986, “Mehki modeli jezikov prvega reda”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 32 (19–24): 331–340.
  • Dummett, Michael, 1959, "Propozicionirni izračun s številčno matrico", Časopis za simbolično logiko, 24 (2): 97–106. doi: 10.2307 / 2964753
  • Esteva, Francesc, Joan Gispert, Lluís Godo in Carles Noguera, 2007, „Dodajanje resnic-konstanc k logiki neprekinjenih T-normativov: Aksiomatizacija in rezultati popolnosti“, Mehke garniture in sistemi, 158 (6): 597–618. doi: 10.1016 / j.fss.2006.11.010
  • Esteva, Francesc & Lluís Godo, 2001, "Lonološka logika na osnovi t-norme: v smeri logike za levo neprekinjene T-norme", Mehke garniture in sistemi, 124 (3): 271–288. doi: 10.1016 / S0165-0114 (01) 00098-7
  • Esteva, Francesc, Godo, Lluís in García-Cerdaña, Angel, 2003, "O hierarhiji reziduairanih mehkih logik, ki temeljijo na t-normi", v Fittingu, Melvinu in Orłowski, Ewa, (uredniki), Beyond Two: Theory and Uporaba večvrednotene logike (Študije mehkosti in mehkega računanja, zvezek 114), Heidelberg: Springer, strani 251–272.
  • Esteva, Francesc, Lluís Godo, Petr Hájek in Mirko Navara, 2000, "Preostale mehke logike z involucijsko negacijo", Arhiv za matematično logiko, 39 (2): 103–124. doi: 10.1007 / s001530050006
  • Esteva, Francesc, Godo, Lluís in Marchioni, Enrico, 2011, "Mehke logike z obogatenim jezikom", v Cintuli, Petr, Petr Hájek in Carles Noguera (ur.), Priročnik matematične mehke logike, letnik 2, (Matematično Logika in temelji, letnik 38), London: College Publications, strani 627–711.
  • Esteva, Francesc, Lluís Godo in Franco Montagna, 2001, "Logiki (L / Pi) in (L / Pi / frac12): dva celovita mehka sistema, ki se pridružita Łukasiewicz in logiki izdelkov", Arhiv za matematično logiko, 40 (1): 39–67. doi: 10.1007 / s001530050173
  • –––, 2003, „Aksiomatizacija katere koli preostale mehke logike, ki jo definira neprekinjena T-norma“, v Taner Bilgiç, Bernard De Baets in Okyay Kaynak (ur.), Mehke garniture in sistemi: IFSA 2003 (Opombe predavanj v računalniku Science, vol. 2715), Berlin / Heidelberg: Springer, str. 172–179. doi: 10.1007 / 3-540-44967-1_20
  • Fedel, M., Hosni, H., in Montagna, F., 2011, "Logična značilnost skladnosti za natančne verjetnosti", Mednarodni časopis za približno razmišljanje, 52 (8): 1147–1170, doi: 10.1016 / j. ijar.2011.06.004.
  • Fermüller, Christian G., 2015, „Semantične igre za mehko logiko“, v Cintuli, Fermüller in Noguera 2015: 969–1028.
  • Fermüller, Christian G. & George Metcalfe, 2009, "Gilesova igra in dokazna teorija za Łukasiewicz Logic", Studia Logica, 92 (1): 27–61. doi: 10.1007 / s11225-009-9185-2
  • Fermüller, Christian G. in Christoph Roschger, 2014, »Sendomics of Randomized Game Semantics for Semi-Fuzzy Quantifiers«, Logic Journal of Interest Group of Pure and Applied Logic, 22 (3): 413–439. doi: 10.1093 / jigpal / jzt049
  • Flaminio, T., Godo, L. in Marchioni, E., 2011, "Obrazložitev o negotovosti mehkih dogodkov: pregled", v Cintuli, Petr, Fermuller, Christian G., Godo, Lluis in Hájek, Petr, (uredniki), Razumevanje nejasnosti: logična, filozofska in jezikovna perspektiva, (Študije v logiki, zvezek 36), London: College Publications, strani 367–400.
  • Flaminio, T., in Kroupa, T., 2015, »Stanja MV-Algebras«, v Cintuli, Petr, Christian Fermüller in Carles Noguera (ur.), Priročnik matematične mehke logike, letnik 3, (Matematična logika in Temelji, letnik 58), London: College Publications, strani 1183–1236.
  • Font, Josep Maria, 2016, Abstraktna algebarska logika: uvodni učbenik, (Matematična logika in temelji, letnik 60), London: College Publications.
  • Galatos, Nikolaos, Jipsen, Peter, Kowalski, Tomasz in Ono, Hiroakira, (uredniki), 2007, Preostale rešetke: Algebraični blisk v podstrukturni logiki, (Študije v logiki in temelji matematike, letnik 151), Amsterdam: Elsevier.
  • García-Cerdaña, A., Armengol, E., in Esteva, F., 2010, "Ločne opisne logike in mehke logike, ki temeljijo na normi", Mednarodni časopis za približno sklepanje, 51 (6): 632–655.
  • Gerla, G., 2001, Mehko logično-matematično orodje za približno razmišljanje, (Trendi v logiki, letnik 11), New York: Kluwer in Plenum Press.
  • Giles, Robin, 1974, „Neklasična logika za fiziko“, Studia Logica, 33 (4): 397–415. doi: 10.1007 / BF02123379
  • Gödel, Kurt, 1932, „Zum intuitionistischen Aussagenkalkül“, Anzeiger Akademie Der Wissenschaften Wien, 69: 65–66.
  • Godo, L., Esteva, F. in Hájek, P., 2000, "Razlog o verjetnosti z uporabo mehke logike", Svet nevronskih mrež, 10 (5): 811–823, (Posebna številka za SOFSEM 2000).
  • Goguen, Joseph A., 1969, "Logika nedotaknjenih konceptov", Synthese, 19 (3–4): 325–373.
  • Gottwald, Siegfried, 2001, Priloga o večvredni logiki, (Študije logike in računanja, zvezek 9), Baldock: Research Studies Press Ltd.
  • Hájek, Petr, 1998, Metamathetika mehke logike (trendi v logiki, letnik 4), Dordrecht: Kluwer.
  • –––, 2001, „Na zelo resnično“, Mehke garniture in sistemi, 124 (3): 329–333.
  • –––, 2005, „Izdelava logike mehkega opisa bolj splošna“, Mehke garniture in sistemi, 154 (1): 1–15.
  • Hájek, P. in Cintula, P., 2006, “O teorijah in modelih v mehki predikatni logiki”, Časopis za simbolično logiko, 71 (3): 863–880.
  • Hájek, P., in Haniková, Z., 2003, "Razvoj teorije množic v mehki logiki", v Fittingu, Melvinu in Orłowski, Ewa, (uredniki), onkraj dveh: Teorija in aplikacije večvrednotene logike, (Študije mehkosti in mehkega računanja, letnik 114), Heidelberg: Springer, strani 273–285.
  • Hájek, P., Montagna, F., & Noguera, C., 2011, "Aritmetična kompleksnost mehke logike prvega reda", v Cintuli, Petr, Hájek, Petr, in Noguera, Carles, (uredniki), Priročnik za matematiko Fuzzy Logic, letnik 2, (Matematična logika in temelji, zvezek 38), London: College Publications, strani 853–908.
  • Hájek, Petr & Vilém Novák, 2003, „Paradoks soritov in mehka logika“, International Journal of General Systems, 32 (4): 373–383. doi: 10.1080 / 0308107031000152522
  • Háajek, P., Paris, J., in Shepherdson, JC, 2000, "Lažni paradoks in mehka logika", Časopis za simbolično logiko, 65 (1): 339–346.
  • Haniková, Zuzana, 2011, »Računalniška zapletenost propozicijske mehke logike«, v Cintuli, Petr, Hájek, Petr in Noguera, Carles, (uredniki), Priročnik matematične mehke logike, letnik 2, (Matematična logika in temelji, letnik 38), London: College Publications, strani 793–851.
  • –––, 2014, „Sorte, ki jih ustvarjajo standardne BL-algebre“, vrstni red, 31 (1): 15–33. doi: 10.1007 / s11083-013-9285-5
  • Hansoul, G. in Teheux, B., 2013, "Razširitev řukasiewicz-logike z modaliteto: algebrajski pristop k relativni semantiki", Studia Logica, 101 (3): 505–545, doi: 10.1007 / s11225-012-9396- 9.
  • Hay, Louise Schmir, 1963, "Aksiomatizacija neskončno ovrednotenega predikalnega izračuna", Časopis za simbolično logiko, 28 (1): 77–86. doi: 10.2307 / 2271339
  • Hisdal, Ellen, 1988, "So stopnje verjetnosti članstva?" Mehke garniture in sistemi, 25 (3): 325–348. doi: 10.1016 / 0165-0114 (88) 90018-8
  • Horčík, Rostislav, 2011, “Algebraic Semantics: Semilinear FL-Algebras”, v P. Cintula, P. Hájek in C. Noguera, (uredniki), Priročnik matematične mehke logike, letnik 1, (Matematična logika in temelji, zvezek 37), London: College Publications, strani 283–353.
  • Horn, Alfred, 1969, "Logika z resničnimi vrednostmi v linearno urejeni Heyting Algebri", Časopis za simbolično logiko, 34 (3): 395–408.
  • Jenei, Sándor in Franco Montagna, 2002, „Dokaz standardne popolnosti za Estevo in Godovo logiko MTL“, Studia Logica, 70 (2): 183–192. doi: 10.1023 / A: 1015122331293
  • Jeřábek, E., 2010, "Osnove dopustnih pravil Łukasiewicz Logic", Journal of Logic and Computation, 20 (6): 1149–1163.
  • –––, 2003, „Dokaz standardne popolnosti za nekomutativno monoidno logiko T-norme“, Svet nevronskih mrež, 13 (5): 481–489.
  • Klement, Erich Peter, Radkos Mesiar, & Endre Pap, 2000, Trikotne norme (trendi v logiki, letnik 8), Dordrecht: Kluwer.
  • Lawry, J., 1998, "Mehanizem glasovanja za mehko logiko", Mednarodni časopis za približno obrazložitev, 19 (3–4): 315–333. doi: 10.1016 / S0888-613X (98) 10013-0
  • Leştean, I. in DiNola, A., 2011, Łukasiewicz Logic in MV-Algebras, v P. Cintula, P. Hájek in C. Noguera, (uredniki), Priročnik matematične mehke logike, letnik 2, (Matematična logika in temelji, letnik 38), London: College Publications, strani 469–583.
  • Ling, Cho-Hsin, 1965, "Predstavitev asociativnih funkcij", Publicationes Mathematicae Debrecen, 12: 189–212.
  • Łukasiewicz, januar 1920, »O Logice Trójwartościowej«, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171. Angleški prevod, "Na tri logične logike", v Storrs McCall, (urednik), 1967, poljska logika 1920–1939, Oxford: Clarendon Press, strani 16–18, in Jan Łukasiewicz, 1970, Izbrana dela, L. Borkowski, (urednik), Amsterdam: Severna Holandija, strani 87–88.
  • Łukasiewicz, J. in A. Tarski, 1930, "Untersuchungen über den Aussagenkalkül", Comptes Rendus Des Séances de La Société Des Sciences et Des Lettres de Varsovie, Cl. III, 23 (iii): 30–50.
  • Marra, V. in Spada, L., 2013, „Dvojnost, projektivnost in poenotenje v řukasiewicz logiki in MV-algebrih“, Anali čiste in uporabne logike, 164 (3): 192–210.
  • McNaughton, Robert, 1951, "Teorem o neskončno vrednotni logiki sentencij", Časopis za simbolično logiko, 16 (1): 1–13. doi: 10.2307 / 2268660
  • Metcalfe, George, 2011, "Teorija dokazovanja matematične mehke logike", v Cintuli, Hájek in Noguera 2011a: 209–282.
  • Metcalfe, George in Franco Montagna, 2007, "Substrukturna mehka logika", Časopis za simbolično logiko, 72 (3): 834–864. doi: 10.2178 / jsl / 1191333844
  • Metcalfe, George, Nicola Olivetti in Dov M. Gabbay, 2008, Dokazna teorija meglene logike (Applied Logic Series, letnik 36), Dordrecht: Springer Nizozemska.
  • Montagna, Franco, 2001, "Tri zapletene težave v količinsko določeni mehki logiki", Studia Logica, 68 (1): 143–152. doi: 10.1023 / A: 1011958407631
  • Montagna, Franco & Carles Noguera, 2010, “Aritmetična zapletenost predikatne mehke logike prvega reda nad razločeno semantiko”, Journal of Logic and Computation, 20 (2): 399–424. doi: 10.1093 / logcom / exp052
  • Montagna, Franco, Noguera, Carles in Horčík, Rostislav, 2006, "O slabo odpovedi nejasne logike", Journal of Logic and Computation, 16 (4): 423–450.
  • Montagna, Franco in Ono, Hiroakira, “Kripke semantika, neločljivost in standardna popolnost za Estevo in Godovo logiko MTL (forall)”, Studia Logica, 71 (2): 227–245.
  • Mostert, Paul S. in Allen L. Shields, 1957, "O strukturi polgrupov na kompaktnem kolektorju z mejo", Anali matematike, druga serija, 65 (1): 117–143. doi: 10.2307 / 1969668
  • Mundici, D., 1987, & ldauo; Zadovoljstvo v večvrednoteni senzikalni logiki je NP popolno ", Teoretična računalništvo, 52 (1–2): 145–153.
  • –––, 1992, „Logika Ulamove igre z lažmi“, C. Bicchieri in M. Dalla Chiara, (uredniki), Znanje, prepričanje in strateško interakcijo (Castiglioncello, 1989), Cambridge: Cambridge University Press, 275–284.
  • –––, 2011, Advanced Łukasiewicz Calculus in MV-Algebras, (Trendi v logiki, letnik 35), New York: Springer.
  • Novák, V., 2004, “O teoriji mehkega tipa”, mehke garniture in sistemi, 149 (2): 235–273.
  • –––, 2015, „Mehka logika z ocenjeno sintakso“, v Cintuli, Petr, Christian Fermüller in Carles Noguera (ur.), Priročnik matematične mehke logike, letnik 3, (Matematična logika in temelji, letnik 58), London: Visokošolske publikacije, strani 1063–1104.
  • Novák, V., Perfilieva, I. in Močkoř, J., 2000, Matematična načela meglene logike, Dordrecht: Kluwer.
  • Nguyen, Hung T. in Elbert A. Walker, 2005, Prvi tečaj iz mehke logike (tretja izdaja), Chapman in dvorana / CRC.
  • Paris, Jeff B., 1997, „Semantika nejasne logike“, Soft Computing, 1 (3): 143–147. doi: 10.1007 / s005000050015
  • –––, 2000, „Semantika za mehko logiko, ki podpira funkcionalnost resnice“, v Vilém Novák in Irina Perfilieva (ur.), Odkrivanje sveta z mehko logiko (Študije o nejasnosti in mehkem računanju, vol. 57). Heidelberg: Springer, str. 82–104.
  • Pavelka, J., 1979, "O mehki logiki I, II in III", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 45–52, 119–134 in 447–464.
  • Ragaz, Matthias Emil, 1981, Arithmetische Klassifikation von Formelmengen der unendlichwertigen Logik (doktorska disertacija). Švicarski zvezni tehnološki inštitut, Zürich. doi: 10.3929 / ethz-a-000226207
  • Ross, Timothy J., 2016, Fuzzy Logic with Engineering Applications (četrta izdaja), Hoboken, NJ: Wiley.
  • Ruspini, Enrique H., 1991, “O semantiki meglene logike”, Mednarodni časopis za približno razmišljanje, 5 (1): 45–88. doi: 10.1016 / 0888-613X (91) 90006-8
  • Scarpellini, Bruno, 1962, „Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz“, Časopis za simbolično logiko, 27 (2): 159–170. doi: 10.2307 / 2964111
  • Smith, Nicholas JJ, 2005, »Nejasnost kot bližina«, Avstralski časopis za filozofijo, 83 (2): 157–183. doi: 10.1080 / 00048400500110826
  • –––, 2008, Nejasnosti in stopnje resnice, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2015, „Mehka logika v teorijah nejasnosti“, v Cintuli, Petr, Christian Fermüller in Carles Noguera (ur.), Priročnik matematične mehke logike, 3. zvezek (Matematična logika in temelji, letnik 58), London: Publikacije College, strani 1237–1281.
  • Straccia, U., 1998, "Ločna opisna logika", v Mostowu, J., in Rich, C., (uredniki), Zbornik 15. Nacionalne konference o umetni inteligenci (AAAI 1998), Menlo Park: AAAI Press, strani 594–599.
  • Takeuti, G. in Titani, S., 1984, “Intuitionistična mehka logika in intuicijska teorija mehkih množic”, Časopis Symbolic Logic, 49 (3): 851–866.
  • Takeuti, G. in Titani, S., 1992, "Teorija mehke logike in mehke množice", Arhiv za matematično logiko, 32 (1): 1–32.
  • Vetterlein, T., 2015, "Algebraic Semantics: The Structure of Residuated Chains", v P. Cintula, CG Fermüller in C. Noguera, (uredniki), Priročnik matematične mehke logike, letnik 3, (Matematična logika in temelji, Letnik 58), London: College Publikacije, strani 929–967.
  • Zadeh, Lotfi A., 1965, "Fuzzy Sets", Informacije in nadzor, 8 (3): 338–353. doi: 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

Priporočena: