Modalna Logika

Kazalo:

Modalna Logika
Modalna Logika

Video: Modalna Logika

Video: Modalna Logika
Video: "БЕСЕДА О ЛОГИКЕ" Модальная логика 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Modalna logika

Prvič objavljeno, 29. februarja 2000; vsebinska revizija Sat Sep 8, 2018

Modal je izraz (na primer „nujno“ali „morebiti“), ki se uporablja za opredelitev resničnosti sodbe. Modalna logika je, strogo gledano, preučevanje deduktivnega vedenja izrazov "potrebno je, da" in "mogoče je to". Izraz „modalna logika“se lahko širše uporablja za družino povezanih sistemov. Sem sodijo logika za verovanje, za napete in druge časovne izraze, za deontske (moralne) izraze, kot so „to je obvezno“in „to je dovoljeno“, in številne druge. Razumevanje modalne logike je še posebej dragoceno pri formalni analizi filozofskih argumentov, kjer so izrazi iz modalne družine običajni in zmedeni. Modalna logika ima tudi pomembne aplikacije v računalništvu.

  • 1. Kaj je modalna logika?
  • 2. Modalna logika
  • 3. Deontic Logics
  • 4. Časovna logika
  • 5. Pogojna logika
  • 6. Semantika možnih svetov
  • 7. Modalni aksiomi in pogoji na okvirjih
  • 8. Zemljevid razmerij med modalno logiko
  • 9. Splošni aksiom
  • 10. Dvodimenzionalna semantika
  • 11. Logike dokazivosti
  • 12. Napredna modalna logika
  • 13. Bisimulacija
  • 14. Modalna logika in igre
  • 15. Kvantifikatorji v modalni logiki
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Kaj je modalna logika?

Ozko zasnovana modalna logika preučuje sklepe, ki vključujejo izraza "nujno" in "mogoče". Izraz "modalna logika" pa se širše uporablja za pokrivanje družine logik s podobnimi pravili in različnimi različnimi simboli.

Sledi seznam najboljših teh logik.

Logika Simboli Izrazi simbolizirani
Modalna logika (Škatla) Potrebno je, da…
(Diamant) Možno je, da …
Deontic Logic (O) Obvezno je, da…
(P) Dovoljeno je, da…
(F) Prepovedano je, da …
Časovna logika (G) Vedno bo tako, da…
(F) Tako bo, da…
(H) Vedno je bilo tako, da …
(P) Je bilo tako, da …
Doksastic Logic (Bx) (x) verjame, da …

2. Modalna logika

Najbolj poznane logike v družini modalcev so zgrajene iz šibke logike, imenovane (bK) (po Saulu Kripke). Pod ozkim branjem se modalna logika nanaša na nujnost in možnost. Za takšno logiko se lahko razvijejo različni različni sistemi z uporabo (bK) kot podlage. Simboli (bK) vključujejo '({ sim})' za 'ne', '(rightarrow)' za 'če… potem', in '(polje)' za modalni operater "to je nujno". (Povezave '(amp)', '(vee)' in '(leftrightarrow)' so lahko definirane iz '({ sim})' in '(rightarrow) "kot se to dogaja v logiki predloga.) (bK) je posledica tega, da se načelom logike predloga doda naslednje.

Pravilo o nujnosti: Če je (A) izrek (bK), potem je to tudi (polje A).

Aksioma distribucije: (polje (A / rightarrow B) rightarrow (polje A / rightarrow / polje B)).

(V teh načelih uporabljamo '(A)' in '(B)' kot metavarljivke, ki segajo po formulah jezika.) V skladu s pravilom o nujnosti je vsaka logika teorema potrebna. Aksiom distribucije pravi, da če je potrebno, da je (A) potem (B), potem če je nujno (A), potem nujno (B).

Operater (Diamond) (za 'morebiti') lahko določimo iz (Box) tako, da pustimo (Diamond A = { sim} Box { sim} A). V (bK) se operaterja (Box) in (Diamond) obnašata zelo podobno kot kvantifikatorji (forall) (vsi) in (obstaja) (nekateri). Na primer, definicija (Diamond) iz (Box) zrcali enakovrednost (forall xA) z ({ sim} obstaja x { sim} A) v predikatni logiki. Poleg tega (polje (A / amp B)) vključuje (polje A / amp / polje B) in obratno; medtem ko (polje A / vee / polje B) pomeni (polje (A / vee B)), ne pa obratno. To odraža vzorce univerzalnega kvantifikatorja: (forall x (A / amp B)) vključuje (forall xA / amp / forall xB) in obratno, medtem ko (forall xA / vee / forall xB) pomeni (forall x (A / vee B)), ne pa obratno. Podobne vzporednice med (Diamond) in (obstaja) lahko potegnemo. Osnova za to korespondenco med modalnimi operaterji in kvantifikatorji bo jasneje prikazana v razdelku Semantika možnih svetov.

Sistem (bK) je prešibak, da bi zagotovil ustrezen račun potrebe. Naslednji aksiom ni dokazljiv v (bK), vendar je očitno zaželen.

(oznaka {(M)} polje A / pravica A)

((M)) trdi, da je vse, kar je potrebno. Upoštevajte, da bi bilo ((M)) napačno, če bi se (polje) prebralo „moralo bi biti tako" ali „je bilo tako". Torej prisotnost aksioma ((M)) ločuje logiko za nujnost od drugih logik v družini modal. Osnovna modalna logika (M) je posledica dodajanja ((M)) v (bK). (Nekateri avtorji imenujejo ta sistem (mathbf {T}).)

Mnogi logiki menijo, da je (M) še vedno prešibak, da bi pravilno formaliziral logiko nujnosti in možnosti. Priporočamo nadaljnje aksiome za upravljanje iteracije ali ponovitve modalnih operaterjev. Tu sta dva najbolj znanih itioracijskih aksiomov:

(oznaka {4} polje A / rightarrow / polje / polje A) (oznaka {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) je sistem, ki je rezultat dodajanja (4) v (M). Podobno je (mathbf {S5}) (M) plus (5). V (mathbf {S4}) je stavek (polje / polje A) enakovreden (polje A). Kot rezultat, se lahko kateri koli niz škatel nadomesti z enim samim poljem, enako pa je tudi za nizov z diamanti. To pomeni, da je iteracija modalnih operaterjev odveč. Reči, da je (A) nujno potrebno, se šteje za nekoristno dolgotrajen način, ki pravi, da je (A) nujen. Sistem (mathbf {S5}) ima še močnejša načela za poenostavitev nizov modalnih operaterjev. V (mathbf {S4}) lahko niz operaterjev iste vrste zamenja za tega operaterja; v (mathbf {S5}) strune, ki vsebujejo polja in diamante, so enakovredne zadnjem operatorju v nizu. Tako npr.rekoč, da je mogoče, da je (A) potrebno, je isto kot reči, da je (A) nujen. Sledi povzetek teh funkcij (mathbf {S4}) in (mathbf {S5}).

(oznaka {(mathbf {S4})} polje / polje / ldots / polje = / polje / besedilo {in} diamant / diamant / ldots / diamant = / diamant) (začeti {poravnati *} oznaka {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Box & = / Box / besedilo {in} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / text {kjer je vsak} 0 / besedilo {je bodisi} Box / besedilo {ali} Diamond / end {poravnati *})

Lahko bi se vključili v neskončne prepire glede pravilnosti ali napačnosti teh in drugih iteracijskih načel za (polje) in (Diamond). Polemiko lahko delno rešimo tako, da priznamo, da imata besedi „nujno“in „morebiti“različne načine uporabe. Sprejemljivost aksiomov za modalno logiko je torej odvisna od tega, katero od teh uporab imamo v mislih. Zaradi tega ni nobene modalne logike, temveč celotna družina sistemov, zgrajenih okoli (M). Razmerje med temi sistemi je prikazano v oddelku 8, njihovo uporabo v različnih načinih "nujno" in "po možnosti" pa lahko globlje razumemo, če preučimo njihovo možno svetovno semantiko v oddelku 6.

Sistem (mathbf {B}) (za logiko Brouwer) tvorimo tako, da v (M) dodamo aksiom ((B)).

(oznaka {(B)} A / pravica> polje / diamant A)

Zanimivo je, da lahko (mathbf {S5}) enakovredno oblikujemo z dodajanjem ((B)) v (mathbf {S4}). Aksiom ((B)) postavlja pomembno točko o razlagi modalnih formul. ((B)) pravi, da če je slučaj (A), potem je (A) nujno možen. Lahko bi trdili, da je treba ((B)) vedno sprejeti v kateri koli modalni logiki, kajti če je (A) tako, je nujno, da je (A) možno. Vendar pa obstaja težava s to trditvijo, ki jo je mogoče izpostaviti, če zabeležimo, da je (Diamond / Box A / rightarrow A) mogoče preveriti iz ((B)). Torej (Diamond / Box A / rightarrow A) mora biti sprejemljiv, če je ((B)). Vendar pa (Diamond / Box A / rightarrow A) pravi, da če je (A) morda potrebno, potem je to () in to še zdaleč ni očitno. Zakaj se ((B)) zdi očitno,medtem ko se ena od stvari, ki jih vključuje, sploh ne zdi očitna? Odgovor je, da je v angleški razlagi (A / rightarrow / Box / Diamond A) nevarna dvoumnost. Pogosto uporabljamo izraz 'If (A), potem nujno (B)', da izrazimo, da je pogojni 'if (A), potem (B)' nujen. Ta razlaga ustreza (polje (A / rightarrow B)). Ob drugih priložnostih mislimo, da če je (A), potem je (B) potrebno: (A / rightarrow / Box B). V angleščini je 'nujno' prislov, in ker se prislovi običajno postavljajo blizu glagolov, nimamo naravnega načina, da bi navedli, ali modalni operater velja za celotno pogojno ali posledično. Iz teh razlogov obstaja tendenca zamenjave ((B): A / rightarrow / Box / Diamond A) z (Box (A / rightarrow / Diamond A)). Toda (polje (A / rightarrow / Diamond A)) ni isto kot ((B)), ker je (Box (A / rightarrow / Diamond A)) že izrek (M) in ((B)) ni. Posebej moramo paziti, da naša pozitivna reakcija na (Box (A / rightarrow / Diamond A)) ne vpliva na našo oceno ((B)). Eden preprostih načinov, da se zaščitimo, je formuliranje (B) na enakovreden način z uporabo aksiome: (Diamond / Box A / rightarrow A), pri čemer te nejasnosti obsega ne nastajajo.kjer te nejasnosti obsega ne nastajajo.kjer te nejasnosti obsega ne nastajajo.

3. Deontic Logics

Deontična logika uvaja primitivni simbol (O) za "obvezno je, da", od koder sta določena simbola (P) za "dovoljeno, da" in (F) za "je to prepovedano": (PA = { sim} O { sim} A) in (FA = O { sim} A). Deontski analog modalnega aksioma ((M): OA / rightarrow A) očitno ni primeren za deontsko logiko. (Na žalost, kar bi moralo biti, ni vedno tako.) Vendar pa lahko osnovni sistem (mathbf {D}) deontske logike sestavimo tako, da v (dodamo šibkejši aksiom ((D))) bK).

(oznaka {(D)} OA / desna stran PA)

Aksiom ((D)) zagotavlja doslednost sistema obveznosti z vztrajanjem, da je, kadar je (A) obvezen, (A) dovoljen. Sistem, ki nas zavezuje, da bomo vzpostavili (A), vendar nam tega ne dovoli, nas spravi v neizogibno vez. Čeprav bodo nekateri trdili, da so takšni obligacijski spopadi vsaj možni, večina deontskih logikov sprejema ((D)).

(O (OA / rightarrow A)) je še en deontski aksiom, ki se zdi zaželen. Čeprav je napačno reči, da če je (A) obvezen, je (A) primer ((OA / rightarrow A)), bi to moralo biti tako. Nekateri delintski logiki menijo, da je treba (D) dopolniti tudi z (O (OA / rightarrow A)).

Spor o iteraciji (ponavljanju) operaterjev se spet pojavlja v deontski logiki. V nekaterih pojmovanjih obveznosti (OOA) pomeni le (OA). "Moral bi biti, da bi moral biti" se obravnava kot neke vrste jecljanje; dodatki ne bi smeli dodati nič novega. Torej so dodani aksiomi, da se zagotovi enakovrednost (OOA) in (OA). Sprejeta je lahko tudi splošnejša iteracijska politika iz (mathbf {S5}). Vendar obstajajo pojmi obveznosti, pri katerih se razlikuje med (OA) in (OOA). Ideja je, da obstajajo resnične razlike med obveznostmi, ki jih dejansko imamo, in obveznostmi, ki bi jih morali sprejeti. Torej, na primer, "moralo bi biti, da bi moralo biti, da (A)" določa sprejetje neke obveznosti, ki dejansko ni na voljo, zaradi česar je (OOA) lahko resnično tudi, če (OA) je napačno.

4. Časovna logika

V časovni logiki (znani tudi kot napeta logika) obstajata dva osnovna operaterja, (G) za prihodnost in (H) za preteklost. (G) se glasi "vedno bo tako" in definiranega operaterja (F) (beri "tako bo") lahko vnesemo s (FA = { sim} G { sim } A). Podobno se bere (H): "vedno je bilo to" in (P) (za "je bilo tako") je opredeljeno s (PA = { sim} H { sim} A). Osnovni sistem časovne logike, imenovan (mathbf {Kt}), je posledica sprejemanja načel (bK) za (G) in (H), skupaj z dvema aksiomoma za upravljanje interakcije med preteklimi in prihodnjimi izvajalci:

Pravila o nujnosti:

Če je (A) izrek, potem sta to tudi (GA) in (HA).

Aksiomi porazdelitve:

(G (A / rightarrow B) rightarrow (GA / rightarrow GB)) in (H (A / rightarrow B) rightarrow (HA / rightarrow HB))

Aksiomi interakcije:

(A / rightarrow GPA) in (A / rightarrow HFA)

Aksiomi medsebojnega delovanja postavljajo vprašanja o asimetrijah med preteklostjo in prihodnostjo. Standardna intuicija je, da je preteklost fiksna, prihodnost pa je še vedno odprta. Prvi medsebojni aksiom ((A / rightarrow GPA)) ustreza tej intuiciji, ko poroča, da bo to, kar je v primeru ((A)), v vseh prihodnjih časih v preteklosti ((GPA)). Vendar pa se zdi, da ima (A / rightarrow HFA) nesprejemljivo determiniran podton, saj očitno trdi, da je to, kar je zdaj res ((A)), vedno takšno, da se bo to zgodilo v prihodnosti ((HFA)). Vendar pa možna svetovna semantika časovne logike razkriva, da je ta skrb posledica preproste zmede in da sta oba aksioma interakcije enako sprejemljiva.

Upoštevajte, da značilni aksiom modalne logike ((M): / polje A / rightarrow A) ni sprejemljiv niti za (H) niti (G), saj (A) ne sledi od 'vedno je bilo tako, da (A)', niti od 'vedno bo tako, da (A)'. Vendar je sprejemljivo v tesno povezani časovni logiki, kjer se glasi (G) "tako je in vedno bo" in (H) se glasi "tako je in vedno je bilo".

Glede na predpostavke o strukturi časa je treba časovnim logikam dodati dodatne aksiome. Sledi seznam aksiomov, običajno sprejetih v časovni logiki. Poročilo o tem, kako so odvisni od strukture časa, boste našli v razdelku Semantika možnih svetov.

(začeti {poravnati *} GA / rightarrow GGA & / besedilo {in} HA / rightarrow HHA \\ GGA / rightarrow GA & / text {in} HHA / rightarrow HA \\ GA / rightarrow FA & / text {in} HA / rightarrow PA / end {poravnava *})

Zanimivo je, da se za izražanje kompleksnih napetosti v angleščini lahko uporabijo določene kombinacije izvajalcev preteklega in prihodnjega naprezanja. Na primer, (FPA) ustreza stavku (A) v prihodnjem popolnem času (kot "čez 20 sekund se bo luč spremenila"). Podobno (PPA) izraža preteklo popolno napetost.

Za podrobnejšo razpravo glej vnos o časovni logiki.

5. Pogojna in ustrezna logika

Ustanovitelj modalne logike, CI Lewis, je opredelil niz modalnih logik, ki niso imele (Box) kot primitivni simbol. Lewis je zaskrbljen, da bi razvil logiko pogojev, ki niso vključeni v tako imenovane Paradokse materialne implikacije, in sicer klasične teoreme (A / rightarrow ({ sim} A / rightarrow B)) in (B / rightarrow (A / pravica B)). Vstavil je simbol (fishhook) za "strogo implikacijo" in razvil logiko, kjer niti (A / fishhook ({ sim} A / fishhook B)) niti (B / fishhook (A / fishhook B)) je dokazljiv. Sodobna praksa je bila določiti (A / fishhook B) s (Box (A / rightarrow B)) in za uporabo podobnih rezultatov uporabiti modalne logike (Box). Kljub temu pa se zdi, da je dokazljivost takšnih formul kot ((A / amp { sim} A) fishhook B) v taki logiki v nasprotju s paradoksi. Anderson in Belnap (1975) sta razvila sisteme (mathbf {R}) (za relevantno logiko) in (mathbf {E}) (za prizadevanje), ki so zasnovani za premagovanje takšnih težav. Ti sistemi zahtevajo revizijo standardnih sistemov logike predloga. (Glej Mares (2004) in zapis o ustrezni logiki.)

David Lewis (1973) in drugi so razvili pogojno logiko za obravnavo kontrafakturnih izrazov, to je izrazov oblike "če bi se (A) zgodilo (B)". (Kvart (1980) je še en dober vir za to temo.) Protismerne logike se razlikujejo od tistih, ki temeljijo na strogi implikaciji, ker prve zavračajo, medtem ko druge sprejemajo nasprotovanje.

6. Semantika možnih svetov

Namen logike je opisati razliko med veljavnimi in neveljavnimi argumenti. Logični sistem za jezik je niz aksiomov in pravil, ki so zasnovani tako, da dokažejo natančno veljavne argumente, ki se lahko držijo v jeziku. Ustvarjanje takšne logike je lahko težka naloga. Logik mora poskrbeti, da je sistem zdrav, tj. Da je vsak argument, dokazan s pravili in aksiomi, dejansko veljaven. Poleg tega mora biti sistem popoln, kar pomeni, da ima vsak veljaven argument v sistemu dokaz. Dokazovanje trdnosti in popolnosti formalnih sistemov je osrednja skrb logistike.

Takšne demonstracije ne morejo začeti, dokler koncept veljavnosti ni natančno opredeljen. Formalna semantika logike daje definicijo veljavnosti z opisovanjem resničnosti obnašanja stavkov sistema. V logiki predloga se lahko veljavnost določi s pomočjo tabel resnic. Veljaven argument je preprosto tisti, v katerem vsaka vrstica tabele resnice, ki naredi svoje domneve, tudi svoj sklep naredi resnična. Vendar tabel resnice ni mogoče uporabiti za podajanje računa o veljavnosti modalne logike, ker ni tabel resnice za izraze, kot so "to je potrebno", "to je obvezno" in podobno. (Težava je v tem, da vrednost resnice (A) ne določa vrednosti resnice za (polje A). Na primer, kadar je (A) "Psi so psi", (polje A) je res, ko pa je (A) 'Psi so hišni ljubljenčki', (polje A) je napačno.) Kljub temusemantiko modalne logike lahko določimo z uvedbo možnih svetov. Predstavili bomo možno semantiko svetov za logiko nujnosti, ki vsebuje simbole ({ sim}, / rightarrow) in (Box). Nato bomo razložili, kako se lahko ista strategija prilagodi drugim logikam v družini modal.

V predlogi logike vrednotenje atomskih stavkov (ali vrstice tabele resnice) vsaki predloži spremenljivki (p) dodeli vrednost resnice ((T) ali (F)). Potem se vrednosti resnice zapletenih stavkov izračunajo s tabelami resnice. V modalno semantiko je uveden niz (W) možnih svetov. Vrednotenje nato daje vsaki resnici spremenljivko vrednost resničnosti za vsak možni svet v (W). To pomeni, da se vrednost, dodeljena (p) za svet (w), lahko razlikuje od vrednosti, dodeljene (p) za drug svet (w ').

Vrednost resnice atomskega stavka (p) na svetu (w), podanega z vrednotenjem (v), se lahko zapiše (v (p, w)). Glede na to oznako vrednosti resnice ((T) za res, (F) za napačne) zapletenih stavkov modalne logike za dano vrednotenje (v) (in član (w) niza svetov (W)) lahko definiramo z naslednjimi določbami o resnici. ('iff' kratice ', če in samo, če'.)

(tag {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T / besedilo {iff} v (A, w) = F.) (oznaka {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / besedilo {iff} v (A, w) = F / besedilo {ali} v (B, w) = T.) (oznaka {5} v (polje A, w) = T / besedilo {iff za vsak svet} w '\ besedilo {in} W, v (A, w') = T.)

Stavki (({ sim})) in ((rightarrow)) preprosto opišeta standardno obnašanje tabele resnice za negacijo in materialno posledico. V skladu s (5) je (polje A) res (v svetu (w)) točno takrat, ko je (A) resnično v vseh možnih svetovih. Glede na definicijo (Diamond), in sicer (Diamond A = { sim} Box { sim} A)) resnični pogoj (5) zagotavlja, da je (Diamond A) res v vsakem primeru (A) drži v nekem možnem svetu. Ker klavzula o resnici za (polje) in (Diamond) vključujeta kvantifikatorji "vse" in "nekatere" (ustrezni), vzporednice v logičnem vedenju med (polje) in (forall x) in med (Diamond) in (obstaja x), ki je navedeno v oddelku 2, bo pričakovano.

Klavzule (({ sim}), (rightarrow)) in (5) nam omogočajo, da izračunamo vrednost resnice katerega koli stavka v katerem koli svetu na določenem vrednotenju. Definicija veljavnosti je zdaj tik za vogalom. Argument je 5-veljaven za dani niz W (možnih svetov), če in samo, če vsako vrednotenje atomskih stavkov, ki dodeli prostore (T) na svetu v (W), dodeli tudi zaključek (T) na istem svetu. Argument naj bi bil 5-veljaven, če je veljaven za vsak neprazen niz (W) možnih svetov.

Pokazalo se je, da je (mathbf {S5}) zanesljiv in popoln za 5-veljavnost (od tod naša uporaba simbola '5'). 5 veljavni argumenti so natančno argumenti, ki jih je mogoče dokazati v (mathbf {S5}). Ta rezultat kaže, da je (mathbf {S5}) pravilen način za oblikovanje logike nujnosti.

Vendar (mathbf {S5}) ni smiselna logika za vse člane družine modalcev. V deontski logiki, časovni logiki in drugih analogni pogoj resnice (5) očitno ni primeren; poleg tega obstajajo celo predstave o nujnosti, kjer je treba (5) tudi zavrniti. Bistvo je najlažje videti v primeru časovne logike. Tu so člani (W) trenutki ali svetovi v trenutku »zamrznjeni«. Zaradi poenostavitve razmislimo o prihodnji časovni logiki, logiki, kjer (polje A) glasi: "vedno bo tako". (Sistem oblikujemo z (Box) in ne s tradicionalno (G), tako da bodo povezave z drugimi modalnimi logikami lažje razumeti.) Pravilna določba za (Box) naj bi rekla, da (Polje A) je resnično (w) iff (A) je resnično v prihodnosti (w). Za omejevanje pozornosti na prihodnost je treba uvesti razmerje (R) (za 'prej kot'). Potem je mogoče pravilno določiti določbo na naslednji način.

(oznaka {(K)} v (polje A, w) = T / besedilo {iff za vsak} w ', / besedilo {če} wRw', / besedilo {potem} v (A, w ') = T.)

To pravi, da je (polje A) res pri (w), le v primeru, da je (A) resnično resnično ves čas po (w).

Veljavnost te blagovne znamke časovne logike je zdaj mogoče določiti. Okvir (langle W, R / rangle) je par, sestavljen iz praznega niza (W) (svetov) in binarnega razmerja (R) na (W). Model (langle F, v / rangle) je sestavljen iz okvira (F) in vrednotenja (v), ki vsakemu atomskemu stavku v vsakem svetu dodeli vrednosti resnice v (W). Glede na model lahko vrednosti vseh zapletenih stavkov določimo s pomočjo (({ sim}), (rightarrow)) in ((K)). Argument je (bK) - veljaven samo v primeru, da kateri koli model, katerega vrednotenje dodeli prostore (T) v svetu, pripelje tudi zaključek (T) na istem svetu. Kot je bralec morda uganil iz naše uporabe '(bK)', se je pokazalo, da je najpreprostejša modalna logika (bK) zvočna in popolna za (bK) - veljavnost.

7. Modalni aksiomi in pogoji na okvirjih

Iz te razprave bi lahko sklepali, da je (bK) pravilna logika, ko se prebere (Box) "vedno bo tako". Vendar obstajajo razlogi za mnenje, da je (bK) prešibak. Ena očitna logična lastnost razmerja (R) (prej kot) je prehodnost. Če je (wRv (w) prej kot (v)) in (vRu (v) je prej kot (u)), potem sledi, da je (wRu (w) prej kot (u)). Določimo torej novo vrsto veljavnosti, ki ustreza temu pogoju na (R). Naj bo 4-model kateri koli model, katerega okvir (langle W, R / rangle) je tak, da je (R) prehodna relacija na (W). Potem je argument 4-veljaven, če kateri koli 4-model, katerega vrednotenje dodeli (T) prostorom v svetu, dodeli (T) sklepu na istem svetu. Za opis takšnega tranzitivnega modela uporabljamo '4', ker je logika, ki je (tako zvočna kot popolna) za 4-veljavnost (mathbf {K4}), logika, ki izhaja iz dodajanja aksiome (4): (Polje A / rightarrow / polje / polje A) do (bK).

Transitivnost ni edina lastnost, ki bi jo lahko želeli od okvirja (langle W, R / rangle), če je (R) prebrati 'prej kot' in (W) niz na trenutke. En pogoj (ki je le blago sporen) je, da ni zadnjega trenutka, tj. Da je za vsak svet (w) nek svet (v) tak, da je (wRv). Ta pogoj na okvirih se imenuje serijska. Serialnost ustreza aksiomi ((D): / polje A / rightarrow / Diamond A), enako kot tranzitivnost (4). A (mathbf {D}) - model je (bK) - model s serijskim okvirjem. Iz koncepta (mathbf {D}) - modela ustreznega pojma (mathbf {D}) - veljavnost lahko določimo tako, kot smo to storili v primeru 4-veljavnosti. Kot ste verjetno uganili, je sistem, ki je ustrezen glede na (mathbf {D}) - veljavnost je (mathbf {KD}),ali (bK) plus ((D)). Ne samo to, ampak sistem (mathbf {KD4}) (to je (bK) plus (4) in ((D))) primeren glede na (mathbf {D4}) - veljavnost, kjer je model (mathbf {D4}) tisti, kjer je (langle W, R / rangle) zaporeden in prehoden.

Druga lastnost, ki si jo bomo morda želeli za odnos »prej kot«, je gostota, pogoj, da med vsakim dvakrat vedno lahko najdemo drugo. Gostota bi bila napačna, če bi bil čas atomsk, torej če bi obstajali časovni intervali, ki jih ni mogoče razčleniti na manjše dele. Gostota ustreza aksiomi ((C4): / polje / polje A / rightarrow / polje A), nasprotno od (4), tako je na primer sistem (mathbf {KC4}), kar je (bK) plus ((C4)) je primeren za modele, pri katerih je okvir (langle W, R / rangle) gost in (mathbf {KDC4}) ustrezen glede na modelom, katerih okvirji so serijski in gosti, in tako naprej.

Vsak modalni logični aksiom, o katerem smo razpravljali, ustreza pogoju na okvirih na enak način. Razmerje med pogoji na okvirjih in ustreznimi aksiomi je ena osrednjih tem v preučevanju modalne logike. Ko se odloči za razlago intenzivnega operaterja (polje), je mogoče določiti ustrezne pogoje na (R), da se določi ustrezen pojem veljavnosti. To pa nam omogoča, da za to logiko izberemo pravi niz aksiomov.

Na primer, razmislite o deontski logiki, kjer se glasi (Box) "je to obvezno". Pri tem resnica (polje A) ne zahteva resnice (A) v vsakem možnem svetu, ampak le v podmnožju svetov, kjer ljudje počnejo, kar bi morali. Torej bomo želeli vnesti razmerje (R) tudi za tovrstno logiko in uporabiti klavzulo resnice ((K)) za oceno (polje A) v svetu. Vendar v tem primeru (R) ni prej kot. Namesto (wRw ') velja za vsak slučaj, če je svet (w') moralno sprejemljiva različica (w), tj. Sveta, ki ga lahko prinesejo naša dejanja, ki izpolnjuje tisto, kar je moralno pravilno, ali pravilno, ali samo. Pri takem branju bi moralo biti jasno, da bi morali ustrezni okviri upoštevati serijskost, pogoj, da mora imeti vsak možni svet moralno sprejemljivo različico. Iz analize lastnosti, zaželenih za (R), je razvidno, da lahko z dodajanjem aksiome ((D)) in (bK) oblikujemo osnovno deontsko logiko.

Tudi v modalni logiki si lahko želimo omejiti obseg možnih svetov, ki so pomembni pri ugotavljanju, ali je (polje A) resnično v danem svetu. Na primer, lahko rečem, da je treba plačati račune, čeprav dobro vem, da obstaja možen svet, kjer jih ne bom plačal. V navadnem govoru trditev, da je (A) nujen, ne zahteva resnice (A) v vseh mogočih svetovih, temveč le v določenem razredu svetov, ki jih imam v mislih (na primer svetovi, kjer Izogibam se kazni za neplačilo). Da bi zagotovili splošno obravnavo nujnosti, moramo reči, da je (polje A) res v (w) iff (A) resnično v vseh svetovih, ki so povezani z (w) v pravi način. Torej za operaterja (Box), ki se razlaga kot nujnost,uvedemo ustrezen odnos (R) na nabor možnih svetov (W), ki ga tradicionalno imenujemo relacija dostopnosti. Razmerje o dostopnosti (R) drži med svetovoma (w) in (w ') iff (w') glede na dejstva (w). Pri tem branju za (R) mora biti jasno, da morajo biti okviri za modalno logiko odsevni. Iz tega sledi, da mora modalna logika temeljiti na (M), sistemu, ki je posledica dodajanja ((M)) v (bK). Glede na to, kako natančno razumemo odnos dostopnosti, si lahko zaželimo tudi simetrijo in prehodnost.jasno mora biti, da morajo biti okviri za modalno logiko odsevni. Iz tega sledi, da mora modalna logika temeljiti na (M), sistemu, ki je posledica dodajanja ((M)) v (bK). Glede na to, kako natančno razumemo odnos dostopnosti, si lahko zaželimo tudi simetrijo in prehodnost.jasno mora biti, da morajo biti okviri za modalno logiko odsevni. Iz tega sledi, da mora modalna logika temeljiti na (M), sistemu, ki je posledica dodajanja ((M)) v (bK). Glede na to, kako natančno razumemo odnos dostopnosti, si lahko zaželimo tudi simetrijo in prehodnost.

Seznam nekaterih pogosteje obravnavanih pogojev na okvirih in njihovi ustrezni aksiomi ter zemljevid, ki prikazuje razmerje med različnimi modalnimi logikami, najdete v naslednjem razdelku.

8. Zemljevid razmerij med modalno logiko

Naslednji diagram prikazuje razmerja med najbolj znanimi modalnimi logikami, in sicer logiko, ki jo lahko oblikujemo z dodajanjem izbora aksiomov ((D), (M)), (4), ((B)) in (5) do (bK). Seznam teh (in drugih) aksiomov skupaj s pripadajočimi okvirnimi pogoji najdete spodaj na diagramu.

manjkajoče besedilo, prosim obvestite
manjkajoče besedilo, prosim obvestite

Diagram modalne logike

V tej tabeli so sistemi podani s seznamom svojih aksiomov. Tako je na primer (mathbf {M4B}) rezultat dodajanja ((M)), (4) in ((B)) v (bK). S krepko pisavo smo navedli tradicionalna imena nekaterih sistemov. Ko se sistem (mathbf {S}) prikaže spodaj in / ali levo od (mathbf {S} '), ki je povezan s črto, je (mathbf {S}') podaljšek (mathbf {S}). To pomeni, da je vsak argument, ki ga je mogoče dokazati v (mathbf {S}), dokazilen v (mathbf {S} '), vendar je (mathbf {S}) šibkejši od (mathbf {S} '), tj. niso vsi argumenti, ki jih je mogoče dokazati v (mathbf {S}'), preverljivi v (mathbf {S}).

Naslednji seznam navaja aksiome, njihova imena in ustrezne pogoje v zvezi z dostopnostjo (R) za do zdaj obravnavane aksiome v tem enciklopedijskem zapisu.

Ime Aksiom Pogoj za okvirje R je…
((D)) (Polje A / pravica> Diamond A) (obstaja v wRu) Serijska
((M)) (Polje A / pravica A) (wRw) Odsevni
(4) (Polje A / pravica> polje / polje A) ((wRv / amp vRu) Rightarrow wRu) Prehodna
((B)) (A / pravica (polje) Diamond A) (wRv / Rightarrow vRw) Simetrična
(5) (Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow vRu) Evklidov
((CD)) (Diamond A / pravica> polje A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow v = u) Delujoč
((Polje M)) (Polje (polje A / rightarrow A)) (wRv / Rightarrow vRv)

Shift

Reflexive

((C4)) (Polje / polje A / rightarrow / polje A) (wRv / Rightarrow / obstaja u (wRu / amp uRv)) Gosta
((C)) (Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A) (wRv / amp wRx / Rightarrow / obstaja u (vRu / amp xRu)) Konvergentni

Na seznamu pogojev za okvirje in v preostalem delu tega članka so spremenljivke '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' in kvantifikator (obstaja u) 'se razume, da sega preko (W). '&' kratice 'in' in '(Rightarrow)' kratice ', če… potem'.

Pojem skladnosti med aksiomi in okvirnimi pogoji, ki je tu obravnavan, je bil razložen v prejšnjem razdelku. Kadar je S seznam aksiomov in F (S) ustrezen niz pogojev okvirja, potem S ustreza F (S) točno takrat, ko je sistem K + S ustrezen (zvok in popolnost) za veljavnost F (S), to pomeni, da je argument dokazljiv v K + S, če je F (S)-veljaven. V raziskavah modalne logike se je pojavilo več močnejših pojmov ujemanja med aksiomi in okvirnimi pogoji.

9. Splošni aksiom

Ujemanje med aksiomi in pogoji na okvirih se morda zdi nekaj skrivnosti. Lep rezultat Lemmona in Scotta (1977) sega daleč v razlago teh odnosov. Njihov izrek se je nanašal na aksiome, ki imajo naslednjo obliko:

(tag {(G)} Diamond ^ h / Box ^ i A / rightarrow / Box ^ j / Diamond ^ k A)

Notacijo (Diamond ^ n) 'za predstavitev (n) diamantov v vrsti, na primer' (Diamond ^ 3) 'okrajša niz treh diamantov:' (Diamant / Diamant / Diamant) . Podobno '(polje ^ n)' predstavlja niz polja (n). Ko sta vrednosti (h, i, j) in (k) enaki 1, imamo aksiom ((C)):

(oznaka {(C)} Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 1 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Aksiom ((B)) izhaja iz nastavitve (h) in (i) na 0 ter pustimo (j) in (k) 1:

(oznaka {(B)} A / pravica> polje / diamant A = / diamant ^ 0 / polje ^ 0 A / pravica> polje ^ 1 / diamant ^ 1 A)

Za pridobitev (4) lahko nastavimo (h) in (k) na 0, (i) na 1 in (j) na 2:

(oznaka {4} polje A / rightarrow / polje / polje A = / diamant ^ 0 / polje ^ 1 A / pravica> polje / 2 / diamant ^ 0 A)

Veliko (vendar ne vseh) aksiomov modalne logike lahko dobimo z nastavitvijo pravih vrednosti za parametre v ((G))

Naša naslednja naloga bo dati pogoj v okvirih, ki ustreza ((G)) za dani izbor vrednosti za (h, i, j) in (k). Za to bomo potrebovali definicijo. Sestava dveh razmerij (R) in (R ') je novo razmerje (R / circ R'), ki je opredeljeno na naslednji način:

[wR / circ R'v / text {iff za nekatere} u, wRu / text {in} uR'v.)

Na primer, če je (R) odnos brat, in (R ') odnos starša, je (R / circ R') odnos stric, (ker je (w) stric (v) iff za neko osebo (u), oba (w) sta brat (u) in (u) starša (v)). Odnos je lahko sestavljen sam s seboj. Na primer, kadar je (R) odnos starša, potem je (R / krog R) odnos babice in dedka, (R / krog R / krog R) pa razmerje biti praprababica. Koristno bo napisati "(R ^ n)" za rezultat sestavljanja (R) s samim (n) krat. Torej (R ^ 2) je (R / circ R) in (R ^ 4) je (R / krog R / krog R / krog R). Pustimo, da je (R ^ 1) (R), (R ^ 0) pa bo identitetno razmerje, torej (wR ^ 0 v) iff (w = v).

Zdaj lahko navedemo rezultat Scott-Lemmon. To je, da je pogoj v okvirih, ki natančno ustreza kateri koli aksiomi oblike ((G)), naslednji.

(oznaka {(hijk) - konvergenca} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / obstaja x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

Zanimivo je videti, kako znani pogoji na (R) izhajajo iz nastavitve vrednosti za (h), (i), (j) in (k) glede na vrednosti v ustrezen aksiom. Na primer, razmislite (5). V tem primeru (i = 0) in (h = j = k = 1). Torej ustrezen pogoj je

[wRv / amp wRu / Rightarrow / obstaja x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

Pojasnili smo, da je (R ^ 0) identitetno razmerje. Torej, če (vR ^ 0 x), potem (v = x). Toda (obstaja x (v = x / amp uRx)) je ekvivalent (uRv), zato dobimo evklidski pogoj:

[(wRv / amp wRu) Desna smer uRv.)

V primeru aksioma (4) je (h = 0, i = 1, j = 2) in (k = 0). Torej je ustrezen pogoj na okvirjih

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Rightarrow / obstaja x (vRx / amp u = x).)

Reševanje identitet pomeni:

[vR ^ 2 u / Rightarrow vRu.)

Z definicijo (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (obstaja x (vRx / amp xRu)) torej pride do:

(obstaja x (vRx / amp xRu) Rightarrow vRu,)

ki je po predikatni logiki enakovreden prehodnosti.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

Bralcu se zdi prijetna vaja, če vidi, kako ustrezni pogoji izpadajo iz hijk-konvergence, ko vrednosti parametrov (h), (i), (j) in (k) so postavljeni z drugimi aksiomi.

Rezultati Scott-Lemmon zagotavljajo hitro metodo za določanje rezultatov o razmerju med aksiomi in ustreznimi okvirnimi pogoji. Ker so pokazali ustreznost vsake logike, ki se razširi (bK) z izbiro aksiomov oblike ((G)) glede na modele, ki izpolnjujejo ustrezen niz pogojev okvira, so zagotovili "veleprodajno" ustreznost dokazi za večino sistemov v družini modalcev. Sahlqvist (1975) je odkril pomembne posplošitve rezultata Scott-Lemmon, ki zajemajo veliko širši razpon vrst aksiomov.

Bralca pa je treba opozoriti, da je lepo ujemanje med aksiomi in pogoji na okvirih netipično. Obstajajo pogoji na okvirjih, ki ustrezajo aksiomam, na okvirjih, za katere noben sistem ni primeren, obstajajo celo pogoji. (Primer glej Boolos, 1993, str. 148ff.)

10. Dvodimenzionalna semantika

Dvodimenzionalna semantika je različica možne svetovne semantike, ki pri ocenjevanju resnice uporablja dve (ali več) vrst parametrov, ne pa samo možnih svetov. Na primer, logika indeksnih izrazov, kot so "jaz", "tukaj", "zdaj" in podobno, mora v jezikovni kontekst (ali na kratko kontekst) vnesti. Glede na kontekst (c = / langle s, p, t / rangle), kjer je (s) govornik, (p) kraj in (t) čas izreka, potem 'I "se nanaša na (s)," tukaj "na (p) in" zdaj "na (t). Torej v kontekstu (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST dne 4/3 / (2014 / rangle) "Zdaj sem tu" je T iff Jim Garson je v Houstonu, na 15. 4. 2014 po CST.

V semantiki možnih svetov je bila resničnost vrednosti stavka odvisna od sveta, v katerem je ocenjena. Vendar pa indeksi vsebujejo drugo dimenzijo - zato moramo ponovno posploševati. Kaplan (1989) definira značaj stavka B kot funkcijo od množice (jezikovnih) kontekstov do vsebine (ali intencije) B, pri čemer je vsebina posledično zgolj intencija B, to je delovanje od možnih svetov do resnic-vrednosti. Tu je vrednotenje resnice dvojno odvisno od jezikovnih kontekstov in možnih svetov.

Eno najzanimivejših pripomb Kaplana je, da so nekateri indeksni stavki pogojni, a hkrati analitično resnični. Primer je (1).

(1) Zdaj sem tu

Že iz pomena besed lahko vidite, da mora biti (1) resnično v katerem koli kontekstu (c = / langle s, p, t / rangle). Konec koncev (c) šteje za jezikovni kontekst, samo v primeru, da je (s) govornik, ki je na mestu (p) v času (t). Zato je (1) res pri (c), kar pomeni, da mora biti vzorec vrednosti resnice (1) vzdolž kontekstne dimenzije vse Ts (glede na to, da je možen svet določen). To kaže, da je dimenzija konteksta primerna za sledenje analitičnim znanjem, pridobljenim z obvladanjem našega jezika. Po drugi strani dimenzija možnih svetov spremlja, kaj je potrebno. Če je kontekst fiksiran, obstajajo možni svetovi, kjer je (1) napačno. Na primer, ko (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST dne 4/3 / (2014 / rangle), (1) ne uspe v (c) v možnem svetu, kjer Jim Garson je v Bostonu ob 3:00:00 CST 3. 4. 2014. Iz tega sledi, da je "zdaj sem tu" pogojna analitična resnica. Zato lahko dvodimenzionalna semantika obravnava situacije, ko se nujnost in analitičnost ločita.

Drug primer, kjer je uporabnost dveh razsežnosti koristna, je logika za odprto prihodnost (Thomason, 1984; Belnap in sod., 2001). Tukaj je uporabljena časovna struktura, kjer se od določenega časa razširi veliko možnih zgodovin v prihodnosti. Razmislite (2).

(2) Joe bo jutri naročil morsko bitko

Če je (2) pogojen, potem obstaja možna zgodovina, kjer se bitka zgodi dan po oceni, in druga, kjer se takrat ne zgodi. Torej za oceno (2) morate vedeti dve stvari: kakšen je čas t ocenjevanja in katera od zgodovin h, ki teče skozi t, je tista, ki jo je treba upoštevati. Torej stavek v takšni logiki je ovrednoten pri paru (langle t, h / rangle).

Drug problem, ki ga rešuje dvodimenzionalna semantika, je interakcija med "zdaj" in drugimi časovnimi izrazi, kot je prihodnji čas, "tako bo". Potem je verjetno verjeti, da se "zdaj" nanaša na čas ocenjevanja. Torej bi imeli naslednji pogoj resnice:

(tag {Zdaj} v (besedilo {Zdaj} B, t) = / mathrm {T} text {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

Vendar to ne bo delovalo za stavke, kot je (3).

(3) V nekem trenutku bodo vsi, ki zdaj živijo, neznani

Z (mathrm {F}) kot bodočim operaterjem napetosti, (3) lahko prevedemo:

(tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Zdaj} Lx / rightarrow Ux).)

(Pravilnega prevoda ne more biti (forall x (text {Zdaj} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)), pri čemer (mathrm {F}) ima ozek obseg, ker (3) pravi tam je prihodnji čas, ko bodo vse stvari, ki zdaj živijo, neznane skupaj, ne pa, da bo vsaka živa stvar neznana v nekem prihodnjem času). Ko so pogoji za resnico za (3) (') izračunani z uporabo (Zdaj) in pogojem resnice ((mathrm {F})) za (mathrm {F}), se izkaže, da (3) (') je resnično v času (u) če je čas (t) po (u) tak, da vse, kar živi v (t) (ne (u))!) ni znano pri (t).

(tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} besedilo {iff za nekaj časa} u / besedilo {pozneje} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

Za pravilno oceno (3) ('), tako da se ujema s tem, kar mislimo pod (3), se moramo prepričati, da se "zdaj" vedno sklicuje na prvotni čas izreka, ko "zdaj" spada v področje drugih časovni operaterji, kot je F. Zato moramo spremljati, kateri čas je čas izreka ((u)) in kateri čas je čas vrednotenja ((t)). Torej so naši indeksi v obliki para (langle u, e / rangle), kjer je (u) čas izgovorjenja, (e) pa čas ocenjevanja. Nato je stanje resnice (Now) spremenjeno v (2DNow).

(tag {2DNow} v (besedilo {Zdaj} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} besedilo {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

Iz tega je razvidno, da je Now (B) resničen v času izrekanja in času evalvacije, pod pogojem, da je B resnično, če u štejemo kot čas ocenjevanja. Ko so pogoji resnice za F, (forall) in (rightarrow) popravljeni na očiten način (samo ignorirajte u v paru), (3) (') drži pri (langle u, e / rangle) pod pogojem, da je čas (e ') kasneje kot e tak, da vse, kar živi v (u), ni znano na (e'). Z zapisom o tem, kaj je (u) med izračunom resnice, lahko vedno določimo vrednost za "zdaj" na prvotni čas izreka, tudi ko je "zdaj" globoko vgrajen v druge časovne operaterje.

Podoben pojav se pojavlja v modalni logiki z operaterjem Aktualnosti A (beri „v resnici je tako“). Da bi pravilno ocenili (4), moramo spremljati, kateri svet je dejanski (ali resnični) svet in kateri svet je v ocenjevalnem svetu.

(4) Mogoče je, da vsi, ki dejansko živijo, niso znani

Zamisel o razlikovanju različnih možnih svetovnih razsežnosti v semantiki je imela koristne aplikacije v filozofiji. Chalmers (1996) je na primer predstavil argumente od zasnove (recimo) zombijev do dualističnih zaključkov v filozofiji uma. Chalmers (2006) je uporabil dvodimenzionalno semantiko, da bi pomagal prepoznati a priori vidik pomena, ki bi podpiral takšne sklepe.

Ideja je bila uporabljena tudi v filozofiji jezika. Kripke (1980) je slavno trdil, da je "Voda je H2O" a posteriori, vendar kljub temu nujna resnica, saj glede na to, da je voda ravno H20, ni možnega sveta, kjer je ta stvar (recimo) osnovni element, kot so mislili Grki. Po drugi strani pa obstaja močna intuicija, ki bi imela resnični svet nekoliko drugačen od tega, kar je, tekočina brez vonja, ki pada z neba kot dež, napolni naša jezera in reke itd. Torej je v nekem smislu mogoče, da voda ni H20. Dvodimenzionalna semantika ponuja prostor za te intuicije z zagotavljanjem ločene dimenzije, ki sledi konceptu vode, ki odpušča kemično naravo tega, kar v resnici je voda. Takšen "ozko vsebinski" pomen pomena "vode" lahko razloži, kako je mogoče prikazati semantično usposobljenost pri uporabi tega izraza in še vedno ne veste o kemiji vode (Chalmers, 2002).

11. Logike dokazivosti

Modalna logika je bila koristna pri razjasnitvi našega razumevanja osrednjih rezultatov v zvezi s dokazljivostjo v osnovah matematike (Boolos, 1993). Logike donosnosti so sistemi, v katerih se predloge spremenljivk (p, q, r) itd gibljejo nad formulami nekaterih matematičnih sistemov, na primer Peanov sistem (mathbf {PA}) za aritmetiko. (Sistem, izbran za matematiko, se lahko razlikuje, vendar predpostavimo, da je za to razpravo (mathbf {PA}). Gödel je pokazal, da ima aritmetika močne izrazne moči. S kodnimi številkami za aritmetične stavke je znal prikazati ujemanje med stavki matematike in dejstvi o tem, kateri stavki so in kateri niso na voljo v (mathbf {PA}). Na primertam je pokazal, da obstaja stavek (C), ki je resničen, če v (mathbf {PA}) ni mogoče dokazati protislovja in je stavek (G) (znameniti Gödelov stavek), to je resnično v primeru, da v (mathbf {PA}) ni dokazljiv.

V logiki dokazivosti se (polje p) razlaga kot formula (aritmetika), ki izraža, da je tisto, kar (p) označuje, dokazljivo v (mathbf {PA}). S to notacijo stavki logike dokazljivosti izražajo dejstva o dokazljivosti. Predpostavimo, da je (bot) stalnica logike preverljivosti, ki označuje protislovje. Nato ({ sim} Box / bot) pravi, da je (mathbf {PA}) skladen in (polje A / rightarrow A) pravi, da je (mathbf {PA}) zvok v smislu, da ko to dokaže (A, A), resnično drži. Poleg tega je polje mogoče ponoviti. Torej, na primer, (Box { sim} Box / bot) dvomi, da (mathbf {PA}) lahko dokaže svojo doslednost in ({ sim} Box / bot / rightarrow { sim} Box { sim} Box / bot) trdi (pravilno, kot je dokazal Gödel), da če je (mathbf {PA}) skladen (mathbf {PA}) ni sposoben dokazati svoje doslednosti.

Čeprav logike dokazivosti tvorijo družino povezanih sistemov, je sistem (mathbf {GL}) daleč najbolj znan. Rezultat je dodajanje naslednjega aksioma v (bK):

(oznaka {(GL)} polje (polje A / rightarrow A) rightarrow / polje A)

Aksiom (4): (polje A / rightarrow / polje / polje A) je dokazljivo v (mathbf {GL}), zato je (mathbf {GL}) dejansko krepitev (mathbf {K4}). Vendar aksiomi, kot so ((M): / polje A / rightarrow A) in še šibkejši ((D): / polje A / rightarrow / Diamond A) niso na voljo (niti zaželeni) v (mathbf {GL}). V logiki dokazivosti dokazljivosti ni treba obravnavati kot blagovno znamko nujnosti. Razlog je v tem, da ko je (p) v poljubnem sistemu (mathbf {S}) za matematiko dokazljivo, potem ne sledi, da je (p) res, ker (mathbf {S}) lahko ni zvočno. Poleg tega, če je (p) dokazljiv v (mathbf {S} (polje p)), mu ni treba niti slediti, da ({ sim} p) nima dokaza (({ sim} Polje { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) je morda nedosledno in tako dokažeta (p) kot ({ sim} p).

Aksiom ((GL)) zajema vsebino Loebovega teorema, ki je pomemben rezultat v temeljih aritmetike. (Okvir A / rightarrow A) pravi, da je (mathbf {PA}) zvok za (A), torej če bi bilo dokazano, da je (A) dokazano, bi bilo A res. (Taka trditev morda ni varna za poljubno izbran sistem (mathbf {S}), ker je A mogoče dokazati v trditvah (mathbf {S}) in napačna.) ((GL)) da če (mathbf {PA}) uspe dokazati stavek, ki trdi trdnost za dani stavek (A), potem je (A) že dokazljiv v (mathbf {PA}). Loebov teorem poroča o nekakšni skromnosti na (mathbf {PA}) delu (Boolos, 1993, str. 55). (mathbf {PA}) nikoli ne vztraja (dokazuje), da dokazilo (A) pomeni resnico (A), razen če že ima dokaz (A), da to trditev podkrepi..

Pokazalo se je, da je (mathbf {GL}) primeren za dokazljivost v naslednjem pomenu. Naj se stavek (mathbf {GL}) vedno dokaže natančno, kadar je aritmetični stavek, ki ga označuje, dokazilen, ne glede na to, kako so njegove spremenljivke pripisane vrednosti stavkom (mathbf {PA}). Potem so dokazljivi stavki (mathbf {GL}) točno tisti stavki, ki so vedno dokazljivi. Rezultat ustreznosti je bil izredno koristen, saj se splošna vprašanja o dokazljivosti v (mathbf {PA}) lahko spremenijo v lažja vprašanja o tem, kaj je mogoče pokazati v (mathbf {GL}).

(mathbf {GL}) je lahko opremljena tudi z možno svetovno semantiko, za katero je zdrava in popolna. Ustrezen pogoj v okvirih za (mathbf {GL}) veljavnost je, da je okvir prehoden, končen in nerefleksiven.

12. Napredna modalna logika

Vse bolj pomembne so aplikacije modalne logike v matematiki in računalništvu. Logičnost dokazovanja je le en primer tega trenda. Izraz "napredna modalna logika" se nanaša na tradicijo raziskav modalne logike, ki je še posebej dobro zastopana na oddelkih za matematiko in računalništvo. Ta tradicija je vpeta v zgodovino modalne logike že od njenih začetkov (Goldblatt, 2006). Raziskovanje povezav s topologijo in algebri predstavlja nekaj prvih tehničnih del na področju modalne logike. Vendar se izraz "napredna modalna logika" na splošno nanaša na drugi val dela, ki je bil opravljen od sredine sedemdesetih let prejšnjega stoletja. Nekaj primerov številnih zanimivih tem, ki jih obravnavamo, vključuje rezultate razločljivosti (ali je mogoče izračunati, ali je formula določene modalne logike teorem) in kompleksnosti (stroški časa in pomnilnika, potrebnih za izračun takšnih dejstev o modalni logiki).

13. Bisimulacija

Bisimulacija je dober primer plodnih interakcij, ki so se razvile med modalno logiko in računalništvom. V računalništvu se označeni prehodni sistemi (LTS) običajno uporabljajo za predstavljanje možnih računskih poti med izvajanjem programa. LTS so posplošitve okvirov Kripke, ki jih sestavljajo množice (W) stanj in zbirka (i) - razmerja dostopnosti (R_i), po enega za vsak računalniški proces (i). Intuitivno, (wR_i w ') drži točno takrat, ko je (w') stanje, ki je posledica uporabe procesa (i) v stanju (w).

Jezik polmodalne ali dinamične logike uvaja zbirko modalnih operaterjev (Box_i), po enega za vsak program (i) (Harel, 1984). Nato (Box_i) A navaja, da ima stavek (A) v vsakem rezultatu uporabe (i). Zato se ideje, kot sta pravilnost in uspešen zaključek programov, lahko izrazijo v tem jeziku. Modeli takšnega jezika so podobni modelom Kripke, ki namesto okvirjev uporabljajo LTS. Bisimulacija je nasprotni odnos med stanji dveh takih modelov, tako da so v nasprotnih stanjih povsem enake predlagane spremenljivke in kadar koli je svet (v) (i) - dostopen iz ene od dveh nasprotnih držav, potem drugi nasprotnik ima povezavo (i) - dostopnost do nekega paketa (v). V kratkem,(i) - struktura dostopnosti, ki jo lahko "vidimo" iz danega stanja, posnema tisto, kar vidimo od drugega. Bisimulacija je šibkejši pojem kot izomorfizem (razmerje bisimulacije ne sme biti 1-1), vendar zadostuje za zagotovitev enakovrednosti pri obdelavi.

V 70. letih prejšnjega stoletja so modalni logiki že razvili različico bisimulacije, da bi lažje razumeli razmerje med modalnimi logičnimi aksiomi in ustreznimi pogoji na Kripkejevih okvirih. Kripkejeva semantika predstavlja osnovo za prevajanje modalnih aksiomov v stavke jezika drugega reda, kjer je dovoljeno kvantificiranje nad enim mestom predikatnih črk (P). Zamenjajte metavarkovne vrednosti (A) z odprtimi stavki (Px), prevedite (polje Px) v (forall y (Rxy / rightarrow Py)) in zaprite brezplačne spremenljivke (x) in predikat črke (P) z univerzalnimi kvantifikatorji. Na primer, predikatni logični prevod aksiomske sheme (polje A / rightarrow A) pride do (forall P / forall x (forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. Glede na ta prevod lahko spremenljivka (P) sproži poljubni predikat na enem mestu,na primer predikatu (Rx), katerega razširitev je množica vseh svetov w tako, da je (Rxw) za dano vrednost (x). Nato dobimo (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], ki se zmanjša na (forall xRxx), saj (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tavtologija. To osvetli ujemanje med (polje A / rightarrow A) in odsevnostjo okvirjev ((forall xRxx)). Podobni rezultati veljajo za številne druge aksiome in pogoje okvirja. "Zlom" pogojev aksioma drugega reda na pogoje prvega reda je zelo koristen pri doseganju rezultatov popolnosti modalne logike. Na primer, to je temeljna ideja elegantnih rezultatov Sahlqvist (1975). Nato dobimo (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], ki se zmanjša na (forall xRxx), saj (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tavtologija. To osvetli ujemanje med (polje A / rightarrow A) in odsevnostjo okvirjev ((forall xRxx)). Podobni rezultati veljajo za številne druge aksiome in pogoje okvirja. "Zlom" pogojev aksioma drugega reda na pogoje prvega reda je zelo koristen pri doseganju rezultatov popolnosti modalne logike. Na primer, to je temeljna ideja elegantnih rezultatov Sahlqvist (1975). Nato dobimo (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], ki se zmanjša na (forall xRxx), saj (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tavtologija. To osvetli ujemanje med (polje A / rightarrow A) in odsevnostjo okvirjev ((forall xRxx)). Podobni rezultati veljajo za številne druge aksiome in pogoje okvirja. "Zlom" pogojev aksioma drugega reda na pogoje prvega reda je zelo koristen pri doseganju rezultatov popolnosti modalne logike. Na primer, to je temeljna ideja elegantnih rezultatov Sahlqvist (1975). Podobni rezultati veljajo za številne druge aksiome in pogoje okvirja. "Zlom" pogojev aksioma drugega reda na pogoje prvega reda je zelo koristen pri doseganju rezultatov popolnosti modalne logike. Na primer, to je temeljna ideja elegantnih rezultatov Sahlqvist (1975). Podobni rezultati veljajo za številne druge aksiome in pogoje okvirja. "Zlom" pogojev aksioma drugega reda na pogoje prvega reda je zelo koristen pri doseganju rezultatov popolnosti modalne logike. Na primer, to je temeljna ideja elegantnih rezultatov Sahlqvist (1975).

Toda kdaj se aksiom drugega reda na ta način zmanjša na stanje prvega reda na (R)? V sedemdesetih letih prejšnjega stoletja je van Benthem pokazal, da se to zgodi, če ima prevod prevod v modelu njegovo lastnost v katerem koli bisimularnem modelu, kjer sta dva modela bisimularna, če je med njimi bisimulacija v posebnem primeru, kadar obstaja enotno razmerje dostopnosti. Ta rezultat zlahka posploši na polimodalni primer (Blackburn et al., 2001, str. 103). To kaže, da je polimodalna logika natančno ustrezna stopnja abstrakcije, s katero lahko opišemo in razložimo računanje in druge procese. (Navsezadnje je resnično pomembno, da se ohranijo resnične vrednosti formul v modelih, ne pa tanjše podrobnosti struktur okvirja.) Poleg tega implicitni prevod teh logik v dobro razumljene fragmente predikatne logike zagotavlja veliko informacij, ki zanimajo računalničarje. Kot rezultat tega se je razvilo plodno področje raziskav računalništva, pri čemer je bila osnovna ideja bisimulacija (Ponse in sod., 1995).

14. Modalna logika in igre

Interakcija med teorijo iger in modalno logiko je cvetoče novo področje raziskav (van der Hoek in Pauly, 2007; van Benthem, 2011, Ch. 10 in 2014). To delo ima zanimive aplikacije za razumevanje sodelovanja in konkurence med agenti, saj se informacije, ki so jim na voljo, razvijajo.

Dilem zapornika prikazuje nekatere koncepte v teoriji iger, ki jih je mogoče analizirati z uporabo modalne logike. Predstavljajte si dva igralca, ki se odločita za sodelovanje ali goljufanje. Če oba sodelujeta, oba dosežeta nagrado v višini 3 točke, če oba varata, oba ne dobita nič, in če eden sodeluje, drugi pa vara, goljuf izplača s 5 točkami, kooperant pa ne dobi nič. Če sta oba igralca altruistična in motivirana za povečanje vsote svojih nagrad, bosta oba sodelovala, saj je to najboljše, kar lahko naredita skupaj. Vendar pa jih oba varata, da bosta varala, da bi povečala lastno nagrado s 3 na 5. Po drugi strani pa lahko, če sta racionalna, prepoznata, da če vara svojega nasprotnika, grozi, da bo varal, in ju pusti brez ničesar. Torej je sodelovanje najboljše, kar lahko storimo glede na to grožnjo. In če vsak misli, da drugi to uresniči, jih bo morda motiviral za sodelovanje. Razširjena (ali ponovljena) različica te igre daje igralcem več potez, torej ponavljajoče se priložnosti za igro in zbiranje nagrad. Če imajo igralci informacije o zgodovini potez in njihovih rezultatih, se pojavljajo novi pomisleki, saj je uspeh v igri odvisen od poznavanja strategije nasprotnika in določitve (na primer), kdaj mu lahko zaupajo, da ne bo varal. V različicah igre za več igralcev, kjer se igralci na vsaki potezi ločijo v parih iz večjega bazena, je lahko najboljša lastna strategija odvisna od tega, ali lahko prepoznamo nasprotnike in strategije, ki so jih sprejeli. (Glej Grim in sod., 1998 za fascinantne raziskave o intenzivnih zapornikovih dilemah.)Razširjena (ali ponovljena) različica te igre daje igralcem več potez, torej ponavljajoče se priložnosti za igro in zbiranje nagrad. Če imajo igralci informacije o zgodovini potez in njihovih rezultatih, se pojavljajo novi pomisleki, saj je uspeh v igri odvisen od poznavanja strategije nasprotnika in določitve (na primer), kdaj mu lahko zaupajo, da ne bo varal. V različicah igre za več igralcev, kjer se igralci na vsaki potezi ločijo v parih iz večjega bazena, je lahko najboljša lastna strategija odvisna od tega, ali lahko prepoznamo nasprotnike in strategije, ki so jih sprejeli. (Glej Grim in sod., 1998 za fascinantne raziskave o intenzivnih zapornikovih dilemah.)Razširjena (ali ponovljena) različica te igre daje igralcem več potez, torej ponavljajoče se priložnosti za igro in zbiranje nagrad. Če imajo igralci informacije o zgodovini potez in njihovih rezultatih, se pojavljajo novi pomisleki, saj je uspeh v igri odvisen od poznavanja strategije nasprotnika in določitve (na primer), kdaj mu lahko zaupajo, da ne bo varal. V različicah igre za več igralcev, kjer se igralci na vsaki potezi ločijo v parih iz večjega bazena, je lahko najboljša lastna strategija odvisna od tega, ali lahko prepoznamo nasprotnike in strategije, ki so jih sprejeli. (Glej Grim in sod., 1998 za fascinantne raziskave o intenzivnih zapornikovih dilemah.)Če imajo igralci informacije o zgodovini potez in njihovih rezultatih, se pojavljajo novi pomisleki, saj je uspeh v igri odvisen od poznavanja strategije nasprotnika in določitve (na primer), kdaj mu lahko zaupajo, da ne bo varal. V različicah igre za več igralcev, kjer se igralci na vsaki potezi ločijo v parih iz večjega bazena, je lahko najboljša lastna strategija odvisna od tega, ali lahko prepoznamo nasprotnike in strategije, ki so jih sprejeli. (Glej Grim in sod., 1998 za fascinantne raziskave o intenzivnih zapornikovih dilemah.)Če imajo igralci informacije o zgodovini potez in njihovih rezultatih, se pojavljajo novi pomisleki, saj je uspeh v igri odvisen od poznavanja strategije nasprotnika in določitve (na primer), kdaj mu lahko zaupajo, da ne bo varal. V različicah igre za več igralcev, kjer se igralci na vsaki potezi ločijo v parih iz večjega bazena, je lahko najboljša lastna strategija odvisna od tega, ali lahko prepoznamo nasprotnike in strategije, ki so jih sprejeli. (Glej Grim in sod., 1998 za fascinantne raziskave o intenzivnih zapornikovih dilemah.)lastna najboljša strategija je lahko odvisna od tega, ali lahko prepoznamo svoje nasprotnike in sprejete strategije. (Glej Grim in sod., 1998 za fascinantne raziskave o intenzivnih zapornikovih dilemah.)lastna najboljša strategija je lahko odvisna od tega, ali lahko prepoznamo svoje nasprotnike in sprejete strategije. (Glej Grim in sod., 1998 za fascinantne raziskave o intenzivnih zapornikovih dilemah.)

V igrah, kot je šah, se igralci po vrsti premikajo in njihovi nasprotniki lahko vidijo narejene poteze. Če sprejmemo konvencijo, da se igralci v igri spreminjajo, potem je Iterated Prisile's Dilemma igra z manjkajočimi informacijami o stanju igre - igralec z drugim obratom nima informacij o tem, kakšna je bila zadnja poteza drugega igralca. To ponazarja zanimanje za igre z nepopolnimi informacijami.

Uporaba iger v logiki ima dolgo zgodovino. Ena vplivnih aplikacij s pomembnimi posledicami za jezikoslovje je Game Theoretic Semantics (GTS) (Hintikka et al. 1983), kjer je veljavnost določena z izidom igre med dvema igralcema, ki eden poskuša preveriti, drugi pa poskuša ponarediti določeno formulo. GTS ima bistveno močnejše vire kot standardna semantika Tarškega, saj ga je mogoče uporabiti (na primer) za razlago, kako se pomen razvija v diskurzu (zaporedju stavkov).

Vendar pa je delo na igrah in modalna logika, ki jih je treba opisati, nekoliko drugačno. Namesto da bi se igre uporabljale za analizo semantike logike, se obravnavane modalne logike uporabljajo za analizo iger. Struktura iger in njihova igra je zelo bogata, saj vključuje naravo same igre (dovoljene poteze in nagrade za rezultate), strategije (ki so zaporedja potez skozi čas) in pretok informacij igralcem na voljo, ko igra napreduje. Zato razvoj modalne logike za igre temelji na lastnostih, ki jih najdemo v logiki in vključuje koncepte, kot so čas, agencija, prednost, cilji, znanje, prepričanje in sodelovanje.

Da bi namignili na to raznolikost, je tukaj omejen opis nekaterih modalnih operaterjev, ki se pojavijo pri analizi iger in nekaterih stvari, ki jih je mogoče izraziti z njimi. Osnovna ideja semantike je, da igra je sestavljena iz množice igralcev 1, 2, 3,… in niza W stanj igre. Za vsakega igralca i obstaja povezava z dostopnostjo (R_i), tako da (sR_i t) velja za stanja (s) in (t) iff, ko je igra prišla v stanje (s) igralec (i) lahko naredi premik, ki ima za posledico (t). Ta zbirka odnosov določa drevo, katerega veje definirajo vsako možno zaporedje potez v igri. Semantika atome, ki spremljajo izplačila, pripisuje tudi vrednosti resnice. Torej, na primer v igri, kot je šah, bi lahko obstajal atom (win_i), takšen, da (v (win_i,s) = T) iff state s je dobitak za igralca (i). Operaterja modelov (Box_i) in (Diamond_i) za vsakega igralca i lahko nato določimo, kot sledi.

(začeti {poravnati *} v (Box_i A, s) & = T / besedilo {iff za vse} t / besedilo {in} W, / besedilo {če} sR_i t, / besedilo {nato} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / besedilo {iff za nekaj} t / besedilo {in} W, sR_i t / besedilo {in} v (A, t) = T. / konec {poravnati *})

Torej (Box_i A) ((Diamond_i A)) je resničen s, pod pogojem, da stavek (A) drži v vsakem (nekaterih) stanju, ki ga (i) lahko izbere iz stanja (s). Glede na to, da je (bot) protislovje (torej ({ sim} bot) je tavtologija), je (Diamond_i { sim} bot) resnično v stanju, ko je (i) je na vrsti premik. Za igro za dva igralca (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) velja stanje, ki konča igro, saj se niti 1 niti 2 ne moreta premikati. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) zatrjuje, da ima igralec 1 izgubo, ker karkoli 1 stori iz trenutnega stanja, lahko 2 zmaga v naslednjem koraku.

Za splošnejši prikaz izplačil igralca je mogoče razmerja naročanja (leq_i) določiti v stanjih, tako da (s / leq_i t) pomeni, da je izplačilo (i) za (t) je vsaj tako dober kot za (s). Druga posplošitev je izražanje dejstev o zaporedih (q) potez z uvedbo operaterjev, ki jih razlagajo odnosi (sR_q t), ki kažejo, da zaporedje (q), ki se začne s, sčasoma prispe na (t). S temi in z njimi povezanimi viri je mogoče (na primer) izraziti, da je q glede na trenutno stanje najboljša strategija (i).

Za analizo iger je ključnega pomena, da lahko izrazite informacije, ki so na voljo igralcem. Eden od načinov za dosego tega je izposojanje idej iz epiztemske logike. Tu lahko za vsakega igralca uvedemo razmerje dostopnosti ({ sim} _i), tako da (s { sim} _i t) drži iff (i) ne more razlikovati med stanji (s) in (t). Nato lahko operaterje znanja (rK_i) za igralce določimo tako, da (rK_i A) pri (s) reče, da ima (A) v vseh svetovih, ki jih (i) lahko ločimo od (s); to pomeni, da kljub nevednosti (i) o stanju igre še vedno lahko verjame (A). Operaterji (rK) lahko rečejo, da igralec 1 lahko odstopi, saj ve, da 2 vidi, da ima zmago: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Ker se informacije igralca spreminjajo, ko igra napreduje, je koristno razmišljati o potezah igre, ki so indeksirane s časom, in vnesti operaterje (O) in (U) iz napete logike za "naslednji" in "do". Potem (K_i OA / rightarrow OK_i A) izrazi, da ima igralec (i) "popoln odpoklic", torej da, ko (i) ve, da se (A) zgodi naslednji, potem pa v naslednjem trenutku (i) ni pozabil, da se je zgodilo (A). To ponazarja, kako lahko modalna logika iger odraža kognitivne idealizacije in igralčev uspeh (ali neuspeh) pri njihovem preživljanju.

Tehnična plat modalne logike za igre je zahtevna. Projekt prepoznavanja pravilnih in popolnih sistemov za jezik, ki vsebuje veliko zbirk operaterjev, se lahko usmerja v pretekle raziskave, vendar medsebojni vplivi med različnimi odnosi glede dostopnosti vodijo v nove zaskrbljenosti. Poleg tega je računska zapletenost različnih sistemov in njihovih fragmentov velika pokrajina, ki je večinoma neraziskana.

Teoretične koncepte iger je mogoče uporabiti na presenetljivo različne načine - od preverjanja argumenta za veljavnost do uspeha na političnem prizorišču. Torej obstajajo močne motivacije za oblikovanje logike, ki lahko upravlja z igrami. Pri tej raziskavi je presenetljiva moč, ki jo dobimo z združevanjem logike časa, agencije, znanja, prepričanj in preferenc v enotnem okolju. Naučila, ki so se jih naučili iz te integracije, imajo veliko večjo vrednost kot prispevajo k razumevanju iger.

15. Kvantifikatorji v modalni logiki

Zdi se, da bi bila preprosta stvar opremiti modalno logiko s kvantifikatorjema (forall) (vse) in (obstaja) (nekateri). Enostavno bi dodali standardna (ali klasična) pravila za kvantifikatorje načelom ne glede na izbrano predlogo modalne logike. Vendar pa dodajanje kvantifikatorjev v modalno logiko vključuje številne težave. Nekatere od teh so filozofske narave. Quine (1953) je na primer zagotovo trdil, da je količinsko določanje modalnih kontekstov preprosto nekoherentno, pogled, ki je sprožil velikansko literaturo. Quineove pritožbe ne nosijo teže, kot so jo nekoč. Za dober povzetek glejte Barcan (1990) in upoštevajte Kripkejevo (2017) (napisano v 60. letih za razred z Quineom), ki zagotavlja močan formalni argument, da s "količinsko določitvijo" ne more biti nič narobe.

Druga vrsta zapletov je tehnična. Izbira, ki ga v semantiki lahko določimo za količinsko modalno logiko, je zelo raznolika, dokaz o pravilnosti sistema pravil za določeno izbiro pa je lahko težaven. Delo Corsija (2002) in Garson-a (2005) gre nekako na poti k enotnosti na tem terenu, Johannesson (2018) pa uvaja omejitve, ki pomagajo zmanjšati število možnosti; Kljub temu razmere še vedno ostajajo zahtevne.

Drugi zaplet je, da nekateri logiki verjamejo, da modalnost zahteva opuščanje klasičnih pravil za količinsko količino v korist šibkejših pravil proste logike (Garson 2001). Glavne točke nesoglasja v zvezi s pravili o kvantifikatorju lahko zasledimo v odločitvah, kako ravnati s področjem kvantifikacije. Najenostavnejša alternativa, pristop s fiksno domeno (včasih imenovano tudi potencibilističen), predvideva eno samo domeno kvantifikacije, ki vsebuje vse možne predmete. Po drugi strani pa relativna (ali realistična) razlaga na svetu predvideva, da se domena kvantifikacije spreminja iz sveta v svet in vsebuje samo predmete, ki dejansko obstajajo v določenem svetu.

Pristop s fiksno domeno ne zahteva večjih prilagoditev klasičnih strojev za kvantifiatorje. Modalno logiko, ki je primerna za semantiko fiksnih domen, lahko običajno aksiomatiziramo tako, da klasičnim pravilom kvantifikatorja skupaj z Barcanovo formulo ((BF)) (Barcan 1946) dodamo načela predloga modalne logike. (Za nekaj zanimivih izjem glej Cresswell (1995)).

(oznaka {(BF)} forall x / polje A / rightarrow / polje / forall xA.)

Interpretacija s fiksno domeno ima prednosti preprostosti in domačnosti, vendar ne zagotavlja neposrednega upoštevanja semantike nekaterih izrazov kvantifikatorja naravnega jezika. Ne verjamemo, da je "nekdo, ki je podpisal Deklaracijo o neodvisnosti" resničen, vsaj ne, če beremo "obstaja" v sedanjem času. Kljub temu je ta stavek veljal leta 1777, kar kaže, da se domena naravnega jezikovnega izraza "nek človek obstaja, ki" spreminja, da odraža, kateri moški obstajajo v različnih obdobjih. Povezana težava je, da je v razlagi s fiksno domeno stavek (forall y / Box / obstaja x (x = y)) veljaven. Če predpostavimo, da se glasi (obstaja x (x = y)): (y) obstaja, (forall y / Box / obstaja x (x = y)) pravi, da vse obstaja nujno. Vendar pa je dr. Temeljna značilnost skupnih idej o modalnosti se zdi, da je obstoj mnogih stvari pogojen in da v različnih možnih svetovih obstajajo različni predmeti.

Zagovornik tolmačenja s fiksno domeno lahko na te ugovore odgovori tako, da vztraja, da domena kvantifikacije vsebuje vse mogoče predmete, ne le predmete, ki obstajajo v določenem svetu. Torej izrek (forall y / Box / obstaja x (x = y)) postavlja neškodljivo trditev, da je vsak mogoč predmet nujno najti v domeni vseh možnih predmetov. Poleg tega se lahko tisti izrazi kvantifikatorja naravnega jezika, katerih domena je odvisna od sveta (ali časa), izrazijo s kvantifikatorjem fiksne domene (obstaja x) in predikatno črko (E) z zapisom "dejansko obstaja". Na primer, namesto da bi prevedli "Nekateri (M) obstaja, ki (S) vžge Izjavo o neodvisnosti", ki jo

(obstaja x (Mx / amp Sx),)

zagovornik fiksnih domen lahko napiše:

(obstaja x (ex / amp Mx / amp Sx),)

s tem zagotovimo, da se prevod trenutno šteje za napačen. Cresswell (1991) navaja zanimivo opažanje, da ima količinsko določanje v svetovnem merilu omejeno izrazno moč glede na količinsko določitev s fiksno domeno. Svetovno količinsko določitev je mogoče določiti s kvantifikatorji fiksne domene in (E), vendar ni mogoče v celoti izraziti kvantifikatorjev s fiksno domeno s svetovnimi. Čeprav to trdi v prid klasičnemu pristopu kvantificirane modalne logike, taktika prevajanja pomeni tudi nekaj koncesije v prid proste logike, saj tako definirani svetovni kvantifiatorji natančno upoštevajo pravila proste logike.

Težava s strategijo prevajanja, ki jo uporabljajo zagovorniki s fiksno določitvijo domene, je ta, da je upodabljanje angleščine v logiko manj neposredno, saj je treba (E) dodati vsem prevodom vseh stavkov, katerih izrazi v količini imajo domene, ki so odvisne od konteksta. Resnejši ugovor kvantifikaciji s fiksno domeno je, da odvzema kvantifikator vloge, ki jo je zanjo priporočil Quine, in sicer beleženje močne ontološke zaveze. V tem pogledu mora domena (obstaja x) vsebovati samo entitete, ki so ontološko ugledne, možni predmeti pa so preveč abstraktni, da bi bili upravičeni. Aktualisti te črte bodo želeli razviti logiko kvantifikatorja ((obstaja x)), ki odraža zavezanost tistemu, kar je v danem svetu dejansko, namesto tistemu, kar je zgolj mogoče.

Vendar pa nekatere trditve o realizmu (Menzel, 1990) te ugovore ogrožajo. Na primer, Linsky in Zalta (1994) in Williamson, (2013) trdijo, da je mogoče s kvantifikatorjem fiksne domene dati interpretacijo, ki je povsem sprejemljiva za realiste. Pavone (2018) celo trdi, da so za haecceitistično razlago, ki kvantificira posamezne esence, potrebne fiksne domene. Aktualisti, ki uporabljajo semantiko možnih svetov, v svoji semantični teoriji jezika rutinsko kvantificirajo nad možnimi svetovi. Zato se zdi, da so možne svetove dejanske glede na te luči realista. S poseljevanjem domene z abstraktnimi entitetami, ki nimajo več nasprotovanja kot možni svetovi, lahko realisti maščevajo Barcanovo formulo in klasična načela.

Upoštevajte pa, da nekateri aktualisti morda odgovarjajo, da se jim ni treba zavzemati za dejanske možne svetove, če se razume, da kvantifikatorjem, ki se uporabljajo v njihovi teoriji jezika, ni močnega ontološkega pomena. Poleg tega Hayaki (2006) trdi, da je količinsko določanje abstraktnih entitet v resnici nezdružljivo z nobeno resno obliko aktualizma. Vsekakor je stvaristom (in tudi neaktualistom) omogočeno, da raziščejo logiko kvantifikatorjev z bolj robustnimi domenami, na primer domene, ki izključujejo možne svetove in druge take abstraktne entitete, in ki vsebujejo samo prostorsko-časovne podrobnosti, ki jih najdemo v dani svet. Za tovrstne kvantifikatorje so primerne svetovne domene.

Takšni premisleki motivirajo zanimanje za sisteme, ki priznavajo kontekstno odvisnost kvantifikacije z uvedbo domen, ki so odvisni od sveta. Tu ima vsak možni svet svojo domeno kvantifikacije (nabor predmetov, ki dejansko obstajajo v tem svetu), domene pa se razlikujejo od enega do drugega sveta. Ko je ta odločitev sprejeta, se pojavi klasična teorija kvantifikacije težko. Upoštevajte, da je stavek (obstaja x (x = t)) teorem klasične logike in je tako (polje / obstaja x (x = t)) izrek (bK) pravilo o nujnosti. Naj izraz (t) pomeni Saul Kripke. Potem ta izrek pravi, da je potrebno, da Saul Kripke obstaja, da je v domeni vsakega možnega sveta. Celotna motivacija za odnos, ki je odvisen od sveta, je bila, da odraža idejo, da predmeti v enem svetu morda ne obstajajo v drugem. Če pa se uporabljajo standardni ravni kvantifikatorjev, se mora vsak izraz (t) sklicevati na nekaj, kar obstaja v vseh možnih svetovih. To se zdi nezdružljivo z našo običajno prakso uporabe izrazov za sklicevanje na stvari, ki obstajajo samo pogojno.

Eden odzivov na to težavo je preprosto odpravljanje izrazov. Kripke (1963) daje primer sistema, ki uporablja svetovno relativno razlago in ohranja klasična pravila. Vendar so stroški resni. Prvič, njegov jezik je umetno osiromašen, in drugič, pravila za predlagano modalno logiko morajo oslabiti.

Ob predpostavki, da bi radi imeli jezik, ki vključuje izraze, in da je treba standardnim sistemom predlagalne modalne logike dodati klasična pravila, se pojavi nov problem. V takem sistemu je mogoče dokazati ((CBF)) nasprotno Barcanovo formulo.

(oznaka {(CBF)} polje / forall xA / rightarrow / forall x / polje A.)

To dejstvo ima resne posledice za semantiko sistema. Ni težko pokazati, da mora vsak relativni svetovni model ((CBF)) izpolnjevati pogoj ((ND)) (za "ugnezdene domene").

((ND)) Če je (wRv), potem je domena (w) podvrsta domene (v)

Vendar ((ND)) nasprotuje tematiki uvajanja svetovnih domen. Celotna ideja je bila, da je obstoj predmetov pogojen, tako da obstajajo možni svetovi, kjer ena od stvari v našem svetu ne obstaja.

Enostavna rešitev teh težav je opustiti klasična pravila za kvantifiatorje in namesto njih sprejeti pravila za prosto logiko ((mathbf {FL})). Pravila (mathbf {FL}) so enaka klasičnim pravilom, le da so sklepi iz (forall xRx) (vse je resnično) do (Rp) (Pegasus je dejanski) blokirani. To se izvede z uvedbo predikata '(E)' (za 'dejansko obstaja') in s spreminjanjem pravila univerzalne instancije. Iz (forall xRx) je dovoljeno dobiti (Rp) le, če je tudi ena (Ep). Predpostavimo, da je univerzalni kvantifikator (forall x) primitiven, eksistencialni kvantifikator (obstaja x) pa je opredeljen z (obstaja xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), potem (mathbf {FL}) lahko sestavimo tako, da v pravila predloga logike dodamo naslednja dva načela.

Univerzalna posplošitev.

Če je (B / rightarrow (Ey / rightarrow A (y))) teorem, je tudi (B / rightarrow / forall xA (x)).

Univerzalna trenutnost.

(forall xA (x) rightarrow (En / rightarrow A (n)))

(Tu se domneva, da je (A (x)) vsaka dobro oblikovana formula predikatne logike in da (A (y)) in (A (n)) izhaja iz zamenjave (y) in (n) pravilno za vsak pojav (x) v (A (x)).) Upoštevajte, da je aksiom primerka omejen z omembo (En) v antecedentu. Pravilo univerzalne posploševanja je spremenjeno na enak način. V (mathbf {FL}) dokazih formul, kot so (obstaja x / polje (x = t)), (forall y / Box / obstaja x (x = y)), ((CBF)) in ((BF)), ki se zdita nezdružljiva s svetovno razlago, sta blokirana.

Eden od filozofskih ugovorov (mathbf {FL}) je, da se zdi, da je (E) predikat obstoja in mnogi bi trdili, da obstoj ni legitimna lastnost, kot je zelena ali težka več kot štiri kilograme. Torej filozofi, ki zavračajo idejo, da je obstoj predikat, lahko nasprotujejo (mathbf {FL}). Vendar je v večini (vendar ne vseh) količinsko ovrednotenih modalnih logik, ki vključujejo identiteto ((=)), te skrbi mogoče odpraviti tako, da določimo (E) na naslednji način.

[Et = _ {df} obstaja x (x = t).)

Najbolj splošen način oblikovanja količinsko opredeljene modalne logike je ustvarjanje (mathbf {FS}) z dodajanjem pravil (mathbf {FL}) v dano predlagano modalno logiko (mathbf {S}). V situacijah, ko je zaželeno klasično količinsko določitev, lahko preprosto (Et) dodamo kot aksiom v (mathbf {FS}), tako da klasična načela postanejo izvedljiva pravila. Rezultati ustreznosti takšnih sistemov se lahko dobijo pri večini možnosti modalne logike (mathbf {S}), vendar obstajajo izjeme.

Omembe vreden je končni zaplet v semantiki za količinsko opredeljeno modalno logiko. Pojavi se, ko se v jezik vnesejo netrdni izrazi, kot je „izumitelj bifokalov“. Izraz je netoken, ko pobere različne predmete v različnih možnih svetovih. Semantično vrednost takega izraza lahko damo s tistim, kar je Carnap (1947) poimenoval individualni koncept, funkcijo, ki pobere poimenovanje izraza za vsak možni svet. Eden od načinov za obravnavo netrdnih izrazov je uporaba Russellove teorije opisov. Vendar pa se v jeziku, ki obravnava netrdne izraze kot pristne izraze, izkaže, da niti klasična niti prosta logična pravila za kvantifikatorje niso sprejemljiva. (Težave ni mogoče rešiti s oslabitvijo pravila nadomeščanja identitete.) Rešitev tega problema je uporaba splošnejše obravnave kvantifikatorjev, kjer področje kvantifikacije vsebuje posamezne koncepte in ne predmete. Ta splošnejša razlaga omogoča boljše ujemanje med obravnavo izrazov in obdelavo kvantifikatorjev ter rezultate v sistemih, ki ustrezajo klasičnim ali prosto logičnim pravilom (odvisno od tega, ali so izbrane fiksne domene ali svetovne domene). Prav tako zagotavlja jezik z močno in prepotrebno izrazno močjo (Bressan, 1973, Belnap in Müller, 2013a, 2013b). Ta splošnejša razlaga omogoča boljše ujemanje med obravnavo izrazov in obdelavo kvantifikatorjev ter rezultate v sistemih, ki ustrezajo klasičnim ali prosto logičnim pravilom (odvisno od tega, ali so izbrane fiksne domene ali svetovne domene). Prav tako zagotavlja jezik z močno in prepotrebno izrazno močjo (Bressan, 1973, Belnap in Müller, 2013a, 2013b). Ta splošnejša razlaga omogoča boljše ujemanje med obravnavo izrazov in obdelavo kvantifikatorjev ter rezultate v sistemih, ki ustrezajo klasičnim ali prosto logičnim pravilom (odvisno od tega, ali so izbrane fiksne domene ali svetovne domene). Prav tako zagotavlja jezik z močno in prepotrebno izrazno močjo (Bressan, 1973, Belnap in Müller, 2013a, 2013b).

Bibliografija

Besedila o modalni logiki s filozofi v mislih so Hughes in Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting in Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) in Humberstone (2015).

Humberstone (2015) ponuja vrhunski vodnik po literaturi o modalni logiki in njihovih aplikacijah v filozofiji. Bibliografija (z več kot tisoč prispevki) ponuja neprecenljiv vir za vse glavne teme, vključno z logiko napetosti, obveznosti, prepričanja, znanja, agencije in nujne potrebe.

Gabbay in Guenthner (2001) ponujata uporabne povzetke o glavnih temah, medtem ko Blackburn et. al. (2007) je iz bolj napredne perspektive neprecenljiv vir.

Odlična bibliografija zgodovinskih virov je v Hughesu in Cresswellu (1968).

  • Anderson, A. in N. Belnap, 1975, 1992, Entailment: Logika ustreznosti in nujnosti, vol. 1 (1975), letn. 2 (1992), Princeton: Princeton University Press.
  • Barcan (Marcus), R., 1947, "Funkcionalno računanje prvega reda na podlagi stroge implikacije", Journal of Symbolic Logic, 11: 1–16.
  • –––, 1967, „Esencializem v modalni logiki“, Noûs, 1: 91–96.
  • –––, 1990, „Pogled nazaj na Quineove animadverzije o modalitetah“, v R. Bartrett in R. Gibson (ur.), Perspektive na Quine, Cambridge: Blackwell.
  • Belnap, N., M. Perloff in M. Xu, 2001, Soočanje s prihodnostjo, New York: Oxford University Press.
  • Belnap, N. in T. Müller, 2013a, „CIFOL: Intenzivna logika primerov prvega reda (I): Na poti k nekakšni logiki,“Journal of Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-012-9267-x
  • –––, 2013b, „BH-CIFOL: Mednarodna logika primerov prvega reda (II): Podružnice zgodovine,“Journal of Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-013-9292-4
  • Bencivenga, E., 1986, "Prosta logika", pri D. Gabbay in F. Guenthner (ur.), Priročnik filozofske logike, III.6, Dordrecht: D. Reidel, 373–426.
  • Benthem, JF van, 1982, Logija časa, Dordrecht: D. Reidel.
  • –––, 1983, Modal Logic in Classical Logic, Neapelj: Bibliopolis.
  • –––, 2010, Modal Logic for Open Minds, Stanford: Publikacije CSLI.
  • –––, 2011, Logična dinamika informacij in interakcij, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2014, Logika v igrah, Cambridge, Mass: MIT Press.
  • Blackburn, P., z M. de Rijke in Y. Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Blackburn, P., z J. van Bentham in F. Wolter, 2007, Priročnik modalne logike, Amsterdam: Elsevier.
  • Bonevac, D., 1987, Odbitki, II. Del, Palo Alto: Založba Mayfield.
  • Boolos, G., 1993, Logika dokazivosti, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bressan, A., 1973, General Interprepreted Modal Calculus, New Haven: Yale University Press.
  • Bull, R. in K. Segerberg, 1984, "Basic Modal Logic", pri D. Gabbay in F. Guenthner (ur.), Handbook of Philosophical Logic, II.1, Dordrecht: D. Reidel, 1–88.
  • Carnap, R., 1947, Pomen in nujnost, Chicago: U. Chicago Press.
  • Carnielli, W. in C. Pizzi, 2008, Modalities and Multimodalities, Heidelberg: Springer-Verlag.
  • Chagrov, A. in M. Zakharyaschev, 1997, Modal Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Chalmers, D., 1996, The Conscious Mind, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2002, „Sestavni deli vsebine“, v D. Chalmers (ur.), Filozofija uma: klasična in sodobna branja, Oxford: Oxford University Press, 608–633.
  • –––, 2006, „Temelji dvodimenzionalne semantike“, v M. Garcia-Carpintero in J. Macia, Dvodimenzionalna semantika: Temelji in aplikacije, Oxford: Oxford University Press, 55–140.
  • Chellas, B., 1980, Modal Logic: Uvod, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Cresswell, MJ, 2001, „Modal Logic“, v L. Goble (ur.), Vodnik Blackwell-a o filozofski logiki, Oxford: Blackwell, 136–158.
  • –––, 1991, „V obrambo Barcanove formule“, Logique et Analyse, 135–136: 271–282.
  • –––, 1995, „Nepopolnost in Barčanova formula“, Časopis za filozofsko logiko, 24: 379–403.
  • Cocchiarella, N. in M. Freund, 2008, Modal Logic Uvod v njegovo sintakso in semantiko, New York: Oxford.
  • Corsi, G., 2002, »Enotna teorema popolnosti za količinsko modalno logiko«, Journal of Symbolic Logic, 67: 1483–1510.
  • Crossley, J in L. Humberstone, 1977, "Logika" aktualnosti ", Poročila o matematični logiki, 8: 11–29.
  • Fitting, M. in R. Mendelsohn, 1998, Modalna logika prvega reda, Dordrecht: Kluwer.
  • Gabbay, D., 1976, Preiskave modalne in napete logike, Dordrecht: D. Reidel.
  • –––, 1994, Časovna logika: Matematični temelji in računski vidiki, New York: Oxford University Press.
  • Gabbay, D. in F. Guenthner, F. (ur.), 2001, Priročnik filozofske logike, druga izdaja, 3. zvezek, Dordrecht: D. Reidel,
  • Garson, J., 2001, "Kvantifikacija v modalni logiki", v Gabbay in Guenthner (2001), 267–323.
  • –––, 2005, „Združevanje količinsko opredeljene modalne logike“, časopis za filozofsko logiko, 34: 621–649.
  • –––, 2013, Modal Logic for Philosophers, Second Edition, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Girle, R., 2009, Modalna logika in filozofija (2. izdaja), Routledge, New York, New York.
  • Grim, P., Mar, G in St. Denis, P., 1998, Filozofski računalnik, Cambridge, Mass.: MIT Press.
  • Goldblatt, R., 1993, Mathematics of Modality, CSLI Lectures Notes # 43, Chicago: University of Chicago Press.
  • –––, 2006, „Matematična modalna logika: pogled na njen razvoj“, v D. Gabbay in J. Woods (ur.), Priročnik za zgodovino logike, vol. 6, Amsterdam: Elsevier.
  • Harel, D., 1984, "Dinamična logika", pri D. Gabbay in F. Guenthner (ur.), Priročnik filozofske logike, II.10, Dordrecht: D. Reidel, 497–604.
  • Hayaki, R., 2006, "Pogojni predmeti in Barčanova formula", Erkenntnis, 64: 75–83.
  • Hintikka, J., 1962, Znanje in prepričanje: Uvod v logiko obeh pojmov, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1983, Jezikovna igra, Dordrecht: D. Reidel.
  • Hilpinen, R., 1971, Deontic Logic: Uvodna in sistematična branja, Dordrecht: D. Reidel.
  • van der Hoek, W. in Pauly, M., 2007, “Model Logics for Games and Information”, poglavje 20 Blackburn et. al., 2007.
  • Hughes, G. in M. Cresswell, 1968, Uvod v modalno logiko, London: Methuen.
  • –––, 1984, A Companion to Modal Logic, London: Methuen.
  • –––, 1996, Novo uvajanje v modalno logiko, London: Routledge.
  • Humberstone, L. 2015, Filozofske aplikacije modalne logike, College Publications, London.
  • Johannesson, E., 2018, „Delna semantika za količinsko modalno logiko“, Časopis za filozofsko logiko, 1–12.
  • Kaplan, D., 1989, "Demonstrativi", v temah iz Kaplana, Oxford: Oxford University Press.
  • Kripke, S., 1963, „Semantične premisleki o modalni logiki“, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
  • –––, 1980, Imenovanje in nujnost, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press.
  • –––, 2017, „Kvantificirana modalnost in esencializem“, Nous, 51, # 2: 221–234.
  • Konyndik, K., 1986, Uvodna modalna logika, Notre Dame: University of Notre Dame Press.
  • Kvart, I., 1986, A Theory of Counterfactuals, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
  • Lemmon, E. in D. Scott, 1977, Uvod v modalno logiko, Oxford: Blackwell.
  • Lewis, CI in CH Langford, 1959 (1932), Symbolic Logic, New York: Dover Publications.
  • Lewis, D., 1973, Counterfactuals, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
  • Linsky, B. in E. Zalta, 1994, „V obrambo najpreprostejše količinsko opredeljene modalne logike“, Filozofske perspektive (logika in jezik), 8: 431–458.
  • Mares, E., 2004, Ustrezna logika: Filozofska interpretacija, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Menzel, C., 1990, "Aktualizem, ontološka zavzetost in semantika možnih svetov", Synthese, 85: 355–389.
  • Mints, G. 1992, Kratek uvod v modalno logiko, Chicago: University of Chicago Press.
  • Ponse, A., z M. de Rijke in Y. Venema, 1995, Modalna logika in procesna algebra, Perspektiva bisimulacije, Stanford: Publikacije CSLI.
  • Pavone, L., 2018, »Plantingin haecceitizem in najpreprostejša kvantificirana modalna logika«, Logika in logična filozofija, 27: 151–160.
  • Popkorn, S., 1995, Prvi koraki v modalni logiki, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Prior, AN, 1957, Čas in modalnost, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1967, preteklost, sedanjost in prihodnost, Oxford: Clarendon Press.
  • Quine, WVO, 1953, “Reference in modalnost”, z logičnega vidika, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. 139–159.
  • Rescher, N in A. Urquhart, 1971, Temporal Logic, New York: Springer Verlag.
  • Sahlqvist, H., 1975, "Popolnost in korespondenca v semantiki prve in druge stopnje za modalno logiko", v S. Kanger (ur.), Zbornik Tretjega skandinavskega logičnega simpozija, Amsterdam: Severna Holandija. 110–143.
  • Thomason, R., 1984, »Kombinacije napetosti in modalnosti«, v D. Gabbay in F. Guenthner (ur.), Priročnik filozofske logike, II.3, Dordrecht: D. Reidel, 135–165.
  • Williamson, T., 2013, Modal Logic as Metaphysics, Oxford: Oxford University Press.
  • Zeman, J., 1973, Modal Logic, The Lewis-Modal Systems, Oxford: Oxford University Press.

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

  • Napredki v modalni logiki
  • Seznam virov iz Wikipedije
  • Priročnik o modalni logiki Blackburn, Bentham in Wolter
  • Stran z modalnimi logikami Johna McCarthyja

Priporočena: