Matematični Slog

Kazalo:

Matematični Slog
Matematični Slog

Video: Matematični Slog

Video: Matematični Slog
Video: Как я снимаю Slog 2 / 3 совета по экспозиции slog-2 + вопросы и ответы 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Matematični slog

Prvič objavljeno 2. julija 2009; vsebinska revizija sreda, 9. avgust 2017

Esej se začne s taksonomijo glavnih kontekstov, v katerih je pojem „slog“v matematiki že od začetka dvajsetega stoletja nagovarjal. Ti vključujejo uporabo pojma sloga v primerjalnih kulturnih zgodovinah matematike, pri opisovanju nacionalnih stilov in pri opisovanju matematične prakse. Ta gibanja so nato povezana z bolj znano obravnavo sloga v zgodovini in filozofiji naravoslovnih ved, kjer ločimo „lokalni“in „metodološki“slog. Trdi se, da naravni lokus 'sloga' v matematiki spada med 'lokalni' in 'metodološki' slog, ki ga opisujejo zgodovinarji in filozofi znanosti. Nazadnje zadnji del eseja pregleduje nekatere pomembnejše slogovne sloge matematike zaradi Hackinga in Grangerja oz.in preizkuša njihove epistemološke in ontološke posledice.

  • 1. Uvod
  • 2. Slog kot osrednji koncept v primerjalnih kulturnih zgodovinah
  • 3. Nacionalni slogi v matematiki
  • 4. Matematiki o slogu
  • 5. Lokus stila
  • 6. Proti epistemologiji sloga
  • 7. Sklep
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Uvod

Cilj tega eseja je raziskati in analizirati literaturo o slogu v zgodovini in filozofiji matematike. Zlasti problem, kako se lahko filozofsko približamo pojmu 'sloga' v matematiki, bo rešen do konca. Čeprav to ni ena od kanonskih tem v filozofiji matematike, bo predstavitev izkoristila ustrezne razprave o slogu v zgodovini in filozofiji znanosti.

Ko govorimo o matematiki v smislu sloga, je dovolj pogost pojav. Nekdo se srečuje s takimi privlačnostmi za slogovne značilnosti matematike že v začetku sedemnajstega stoletja. Na primer, Bonaventura Cavalieri že leta 1635 primerja svoje indivisibilistične tehnike z arhimedovskim slogom:

V resnici vem, da se vse zgoraj omenjene stvari (Cavalierijeve lastne teoreme, pridobljene z indivisibilističnimi dokazi) lahko zreducirajo na arhimedov slog. (V izvirni latinici: "Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci pose." (Cavalieri 1635, 235)).

Kasneje v stoletju je lažje najti primere. Leibniz (1701, 270–71) na primer piše: „Analiza se ne razlikuje od Arhimedovega sloga, razen izrazov, ki so bolj neposredni in primernejši umetnosti odkrivanja“(francosko: „L'analyse ne diffère du style d "Archimède que dans les expressions, qui sont plus directes et plus complas à l'art d'inventer"). Zanimivo je dejstvo, da so takšni pojavi pred posplošeno uporabo pojma o slogu v slikarstvu, ki izvira šele iz 1660-ih (sporadični pojavi, kot je bilo poudarjeno v Sauerländer 1983, najdemo tudi v šestnajstem stoletju). Že v sedemnajstem stoletju je bila izbirna beseda slikarstvo "manière" (glej Panofsky 1924; angleški prevod (1968, 240)). Tu je nekaj dodatnih primerov iz devetnajstega in dvajsetega stoletja. Chasles v svoji zgodovini Aperçu (1837), ki govori o Mongeu, pravi:

Začel je nov način pisanja in pogovora o tej znanosti. Slog je pravzaprav tako intimno zasidran v duhu metodologije, da mora v korak z njim; tudi, če je to predvideval, mora slog nujno vplivati nanj in na splošni napredek znanosti. (Chasles, 1837, §18, 207)

Drug primer izvira iz Edwardove ocene Dedekindovega pristopa k matematiki:

O Kroneckerjevi sijaji ni mogoče dvomiti. Če bi imel desetino Dedekindine sposobnosti, da jasno oblikuje in izrazi svoje ideje, bi bil njegov prispevek k matematiki morda celo večji kot Dedekindov. Kakor koli že, je njegov sijaj večinoma umrl z njim. Po drugi strani je Dedekindova zapuščina obsegala ne le pomembne teoreme, primere in koncepte, ampak celoten slog matematike, ki je bil navdih za vsako naslednjo generacijo. (Edwards 1980, 20)

Očitno bi lahko zbrali enake navedbe (glej med drugim Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005, Weiss 1939, Wisan 1981), vendar to ne bi bilo zelo zanimivo. Tudi v matematičnem slogu segajo od "posameznih slogov" do "nacionalnih slogov" do "epiztemskih stilov". Potrebno je najprej razumevanje glavnih kontekstov, v katerih se pojavlja privlačnost do „sloga“v matematiki, čeprav ta esej ne bo vseboval veliko razprav o „posameznih slogih“(primeri takšnih bi lahko vključevali sledenje predlogu Enrika Bombieri, "zelo osebni" stili Eulerja, Ramanujana, Riemanna, Serreja in A. Weila).

V mnogih primerih je pritožba na pojem sloga zamišljena kot izposojena iz likovne umetnosti, o nekaterih primerih pa bomo razpravljali takoj. Harwood 1993 trdi, da je bil "koncept sloga zasnovan z namenom razvrščanja kulturnih vzorcev, ki jih opažamo pri študiju likovne umetnosti". Wessely 1991 govori o "prenosu tega pojma [sloga] v zgodovino znanosti" (265). Čeprav to morda drži za dvajseto stoletje (glej tudi Kwa 2012), je treba upoštevati, kot je bilo že poudarjeno, da je treba to trditev obravnavati v sedemnajstem stoletju.

2. Slog kot osrednji koncept v primerjalnih kulturnih zgodovinah

Ne glede na prejšnja opozorila je dejstvo, da so nekatere pomembne teme iz dvajsetega stoletja privlačile kategorijo sloga v matematiki v zvezi z umetnostjo. To še posebej velja za tiste avtorje, ki so bili motivirani s knjigovodstvom na enoten način za kulturno produkcijo človeštva in so tako videli enotnost v procesih znanstvene in umetniške produkcije. V takem kontekstu je Oswald Spengler v upadu Zapada (1919, 1921) poskusil morfologijo svetovne zgodovine in trdil, da so za zgodovino matematike značilne različne slogovne epohe, ki so bile odvisne od kulture, ki jo je ustvarila:

Slog katere koli matematike, ki se pojavlja, je v celoti odvisen od kulture, v kateri je ukoreninjena, od človeštva, na katero razmišlja. Duša lahko prinese svoje prirojene možnosti v znanstveni razvoj, z njimi lahko praktično upravlja, lahko doseže najvišje ravni pri zdravljenju z njimi, vendar jih je precej nemogoča spremeniti. Zamisel o evklidski geometriji se aktualizira v najzgodnejših oblikah klasičnega ornamenta, in o neskončno najmanjšem računu v najzgodnejših oblikah gotske arhitekture, stoletja, preden so se rodili prvi učeni matematiki ustreznih kultur. (Spengler 1919, 59)

Ne le, da obstajajo vzporednice med matematiko in drugimi umetniškimi produkcijami kulture. Sklicujoč se na Goethejevo izjavo, da celotni matematik v sebi čuti lepoto resničnega in na Weierstrasssovo izjavo, da "ki hkrati ni pesnik, ne bo nikoli pravi matematik", je Spengler nadaljeval z opisovanjem matematike kot umetnost:

Matematika je torej umetnost. Kot tak ima svoje sloge in stilska obdobja. Ni, kot si predstavljata laik in filozof (ki je tudi v tem primeru laik), v bistvu nespremenljiv, ampak je kot vsaka umetnost podvržen neopaženim spremembam od epohe do epohe. (Spengler 1919, 62)

Najobsežnejša obravnava, ki temelji na vzporednici med umetnostjo in matematiko in izkorišča pojem sloga kot osrednje kategorije za analizo zgodovine matematike, je Max Maxa. V knjigi, ki je z naslovom Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946), je Bense celotno poglavje (pogl. 2) posvetil razlagi, kako pojem sloga velja za matematiko. Za stil Bense je oblika:

Kajti slog je oblika, bistvena oblika in to obliko označujemo kot "estetsko", če kategorično nadzira smiselno gradivo. (Bense 1946, 118)

Bense je zgodovino umetnosti in zgodovino matematike videl kot vidike zgodovine uma [Geistesgeschichte]. Pravzaprav je "slog dan, kjer koli človeška domišljija in zmožnost izražanja prispeta do ustvarjanja". Bense je bil zagotovo nagnjen k vzporednicam med stili v zgodovini umetnosti in slogi v matematiki (v svoji knjigi je posebej obravnaval barokni in romantični slog), vendar je v nasprotju s Spenglerjem ohranil ločitev narave umetnosti in matematike. Dejansko je priznal, da se slogovne zgodovine matematike ne da zreducirati "na naključje med določenimi matematičnimi formalnimi težnjami in velikimi umetniško-svetovnimi nazori-duhovnimi slogi posameznih epoh, kot so renesansa, klasicizem, barok ali romantizem" (str.132;glej Fleckenstein 1955 in Wisan 1981 za novejše vzporednice med barokom v umetnosti in matematiki iz sedemnajstega stoletja). Omenil je "Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus" Felixa Kleina, da je izpostavil, da lahko nekatere razvojne smeri, za katere je bil značilen Klein, kažejo kot kažejo na sloge v zgodovini razvoja matematike (glej Klein 1924, 91).

Poskusi, kot sta Spenglerjeva in Bensejeva pritožba, gotovo zagovarjajo tiste teoretike, ki bi radi uporabili kategorijo sloga kot orodje za opisovanje in morda upoštevanje kulturnih vzorcev. Vendar bralca, ki pozna matematiko in / ali umetnostno zgodovino, pustijo skeptičnega na račun ponavadi izmišljenih vzporednic, ki naj bi prispevale dokaze. Seveda to ne bo končno zavračanje pristopa ali uporabnosti ustreznosti kategorije sloga v matematiki, ampak bi si želeli, da bi bila njegova uporaba bolj neposredno povezana z vidiki matematične prakse.

Na splošno lahko ločimo dve vrsti teoretiziranja, ki ju lahko povežemo s takimi poskusi. Prva je zgolj opisna ali taksonomska in se zadovolji s prikazovanjem določenih skupnih vzorcev med določenim področjem razmišljanja, na primer matematiko, in drugimi kulturnimi proizvodi določene družbe. Drugi pristop predpostavlja prvi, a tudi poizveduje po vzrokih, ki so posledica prisotnosti določenega sloga mišljenja ali produkcije, in ga običajno poskuša pripisati psihološkim ali sociološkim dejavnikom. V Spenglerju in Benseju sta elementa obeh, čeprav je poudarek bolj na vzporednikih, kot na vzrokih, na katerih temeljijo ali pojasnjujejo vzporednice.

Poskusi razširitve uporabe pojma sloga v umetnosti na druga področja človeških prizadevanj obilujejo v zgodnjem dvajsetem stoletju. Znan primer je Mannheimov sociološki poskus, da bi opredelil sloge mišljenja znotraj različnih družbenih skupin (Mannheim 1928). Medtem ko Mannheim znanstvene misli ni izključil iz področja sociološke analize znanja, se takšne analize ni aktivno lotil. Ludwik Fleck je v nasprotju s tem izvajal sociološko analizo znanosti, v kateri so "miselni stili" igrali osrednjo vlogo. Fleck pa se je osredotočil na medicino (Fleck 1935).

Tu je pomembno poudariti, da je pojem miselnega sloga na splošno dobil dva različna razvoja sodobnih raziskav, ki vplivajo tudi na matematiko. Prvič, tu je pojem, na katerega naleti Fleck. Glede na to, kako velikodušen si želi biti v risanju povezav, bi ta pristop do miselnih stilov lahko povezal s poznejšimi deli Kuhna, Foucaulta in Hackinga (glej spodnjo razpravo o Hackingu). Obstaja pa drugačen način razmišljanja o miselnih slogih, ki običajno spada pod ime kognitivnih slogov. To je področje, ki zanima kognitivne psihologe in matematične vzgojitelje (za pregled psiholoških raziskav na tem področju glej Riding 2000 in Stenberg in Grigorenko 2001). Tu je poudarek na psihološkem sestavu posameznika, ki ima prednost pri določenem kognitivnem slogu bodisi pri učenju, razumevanju ali razmišljanju o matematiki (tj. Obdelavi in organiziranju matematičnih informacij). Staro razlikovanje med vizualnimi in analitičnimi matematiki, ki ga poudarja Poincaré (glej Poincaré 1905), je še vedno del slike, čeprav obstaja veliko različnih modelov in klasifikacij. Za zgodovinski pregled in teoretični predlog, osredotočen na matematiko, glej Borromeo Ferri 2005. Staro razlikovanje med vizualnimi in analitičnimi matematiki, ki ga poudarja Poincaré (glej Poincaré 1905), je še vedno del slike, čeprav obstaja veliko različnih modelov in klasifikacij. Za zgodovinski pregled in teoretični predlog, osredotočen na matematiko, glej Borromeo Ferri 2005. Staro razlikovanje med vizualnimi in analitičnimi matematiki, ki ga poudarja Poincaré (glej Poincaré 1905), je še vedno del slike, čeprav obstaja veliko različnih modelov in klasifikacij. Za zgodovinski pregled in teoretični predlog, osredotočen na matematiko, glej Borromeo Ferri 2005.

Na področju zgodovine in filozofije matematike ni knjižnih zapisov matematičnih slogov, ki pojasnjujejo nastanek nekega sloga s sociološkimi ali psihološkimi kategorijami (čeprav je Netz 1999 teoretikom stila zanimiv kot poskus kognitivne zgodovine pomembnega segmenta grške matematike). To je v nasprotju s knjigami iz zgodovine naravoslovnih znanosti, kot je Harwood 1993, katerih cilj je s sociološkimi argumenti razložiti nastanek miselnega sloga nemške genetske skupnosti. Na takšen račun je najbližji Bieberbachov koncept sloga v matematiki kot odvisnega od psiholoških in rasnih dejavnikov. O njem bodo razpravljali v naslednjem razdelku o nacionalnih slogih.

3. Nacionalni slogi v matematiki

Nekaj manj ambicioznega kot prejšnji poskusi splošne zgodovine človeških kulturnih produkcij ali daljnosežne vzporednice med umetnostjo in matematiko je uporaba pojma sloga kot zgodovinopisne kategorije v zgodovini matematike brez posebnega sklicevanja na umetnost ali drugo človeško kulturne dejavnosti. Če se vrnemo na začetek dvajsetega stoletja, ugotovimo, da so "nacionalni slogi" pogosto omenjeni za kategorizacijo nekaterih značilnosti, ki so značilne za matematično proizvodnjo, za katero se zdi, da spada v kvadratne okvire. V zgodovini znanosti so bili pogosto obravnavani takšni primeri "nacionalnih stilov". Tu se je treba spomniti knjige J. Harwooda Slogi znanstvene misli (1993) in prispevkov Nye 1986, Maienschein 1991 in Elwick 2007. Zadeva za matematiko je nasprotovanje francoščine in nemščine v matematiki, ki jo je preučeval Herbert Mehrtens.

Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) glede slogov opisuje konflikt v matematiki med "formalisti" in "logiki" na eni strani in "intuicionisti" na drugi strani kot bitko med dvema matematičnima pojmoma (glej tudi Grey 2008 za kritično prevzemanje Mehrtensovega pristopa, obenem pa je poudarjal "modernistično" preobrazbo matematike). Hilbert in Poincaré se uporabljata kot paradigmi za vire opozicije, ki so pozneje v dvajsetih letih 20. stoletja pripeljali do temeljne razprave Hilbert-Brouwer (o zgodovini razprave Brouwer-Hilbert glej Mancosu 1998). Mehrtens poudarja tudi, da ta nasprotovanje ni nujno potekalo po nacionalnih poteh, saj je bilo na primer Klein mogoče videti kot blizu Poincaréja. Prav zares,določen internacionalizem v matematiki je prevladoval konec devetnajstega stoletja in zgodnji del dvajsetega stoletja. Vendar je 1. svetovna vojna morala spremeniti razmere in sprožiti močne nacionalistične konflikte. Osrednji igralec "nacionaliziranja" opozicije je bil Pierre Duhem, ki je francoski esprit de finesse nasprotoval nemškim esprit de géométrie:

Začeti z jasnimi načeli… nato pa korak za korakom napredovati, potrpežljivo, mukotrpno, s hitrostjo, ki je v izjemni strogi pravil deduktivne logične discipline: v tem izstopa nemški genij; nemški esprit je v bistvu esprit de géométrie … Nemci so geometri, niso subtilni [fin]; Nemcem popolnoma manjka esprit de finesse. (Duhem 1915, 31–32)

Duhem je svoj model nameraval uporabiti za naravoslovne vede, pa tudi za matematiko. Kleinert 1978 je pokazal, da je knjiga Duhema le del reakcije francoskih znanstvenikov na deklaracijo iz leta 1914 "Aufruf a die Kulturwelt", ki jo je podpisalo 93 uglednih nemških intelektualcev. To je privedlo do tako imenovanega "Krieg der Geister", v katerem je polarizacija med Nemčijo in Francijo dosegla točko, da ni le kritizirala posebne načine uporabe znanosti (recimo prakticiranje znanosti z vojaškimi cilji), ampak je privedla tudi do karakterizacije znanstvenih znanje kot v bistvu določeno z nacionalnimi značilnostmi. Francozi so to strategijo v resnici uporabili pri kritiziranju "La Science Allemande", vendar jo bodo Nemci dvajset let pozneje uporabili z nadomeščanjem "nacionalne" z "rassisch". Najbolj znan primer je "Deutsche Physik", toda tu bo poudarek na "Deutsche Mathematik" (glej tudi Segal 2003 in Peckhaus 2005).

Najbolj skrajna oblika tega ideološkega soočenja, ki je ironično obrnilo vlogo Nemcev in Francozov v primerjavi, ki jo je uporabljal Duhem, najdemo v spisih Ludwiga Bieberbacha, ustanovitelja tako imenovanega "Deutsche Mathematika". Z začetkom odpovedi Landaua z matematične fakultete v Göttingenu je Bieberbach poskušal racionalizirati, zakaj so študenti prisilili Landauovo odpoved. V svojem Kurzreferatu je za svoj govor povzel naslednje cilje:

Moja razmišljanja so namenjena opisu vpliva na lastno znanost, matematiko, ljudi [Volkstum], krvi in rase, na slog ustvarjanja z uporabo več primerov. Za nacionalsocialistično to seveda sploh ni treba dokazati. Gre za vpogled v veliko očitnost. Kajti vsa naša dejanja in misli so zakoreninjene v krvi in rasi in dobiva od njih svojo specifičnost. Da obstajajo takšni slogi, pozna tudi vsak matematik. (Bieberbach, 1934a, 235)

V svojih dveh dokumentih 1934b in 1934c je zatrdil, da je matematika, ki jo je izvajal Landau, tuje nemškemu duhu. Primerjal je Erharda Schmidta in Landaua in trdil, da je v prvem primeru

Sistem je usmerjen proti objektom, konstrukcija je organska. V nasprotju s tem je Landauov slog resničnost tuj, antagonističen do življenja, anorganski. Slog Erharda Schmidta je konkreten, intuitiven in hkrati izpolnjuje vse logične zahteve. (Bieberbach 1934b, 237)

Druga pomembna nasprotovanja, ki jih je Bieberbach predstavil kot "dokaz" za svoje trditve, so bili Gauss proti Cauchy-Goursatu v zapletenih številkah; Poincaré vs. Maxwell v matematični fiziki; Landau proti Schmidtu; in Jacobi proti Kleinu.

Z opiranjem na psihologijo vrst razvpitega marburškega psihologa Jaenscha je nato nasprotoval judovskim / latinskim in nemškim psihološkim vrstam. Meja krivde, tako rekoč, je bila med matematiko, ki jo je vodila intuicija, značilna za nemško matematiko, in formalizmom, ki naj bi ga zagovarjali judovski / latinski matematiki. Očitno je bil Bieberbach prisiljen narediti veliko gerrymanderinga, da bi zagotovil, da se pomembni nemški matematiki niso končali na napačni strani enačbe (poglejte, kaj pravi o Weierstrassu, Eulerju in Hilbertu). Osnovo teh matematičnih razlik je bilo treba najti v rasnih značilnostih:

V svojih razmišljanjih sem poskušal pokazati, da pri matematični dejavnosti obstajajo vprašanja sloga in da zato kri in rasa vplivata na način matematičnega ustvarjanja. (Bieberbach 1934c, 358–359)

Razlog za razpravo o Bieberbachu v tem kontekstu je ta, da njegov primer ponazarja poskus ukoreninjenja pojma sloga v nekaj bolj temeljnega, kot so nacionalne značilnosti, ki se razlagajo v smislu psihologije in rasnih značilnosti. Poleg tega je zanimiv tudi njegov primer, saj njegov pristop k slogu kaže, kako je mogoče takšno teoretiziranje postaviti v službo zasukanega političnega programa.

Na srečo govor o nacionalnih stilih v matematiki nima s seboj vseh posledic, ki so jih našli v Bieberbachu. Ko se zgodovinarji danes sklicujejo na nacionalne sloge, to počnejo brez nacionalizma, ki je motiviral starejše prispevke. Namesto tega se ukvarjajo z opisom, kako "lokalne" kulture igrajo vlogo pri ustavi znanja (glej tudi Larvor 2016). Medtem ko povečana mobilnost in e-poštna komunikacija otežujeta uspeh nacionalnih slogov, bi lahko obstoj takšnega sloga pripomogli tudi posebni politični pogoji. Tak primer je na primer ruski slog v algebrski geometriji in teoriji reprezentacije. Kot je avtor Mac Macherher poudaril avtor,ta primer nacionalnega sloga bi si zaslužil obsežnejšo preiskavo in zanimivo bi bilo proučiti, kako je padec Sovjetske zveze vplival na ta slog. Nasprotno pa je primer nacionalnega sloga, ki je bil podrobno preučen, italijanski algebrski geometrijski slog. Ta primer so pozorno preučevali številni zgodovinarji matematike, zlasti Aldo Brigaglia (glej tudi Casnati in sod. 2016). Na primer v zadnjem članku Brigaglia piše:

Poleg tega italijanska šola ni bila izključno nacionalna "šola", temveč sta delovni slog in metodologija, ki temeljita predvsem v Italiji, vendar s predstavniki, ki jih najdemo drugje po svetu. (Brigaglia 2001, 189)

Citati zastraševanja izpostavljajo problem poskušanja razlike med "šolami", "slogi", "metodologijami" itd. (Glej Rowe 2003) Ni bilo nobenega poskusa analitično razpravljati o pojmu "nacionalni slog" za zgodovino matematike - vsekakor nič primerljivega s tisto, kar Harwood 1993 počne v prvem poglavju svoje knjige. Situacijo zaplete tudi dejstvo, da različni avtorji uporabljajo različne terminologije, medtem ko se morda sklicujejo na isto vprašanje. Na primer, v zadnjem času se veliko govori o „slikah matematike“(Corry 2004a, 2004b, Bottazzini in Dahan Dalmedico, 2001). V zadnjem delu se vrnemo k razmisleku o teh različnih uporabnih slogih v zgodovinopisni literaturi o matematiki in o njihovem primerjanju s tistimi iz naravoslovnih ved.

4. Matematiki o slogu

Doslej se je razprava osredotočila na slog kot orodje za filozofe kulture in zgodovinarje matematike. Toda matematiki prepoznajo obstoj slogov v matematiki? Še enkrat ne bi bilo težko dati osamljenih citatov, kjer bi matematiki lahko govorili o slogu starodavnih ali abstraktnem algebrskem slogu ali kategoričnem slogu. V logičnem delu najdemo pojavnost sloga v takšnih poimenovanjih, kot je „konstruktivna matematika v slogu Bishop“. Težko najdemo sistematične razprave matematikov o pojmu sloga. Primer Bieberbacha je bil omenjen zgoraj, vendar tam ni bilo podrobno razpravljanih primerov, ki jih je navedel kot dokaz razlik v slogu,deloma zato, ker jih je tako zasukala njegova želja, da bi podprla svoje ideološko stališče, da obstajajo razlogi za dvom, da bi človek s pomočjo svojih študij primerov veliko pridobil.

Zanimiv prispevek je članek Clauda Chevalleyja iz leta 1935 z naslovom "Variations du style mathématique". Chevalley je obstoj sloga samoumeven. Začne se tako:

Matematični slog, tako kot literarni slog, je pod pomembnimi nihanji pri prehodu iz ene zgodovinske dobe v drugo. Brez dvoma ima vsak avtor individualni slog; vendar je v vsaki zgodovinski dobi mogoče opaziti tudi splošno težnjo, ki je precej prepoznavna. Ta slog pod vplivom močnih matematičnih osebnosti je vsake toliko časa podvržen revolucijam, ki spodbudijo pisanje in s tem misli v naslednjih obdobjih. (Chevalley 1935, 375)

Vendar Chevalley ni poskušal razmišljati o pojmu, ki je tu v tem slogu. Namesto tega je bil pomemben primer, da bi s pomembnim primerom pokazal značilnosti prehoda med dvema slogoma matematike, ki je zaznamoval prehod iz matematike iz devetnajstega stoletja v pristope dvajsetega stoletja. Prvi slog, ki ga je opisal Chevalley, je Weierstrassian slog, "slog ε". Svoj 'razlog za d'être' ugotavlja v potrebi po tem, da je treba preračunati račun, ki se oddaljuje od nejasnosti, povezanih s pojmi, kot so "neskončno majhna količina" itd. Razvoj analize v devetnajstem stoletju (analitične funkcije, serija Fourier, Gauss " teorije površin, Lagrangijeve enačbe v mehaniki itd.) so pripeljale do kritične analize

algebrsko-analitičnega okvira, pred katerim so se znašli; in iz te kritične preučitve naj bi nastal popolnoma nov matematični slog. (Chevalley 1935, 377)

Chevalley je nadaljeval, da je Weierstrass kot najpomembnejši element te revolucije odkril odkritje neprekinjene nikomur različne funkcije. Ker je Weierstrasssovo funkcijo mogoče dati v smislu Fourierove širitve s povsem običajnim videzom, je postalo očitno, da so številne demonstracije v matematiki prevzele pogoje zaprtja, ki jih je treba strogo ugotoviti. Koncept meje, kot ga je opredelil Weierstrass, je bil močno orodje, ki je omogočalo take preiskave. Rekonstrukcija analize, ki sta jo opravila Weierstrass in njegovi privrženci, se je izkazala za ne le temeljno uspešno, ampak tudi matematično plodno. Evo, kako blizu je Chevalley opisal ta slog:

Uporaba matematikov te šole v zvezi z definicijo meje zaradi Weierstrassove je mogoče opaziti v zunanjem videzu njihovih spisov. Najprej pri intenzivni in včasih nezmerni uporabi “ε”, opremljenega z različnimi kazalci (to je razlog, da smo zgoraj govorili o slogu “ε”). Drugič, pri postopni nadomestitvi enakosti neenakosti v demonstracijah in pri rezultatih (približni teoremi; zgornji mejni teoremi; teorija povečanja itd.). Ta zadnji vidik nas bo zasedel, saj nas bo razumel razloge, ki so silili k premagovanju weierstrassijevega načina razmišljanja. Čeprav je enakost smiselna za matematična bitja, je neenakost uporabna le za predmete, opremljene z vrstnim redom,praktično samo na realnih številkah. Tako smo vodili, da bi zajeli vso analizo, da bi jo v celoti rekonstruirali iz resničnih števil in iz funkcij realnih števil. (Chevalley 1935, 378–379)

Iz tega pristopa bi lahko zgradili tudi sistem kompleksnih števil kot par relejev in točke presledkov v n dimenzijah kot n -številk real. To je dalo vtis, da je matematiko mogoče poenotiti s konstruktivnimi definicijami, ki izhajajo iz resničnih števil. Vendar pa je šlo drugače in Chevalley poskuša razložiti razloge, zaradi katerih se je ta "konstruktivni" pristop odpovedal aksiomatičnemu pristopu. Različne algebrske teorije, na primer teorija skupin, so povzročile odnose, ki jih ni bilo mogoče zgraditi, izhajajoč iz resničnih števil. Poleg tega je bila konstruktivna definicija kompleksnih števil enakovredna določitvi poljubnega referenčnega sistema in s tem obdarovanje lastnosti z lastnostmi, ki so skrivale njihovo resnično naravo. Po drugi strani je bil poznan Hilbertova aksiomatizacija geometrije, kičeprav strog, ni imel značaja umetnosti konstruktivnih teorij. V tem primeru entitete niso konstruirane, temveč definirane skozi aksiome. Ta pristop se je razvil, da bi vplival na samo analizo. Chevalley je omenil teorijo o Lebesguejevem integralu, ki jo je dobil tako, da je najprej določil, katere lastnosti mora izpolnjevati integral, nato pa pokazal, da obstaja domen predmetov, ki izpolnjujejo te lastnosti. Ista ideja je Frechet uporabil tako, da je določil lastnosti, ki naj bi označevale delovanje meje, s čimer je prišel do splošne teorije topoloških prostorov. Še en primer, ki ga je omenil Chevalley, je aksiomatizacija teorije polja, ki jo je Steinitz dal leta 1910. Chevalley je zaključil, daV tem primeru entitete niso konstruirane, temveč definirane skozi aksiome. Ta pristop se je razvil, da bi vplival na samo analizo. Chevalley je omenil teorijo o Lebesguejevem integralu, ki jo je dobil s tem, da je najprej določil, katere lastnosti mora izpolnjevati integral, nato pa pokazal, da obstaja domen predmetov, ki izpolnjujejo te lastnosti. Ista ideja je Frechet uporabil tako, da je določil lastnosti, ki naj bi označevale delovanje meje, s čimer je prišel do splošne teorije topoloških prostorov. Še en primer, ki ga je omenil Chevalley, je aksiomatizacija teorije polja, ki jo je Steinitz dal leta 1910. Chevalley je zaključil, daV tem primeru entitete niso konstruirane, temveč definirane skozi aksiome. Ta pristop se je razvil, da bi vplival na samo analizo. Chevalley je omenil teorijo o Lebesguejevem integralu, ki jo je dobil tako, da je najprej določil, katere lastnosti mora izpolnjevati integral, nato pa pokazal, da obstaja domen predmetov, ki izpolnjujejo te lastnosti. Ista ideja je Frechet uporabil tako, da je določil lastnosti, ki naj bi označevale delovanje meje, s čimer je prišel do splošne teorije topoloških prostorov. Še en primer, ki ga je omenil Chevalley, je aksiomatizacija teorije polja, ki jo je Steinitz dal leta 1910. Chevalley je zaključil, daChevalley je omenil teorijo o Lebesguejevem integralu, ki jo je dobil tako, da je najprej določil, katere lastnosti mora izpolnjevati integral, nato pa pokazal, da obstaja domen predmetov, ki izpolnjujejo te lastnosti. Ista ideja je Frechet uporabil tako, da je določil lastnosti, ki naj bi označevale delovanje meje, s čimer je prišel do splošne teorije topoloških prostorov. Še en primer, ki ga je omenil Chevalley, je aksiomatizacija teorije polja, ki jo je Steinitz dal leta 1910. Chevalley je zaključil, daChevalley je omenil teorijo o Lebesguejevem integralu, ki jo je dobil tako, da je najprej določil, katere lastnosti mora izpolnjevati integral, nato pa pokazal, da obstaja domen predmetov, ki izpolnjujejo te lastnosti. Ista ideja je Frechet uporabil tako, da je določil lastnosti, ki naj bi označevale delovanje meje, s čimer je prišel do splošne teorije topoloških prostorov. Še en primer, ki ga je omenil Chevalley, je aksiomatizacija teorije polja, ki jo je Steinitz dal leta 1910. Chevalley je zaključil, daŠe en primer, ki ga je omenil Chevalley, je aksiomatizacija teorije polja, ki jo je Steinitz dal leta 1910. Chevalley je zaključil, daŠe en primer, ki ga je omenil Chevalley, je aksiomatizacija teorije polja, ki jo je Steinitz dal leta 1910. Chevalley je zaključil, da

Aksiomatizacija teorij je zelo globoko spremenila slog sodobnih matematičnih spisov. Najprej je treba pri vsakem dobljenem rezultatu ugotoviti, katere so nujno potrebne lastnosti, da ga lahko ugotovimo. Nekdo se bo resno lotil problema minimalne predstavitve takšnega rezultata, zato bo treba natančno določiti, na katerem področju matematike deluje tako, da zavrača metode, ki so tej tuji domeni tuje, saj so slednje verjetno prinaša uvedbo neuporabnih hipotez. (Chevalley 1935, 382)

Poleg tega sestava domen, ki so popolnoma primerne za nekatere operacije, omogoča določitev splošnih izrek o obravnavanih objektih. Na ta način je mogoče algebarično opisati postopke neskončno najmanjše analize, vendar brez nobene naive, ki je bila značilna za prejšnje algebrske pristope.

Članek Chevalley je dragocen vir sodobnega matematika na temo sloga. Na silo pokaže razliko med aritmetizacijo analiz poznega devetnajstega stoletja in aksiomatsko-algebrskim pristopom zgodnjega dvajsetega stoletja. Vendar ima svoje omejitve. Pojem sloga ni tematiziran kot tak in ni jasno, da bi značilnosti, ki so bile dodane razlagi posameznih zgodovinskih dogodkov, lahko splošna orodja za analizo drugih prehodov v matematičnem slogu. Mogoče pa bi to moralo biti, če sploh, naloga filozofa matematike (za natančno analizo Chevalleyjevega pristopa k slogu glej Rabouin 2017).

5. Lokus stila

V knjigi z naslovom "Introducción al estilo matematico" (1971) je španski filozof Javier de Lorenzo poskušal napisati zgodovino matematike (priznano delno) v smislu sloga. Čeprav se je do leta 1971 Grangerjevo delo, o katerem bo govorilo v 5. poglavju, že pojavilo, se ga de Lorenzo ni zavedal in edini vir o slogu, ki ga uporablja, je Chevalleyev članek. Dejansko je ta knjiga le podaljšek Chevalleyjeve študije, ki vključuje veliko več "stilov", ki so se pojavili v zgodovini matematike. Seznam matematičnih stilov, ki jih je preučeval de Lorenzo, je naslednji:

  • Geometrični slog;
  • Poetični slog;
  • Cossic slog;
  • Kartezijansko-algebrski slog;
  • Slog nedeljivosti;
  • Operativni slog;
  • Epsilon slog;
  • Sintetični vs analitični slogi v geometriji;
  • Aksiomatični slog;
  • Formalni slog.

Splošna postavitev spominja na velik pristop Chevalleyja in v knjigi de Lorenza bi zaman iskali, kakšen slog je. Res je, da obstaja nekaj zanimivih opazovanj o vlogi jezika pri določanju sloga, vendar manjka splošna filozofska analiza. Kljub temu je treba poudariti pomembno obravnavo obravnave Chevalleyja in de Lorenza, ki se zdi pomembna značilnost uporabe „sloga“v matematiki.

V svojem prispevku "De la catégorie de style en histoire des Sciences" (Gayon 1996) in v poznejšem Gayonu 1999 Jean Gayon v zgodovinopisju znanosti predstavi različne navade "sloga", ki spadajo med dva tabora (na nek način sledi Hacking 1992 tukaj). Najprej je treba uporabiti "znanstveni slog" tistih, ki sledijo "lokalni zgodovini znanosti". Običajno se tovrstna analiza osredotoča na „lokalne skupine ali šole“ali na „države“. Na primer, ta vrsta zgodovine razkriva univerzalno sestavino znanja in poudarja težave pri prevajanju poskusov iz ene nastavitve v drugo. Kaže, da so te težave odvisne od "lokalnih" tradicij, ki vključujejo specifično tehnično in teoretsko znanje, ki je "temeljno za vzpostavitev, uresničitev,"in analiziranje rezultatov teh poskusov "(Corry 2004b) Drugič, obstaja uporaba" znanstvenega sloga ", ki je prikazan v delih, kot je Crombiejev 1994" Slogi znanstvenega razmišljanja v evropski tradiciji ". Crombie našteva naslednje znanstvene sloge:

  1. postulacija v aksiomatičnih matematičnih znanostih
  2. eksperimentalno raziskovanje in merjenje zapletenih zaznavnih razmerij
  3. hipotetično modeliranje
  4. naročanje sorte s primerjavo in taksonomijo
  5. statistična analiza prebivalstva in
  6. zgodovinska izpeljava genetskega razvoja (citirano iz Hacking 1996, 65)

Gayon pripomni, da bi lahko slednji pojem "slog" nadomestil "metoda" in da "tukaj obravnavani slogi nimajo ničesar skupnega z lokalnimi slogi". Opozarja tudi, da gre za lokalne sloge, da so skupine, ki delujejo kot sociološka podpora takšnim analizam, bodisi "raziskovalne skupine" bodisi "države". V novejši zgodovini eksperimentalnih ved je bilo veliko poudarka na takih lokalnih dejavnikih (glej, na primer, Gavroglu 1990 za "sloge razmišljanja" dveh nizkotemperaturnih laboratorijev, Dewarja (London) in Kamerlingh Onnesa (Leiden)).

Zgodovinarji matematike zdaj poskušajo uporabiti takšne zgodovinopisne pristope tudi pri čisti matematiki. Nedavni poskus v tej smeri je delo Eppleja v smislu "epistemičnih konfiguracij", kot je njegov nedavni članek o zgodnjem delu Aleksandra in Reidemeistra v teoriji vozlov (Epple 2004; glej tudi Rowe 2003 in 2004, in Epple 2011). Podporne skupine za takšne raziskave se ne imenujejo "šole", ampak "matematične tradicije" ali "matematične kulture".

Kaj pa "metodološki" pojem stila à la Crombie? So zgodovinarji matematike to veliko izkoristili? Razen številnih obravnav prvega sloga (aksiomatska metoda) na tem področju ni veliko, zanimiv zgodovinski prispevek pa je Goldsteinovo delo Frenicle de Bessy (2001). Trdi, da je imela čista matematika, ki jo izvaja Frenicle de Bessy, veliko skupnega z bakonovskim slogom eksperimentalne znanosti. Mogoče bi tukaj morali omeniti, da je eksperimentalna matematika zdaj cvetoče polje, ki bo kmalu našlo zgodovinarja (glej Baker 2008 za filozofski prikaz eksperimentalne matematike in Sørensen 2016 za analizo v smislu matematičnih kultur). To je filozofijo veliko zanimanje, saj posega v vprašanja matematične metode. Težavo lahko preprosto postavimo na naslednji način: poleg tega, kar Crombie navaja kot metodološki slog (a) [aksiomatik], katere druge sloge zasledujejo v matematični praksi? Corfield 2003 se je tega problema dotaknil v uvodu svoje knjige "Na poti k filozofiji" prave "matematike", ko omenja zgornji seznam Crombie, pravi:

Heking pozdravlja Crombiejevo vključitev (a) kot "obnavljanja matematike znanosti" (Hacking 1996) po ločitvi logičnih pozitivistov in število njenih slogov razširi na dva, tako da prizna algoritemski slog indijske in arabske matematike. Zadovoljen sem s to trditvijo, še posebej, če preprečuje, da bi matematiko obravnavali kot dejavnost, ki je popolnoma drugačna od drugih. Dejansko se matematiki ukvarjajo tudi s stili (b) (glej poglavje 3), (c) in (d) [7] in po vzoru (e) matematiki trenutno analizirajo statistiko ničel Rietonove funkcije zet. (Corfield 2003, 19)

V opombi 7 Corfield omenja komentar Johna Thompsona o tem, da je razvrščanje končnih preprostih skupin vaja taksonomije.

Cilj tega eseja ni natančno obravnavati ogromnega števila vprašanj, ki izhajajo iz prejšnjih citatov. Vendar je treba poudariti, da ta vprašanja predstavljajo sveže in spodbudno ozemlje za opisno epistemologijo matematike in da je bilo v tej smeri že opravljeno nekaj dela (glej Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

Na koncu, kako sestaviti „lokalne“in „metodološke“sloge s tistim, kar najdemo v Chevalleyju in de Lorenzu? V primeru matematike obstajajo dobri dokazi, da najbolj naraven lokus za „sloge“spada med te dve kategoriji. V bistvu matematični slogi presegajo vsako lokalno skupnost, opredeljeno v enostavnejših socioloških pogledih (državljanstvo, neposredno članstvo v šoli itd.) In so takšni, da lahko podporno skupino zaznamuje le poseben način preiskovanja. Po drugi strani pa metoda ni tako univerzalna, da bi jo bilo mogoče prepoznati kot eno od šestih metod, ki jih je opisal Crombie, ali na razširjenem seznamu, ki ga je navedel Hacking. Tu je nekaj možnih primerov, pri katerih imena, priložena vsakemu stališču, ne smejo zavajati bralca, da misli, da gre zgolj za "posamezne" sloge.

  1. Neposredne in posredne tehnike v geometriji (Cavalieri in Torricelli vs. Archimedes)
  2. Algebraic vs. geometrijski pristopi v analizi v sedemnajstem in osemnajstem stoletju (Euler vs. McLaurin)
  3. Geometrijski nasproti analitični pristopi v kompleksni analizi v devetnajstem stoletju (Riemann vs. Weierstrass)
  4. Konceptualni in računski pristopi v teoriji algebričnih števil (Dedekind vs. Kronecker)
  5. strukturni in intuitivni slogi v algebrski geometriji (nemška šola v primerjavi z italijansko šolo)

Seveda bi lahko šlo le za to, da tudi v zgodovini in filozofiji znanosti obstajajo "vmesni" nivoji sloga, kot so opisani tukaj (en primer, ki pride na misel, je "newtonov slog" v matematični fiziki), vendar Dejstvo, da jih Jean Gayon ni zaznal kot osrednjega, kaže na dejstvo, da so razmere v zgodovini in filozofiji matematike precej drugačne, saj so ti vmesni slogi podrobneje razpravljali in ustrezajo analiziranim slogom avtorja Chevalley in de Lorenzo. Poleg tega razprave o lokalnih matematičnih kulturah običajno ne potekajo brez pojma sloga.

6. Proti epistemologiji sloga

Problem epistemologije sloga je mogoče približno opisati na naslednji način. Ali so slogovni elementi, ki so prisotni v matematičnem diskurzu, brez kognitivne vrednosti in so tako samo del barv matematičnega diskurza ali jih je mogoče razumeti kot tesneje povezane z njegovo kognitivno vsebino? Pojem barvanja tukaj izhaja iz Fregeja, ki je v "Misli" razlikoval med resničnim stanjem izjave in tistimi vidiki izjave, ki lahko dajejo informacije o stanju duha govorca ali poslušalca, vendar ne prispevajo k njegovim pogojem resnice. V naravnem jeziku so tipični elementi barvanja izraz obžalovanja, kot je "na žalost". "Na žalost sneži" ima enake pogoje kot "sneži" in "na žalost" je v prvem stavku le del barvanja. Jacques in Monique Dubucs sta to razlikovanje povzela kot dokaze v "La couleur des preuves" (Dubucs in Dubucs 1994), kjer se ukvarjajo s problemom "retorike matematike", kar je problem, ki je precej podoben problemu analize sloga. Če tradicionalno retoriko poimenujemo kot "preostanek", saj upošteva le pojave nekognitivnega pomena, kot so ornamentacija itd. Matematičnega besedila, vendar predmet (kot je vsebina demonstracije) pušča nedotaknjen, so raziskali možnosti za ambicioznejša »retorika matematike«.saj upošteva le pojave nekognitivnega pomena, kot so ornamentacija itd. matematičnega besedila, vendar predmet (kot je vsebina demonstracije) pusti nedotaknjen, so raziskali možnosti za bolj ambiciozno "retoriko matematike".saj upošteva le pojave nekognitivnega pomena, kot so ornamentacija itd. matematičnega besedila, vendar predmet (kot je vsebina demonstracije) pusti nedotaknjen, so raziskali možnosti za bolj ambiciozno "retoriko matematike".

Tako lahko začnemo artikulirati prvi položaj, ki ga je mogoče zagovarjati glede na epistemološki pomen sloga. Gre za položaj, ki slogu zanika kakršno koli bistveno kognitivno vlogo in ga zreducira na pojav subjektivnega barvanja. Glede na to stališče bi slogovne variacije razkrile le površinske razlike v izražanju, ki vsebino diskurza puščajo nedotaknjene.

V literaturi smo zagovarjali še dve bolj ambiciozni stanji o kognitivni vsebini sloga. Prvi se zdi združljiv z obliko platonizma ali realizma v matematiki, drugi pa mu zagotovo nasprotuje. Navaja se dva glavna predloga, ki sta na voljo v literaturi, in sicer predloga Granger 1968 in Hacking 1992, ki bosta zdaj na kratko opisana.

Grangerjev esej filozofije sloga (Essai d'une philosophie du style 1968) je najbolj sistematičen in izdelan napor za razvoj teorije sloga za matematiko. Grangerjev program je tako ambiciozen in bogat, da bi za temeljito razpravo o strukturi njegove knjige in njegovih podrobnih analizah potrebovali prispevek sam. Zaradi omejenosti prostora je cilj tukaj dati le grobo predstavo o tem, kaj projekt sestavlja in pokazati, da je epistemološka vloga sloga, ki ga zagovarja Ganger, združljiva z realizmom o matematičnih entitetah ali strukturah.

Grangerjev cilj je zagotoviti analizo „znanstvene prakse“. Pravo opredeljuje kot "dejavnost, obravnavano v njenem kompleksnem kontekstu, in zlasti družbene razmere, ki ji dajejo pomen v dejansko doživetem svetu (vécu)" (1968, 6). Znanost je opredelil kot "konstrukcijo abstraktnih modelov, doslednih in učinkovitih, pojavov" (13). Tako ima znanstvena praksa tako „univerzalne“ali „splošne“sestavine kot „posamezne“komponente. Analiza znanstvene prakse zahteva vsaj tri vrste raziskav:

  1. Obstaja veliko načinov strukturiranja določenega pojava s pomočjo modelov; in iste modele je mogoče uporabiti za različne pojave. Poleg tega znanstvene konstrukcije, vključno z matematičnimi, razkrivajo določeno "strukturno enotnost". Oba vidika bosta tema slogovne analize.
  2. Druga preiskava zadeva „znanstveno karakiologijo“, ki je bila namenjena preučevanju psiholoških komponent, ki so pomembne pri individualizaciji znanstvene prakse;
  3. Tretja preiskava se nanaša na preučevanje "nepredvidljivih" znanstvenih stvaritev, ki se vedno nahajajo v prostoru in času.

Vsi trije vidiki bi bili potrebni za analizo „znanstvene prakse“, vendar se v svoji knjigi Granger osredotoča le na to. Kje prihajata slog in matematika? Matematika spada kot eno od področij raziskovanja, ki se lahko podvrže slogovni analizi znanosti (Grangerjeva knjiga ponuja ne le matematiko, ampak tudi jezikoslovje in družbene vede). Kaj pa slog? Vsaka družbena praksa, po Grangerjevem mnenju, se lahko preučuje z vidika sloga. To vključuje politično delovanje, umetniško ustvarjanje in znanstveno dejavnost. Tako obstaja splošna stilistika, ki bo poskušala zajeti najbolj splošne slogovne značilnosti takšnih dejavnosti, nato pa bolj "lokalne" slogovne analize, kot je tista, ki jo je Granger posredoval za znanstvene dejavnosti. Očitno je,tu se sklicuje koncept sloga, ki je veliko bolj zajetni od tistega, ki je običajno povezan s tem pojmom, in dejansko takšen, ki bi na področjih, kot sta politična dejavnost ali znanstvena dejavnost, uporabil ne le metaforično, ampak bi se "povezal" s temi dejavnostmi.

Grangerjeva analiza matematičnega sloga zajema poglavja 2, 3 in 4 njegove knjige. Poglavje 2 obravnava evklidski slog in pojem veličine; poglavje 3 z nasprotovanjem med »kartezijanskim slogom in desargujskim slogom« (o kartezijanskem slogu glej tudi Rabouin 2017); končno, poglavje 4 zadeva „rojstvo vektorskega sloga“. Vse te analize se osredotočajo na koncept "geometrične veličine".

Človek dobi dober občutek, po čem gre Granger, če preprosto pogleda primer, ki ga opisuje v svojem predgovoru. To je primer za zapletene številke.

Granger je po Grangerjevem načinu vsiljevanje strukture izkušnji. Tu je treba vzeti izkušnje, ki presegajo empirične izkušnje. Na splošno izkušnja, ki jo matematik nagovarja, ni empirična. Iz te izkušnje izhajajo "intuitivne" komponente, ki so strukturirane v matematični dejavnosti. Ne smemo pa razmišljati, da obstaja "intuicija", na katero, kot na zunaj, potem uporabimo obrazec. Matematična dejavnost hkrati ustvarja in vsebina v ozadju določene izkušnje.

Tu se nam zdi slog na eni strani kot način vnašanja pojmov teorije, njihovega povezovanja, poenotenja; na drugi strani pa kot način razmejitve, kaj intuicija prispeva k določitvi teh konceptov. (Granger 1968, 20)

Kot primer Granger navaja tri načine vnosa kompleksnih števil; vsi trije načini upoštevajo strukturne lastnosti, ki so značilne za zadevno algebrsko strukturo. Prvi način uvaja kompleksna števila s trigonometrično reprezentacijo z uporabo kotov in smeri. Druga jih predstavlja kot operaterje, ki se uporabljajo za vektorje. V prvem primeru je kompleksno število definirano kot par resničnih števil in aditivne lastnosti so takoj. Nasprotno pa so v drugem primeru multiplikativne lastnosti takoj zasežene. Toda, in to je tretji način, lahko kompleksne številke vnesemo tudi z navadnimi kvadratnimi matricami. To vodi k temu, da so kompleksna števila videti kot sistem polinomov v x modulu x 2 +1.

Ti različni načini dojemanja koncepta, njegove vključitve v operativni sistem in povezovanja z njim nekaterih intuitivnih posledic, od katerih bo treba razmejiti natančen obseg, pomenijo tisto, čemur pravimo vidiki sloga. Očitno je, da na to ne vpliva strukturna vsebina pojma, da koncept qua matematični predmet skozi te učinke sloga obstaja enako. Vendar ni vedno tako in naleteli bomo na slogovna stališča, ki zahtevajo resnične konceptualne variacije. Vsekakor se v vsakem primeru spremeni orientacija koncepta na to ali ono uporabo, na to ali ono razširitev. Tako ima slog vlogo, ki je morda bistvenega pomena tako glede dialektike notranjega razvoja matematike kot glede njegovega odnosa do svetov konkretnejših predmetov. (Granger 1968, 21).

Tako so v Grangerjevi teoriji matematični slogi načini predstavitve ali načini dojemanja matematičnih struktur. Vsaj v nekaterih primerih ti učinki sloga ne prizadenejo matematičnih predmetov ali struktur, čeprav vplivajo na kognitivni način, v katerem so zajeti, torej vplivajo na to, kako bi jih lahko podaljšali, uporabili na različnih področjih itd. Čeprav bi bil Granger morda simpatiziran s kancijanizmom brez transcendentalnega subjekta in s tem o slogu razmišlja kot o konstitutivnem, zdi se, da je njegov položaj vsaj združljiv z obliko realizma o matematičnih entitetah. O tretjem in zadnjem epistemološkem stališču, o katerem bo razpravljal Ian Hacking, ni videti tako.

Kot smo že poudarili, je Hacking po Crombieju predlagal preučevanje pojma sloga kot "novega analitičnega orodja" za zgodovino in filozofijo znanosti. Njegova prednost je govoriti o slogih sklepanja (glej tudi Mancosu 2005), v nasprotju s Fleckovimi miselnimi slogi ali Crombiejevim slogom razmišljanja (njegova najnovejša prednost je govoriti o „Slogi znanstvenega razmišljanja in početja“; za zadnjo razpravo o Heckingjev program v času pisanja glej Kusch 2010 in posebno številko Študij zgodovine in filozofije znanosti (številka 43, 2012), vključno s Hacking 2012 in številnimi drugimi prispevki). Razlog je v tem, da se želi Hacking oddaljiti od psihološke ravni sklepanja in sodelovati z bolj 'objektivno' stopnjo argumentov. Svoj projekt izrecno definira kot nadaljevanje Kantovega projekta, katerega cilj je razložiti, kako je mogoča objektivnost. In v resnici Hacking pozicija zavrača realizem in prevzema močno konstitutivno vlogo za slog. Po Hackingu so slogi definirani z nizom potrebnih pogojev (pametno ne poskuša zagotoviti zadostnih pogojev):

Pred razvojem sloga sklepanja ni stavkov, ki bi bili kandidati za resnico, niti neodvisno opredeljenih predmetov, ki bi jih bilo treba popraviti. Vsak slog sklepanja predstavlja veliko novosti, vključno z novimi vrstami: Predmeti; dokazi; stavki, novi načini, kako biti kandidat za resnico ali neresnico; zakoni ali kakršni koli načini; možnosti. Občasno je treba opaziti tudi nove vrste razvrstitve in nove razlage. (Hakiranje 1992, 11)

Jasno mora biti, da ta pojem sloga, tako kot Grangerjev, pripisuje zelo pomembno vlogo slogu kot utemeljitev objektivnosti celotnega področja znanstvene dejavnosti, vendar da je za razliko od Grangerjevega onntološko zavezan zavračanju realizma. Slogi so bistvenega pomena pri sestavljanju matematičnih predmetov in slednji nimajo oblike neodvisnosti od njih. Hacking ni obširno razpravljal o študijah primerov iz zgodovine matematike, čeprav se v enem od njegovih prispevkov (Hacking 1995) ukvarja s štirimi konstrukcionističnimi podobami matematike (beseda "konstrukcionizem" si je izposodil Nelson Goodman) in pokaže, kako dobro se ujemajo z njegovo sliko o 'slogi razmišljanja'. Prav tako je jasno, da močneje zavzeti realni položaji ne bodo dobro ustrezali Hackingovemu mnenju o slogih sklepanja.

Tako so bili obravnavani trije možni modeli za izražanje epistemološke vloge "slogov" v matematiki. Zagotovo je veliko več možnih stališč, ki čakajo na artikulacijo, vendar je to doslej vse, kar je mogoče najti v literaturi.

7. Sklep

Kot je bilo poudarjeno na začetku, tema matematičnega sloga ni eno izmed kanoničnih področij raziskovanja filozofije matematike. Dejansko je ta vnos prvi poskus, da bi v en prispevek vključili več prispevkov k tej temi. Kljub temu bi moralo biti že jasno, da je razmišljanje o matematičnem slogu prisotno v sodobni filozofski dejavnosti in ga je treba jemati resno. A delo se šele začne. Potrebujemo veliko več študij primerov matematičnih slogov in jasnejšo artikulacijo epistemoloških in ontoloških posledic, ki jih prinašajo različne konceptualizacije sloga. Poleg tega bi radi videli boljše povezovanje vsega tega dela z delom o kognitivnih slogih, ki ga najdemo v kognitivni psihologiji in matematični vzgoji. Končno, standardni filozofski kostanj oz.na primer odnos oblike in vsebine do sloga ter odnos sloga do normativnosti in namernosti bi bilo treba obravnavati (za zelo dobro razpravo o teh temah v estetiki glej Meskin 2005).

Bibliografija

  • Baker, A., 2008, "Eksperimentalna matematika", Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Bense, M., 1946, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissenschaften, Hamburg: Claassen & Goverts. Zdaj v Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (glej pogl. 2 "Stilgeschichte in der Mathematik").
  • –––, 1949, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik in der Kunst, Hamburg: Claassen & Goverts. Zdaj v Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (glej pogl. 1 "Zum Begriff des Stils").
  • Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235–237.
  • –––, 1934b, „Persönlichkeitsstruktur und mathematisches Schaffen“, Unterrichtblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
  • –––, 1934c, „Stilarten mathematischen Schaffens“, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
  • Borromeo Ferri, R., 2005, Mathematische Denkstile. Ergebnisse einer empirische Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
  • Bottazzini, U., 2001, "Od Pariza do Berlina: kontrastirane slike matematike devetnajstega stoletja", U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (ur.), 2001, str. 31–47.
  • Bottazzini, U. in Dahan Dalmedico, A., (ur.), 2001, Spreminjanje slik matematike, London: Routledge.
  • Brigaglia, A., 2001, "Ustvarjanje in obstojnost nacionalnih šol: primer italijanske algebarske geometrije", v U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (ur.), 2001, str. 187–206.
  • Casnati, G. in sod. (ur.), 2016, Od klasične do sodobne algebraične geometrije. Mastership and Legacy Corrado Segre, Cham: Birkhäuser.
  • Cavalieri, B., 1635, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Bologna: Clemente Ferroni.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu Historique sur l'Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie, Bruxelles: M. Hayez.
  • Chevalley, C., 1935, “Variations du style mathématique”, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
  • Cohen, IB, 1992, "Principia, univerzalna gravitacija in" newtonski slog "v zvezi z newtonsko revolucijo v znanosti", v Bechler, Z., (ur.), Contemporary Newtonian Research, Dordrecht: Reidel, pp. 21–108.
  • Corfield, D., 2003, Na poti k filozofiji 'prave' matematike, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Corry, L., 2004a, Moderna algebra in dvig matematične strukture, Basel: Birkhäuser; 2. izdaja
  • Corry, L., 2004b, "Uvod", Znanost v kontekstu, 17: 1–22.
  • Crombie, A., 1994, Slogi znanstvenega mišljenja v evropski tradiciji, London: Duckworth.
  • de Gandt, F., 1986, „Le style mathématique des„ Principia “de Newton“, Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
  • de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Madrid: Uredništvo Tecnos.
  • Dhombres, J., 1993, La figure dans le discours géométrique: les façonnages d'un style, Nantes: Université de Nantes.
  • Dubucs, J. in Dubucs, M., 1994, "La couleur des preuves", v V. de Coorebyter, (ur.), Structures rhétorique en science, Pariz: PUF, str. 231–249.
  • Duhem, P., 1915, La Science Allemande, Pariz: Hermann. Angleški prevod: nemška znanost, Chicago: Carus Publishing, 2000.
  • Edwards, HM, 1987, "Dedekindov izum idealov", v Phillipsu, E., Študije zgodovine matematike, Washington: The Mathematical Association of America, str. 8–20.
  • Elwick, J., 2007, Slogi razmišljanja v britanskih znanostih o življenju: skupne predpostavke, 1820–1858, London: Pickering & Chatto.
  • Epple, M., 1997, "Stili argumentiranja v poznih 19. TH geometrija stoletje in struktura matematičnega moderne", v M. Otte in M. Panse (eds.), Analiza in sinteza v matematiko, Dordrecht: Kluwer, pp 177–198.
  • –––, 2004, „Invariants vozlov na Dunaju in v Princetonu v dvajsetih letih 20. stoletja: epiztemske konfiguracije matematičnih raziskav“, Science in Context, 17: 131–164.
  • –––, 2011, „Med brezčasjem in zgodovinarstvom: O dinamiki epiztemskih predmetov matematike“, Isis, 102: 481–493.
  • Etcheverría, J., 1996, “Empirične metode v matematiki. Študija primera: Goldbachova domneva “, v G. Munévar (ur.), Španski študij filozofije znanosti, Dordrecht: Kluwer, str. 19–55.
  • Fleck, L., 1935, Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil und Denkkollektiv, Basel: Schwabe. Angleški prevod: Genesis and Development of a Scientific Fact (v angleščino prevedel Frederick Bradley), Chicago: University of Chicago Press, 1979.
  • Fleckenstein, JO, 1955, „Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung“, Studium Generale, 8: 159–166.
  • Freudenthal, H., 1975, Matematika kot izobraževalna naloga, Dordrecht: Reidel.
  • Gavroglu, K., 1990, "Razlike v slogu kot način preizkušanja konteksta odkritja", Philosophia, 45: 53–75.
  • Gayon, J., 1996, "De la catégorie de style en histoire des Sciences", Alliage, 26: 13–25.
  • –––, 1998, „De l'usage de la ideation de style en histoire des Sciences“, v J. Gayon in sod. (ur.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Bruxelles: OUSIA, str. 162–181.
  • Goldstein, C., 2001, “L'expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy”, Revue de Synthèse, 122: 425–454.
  • Granger, GG, 1968, Essai d'une philosophie du style, Pariz: Armand Colin, ponatisnjen s popravki iz Pariza: Odile Jacob.
  • –––, 2003, „Le style mathématique de l'Académie platonicienne“, v GG Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, str. 267–294.
  • Grey, J., 2008, Platonov duh: modernistična preobrazba matematike, Princeton: Princeton University Press.
  • Heking, I., 1992, "Slog" za zgodovinarje in filozofe ", Študije zgodovine in filozofije znanosti, 23: 1–20.
  • –––, 1995, „Immagini radimente costruzionaliste del progresso matematico“, v A. Pagnini, Realismo / Antirealismo, Firenze: La Nuova Italia, str. 59–92.
  • –––, 1996, „Disvolucije znanosti“, v P. Galison in D. Stump, Disunity Science: Meje, kontekst in moč, Stanford: Stanford University Press, str. 37–74.
  • –––, 2002, Historical Ontology, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 2012, „Jezik, resnica in razum 30 let kasneje“, Študije zgodovine in filozofije znanosti, 43: 599–609.
  • Harwood, J., 1993, Slogi znanstvene misli - Nemška skupnost za genetiko, 1900–1933, Chicago: University of Chicago Press.
  • Høyrup, J., 2005, „Tertium non datur: o slogih sklepanja v zgodnji matematiki“, v P. Mancosu in sod. (ur.), vizualizacija, razlaga in obrazložitev slogov v matematiki, Dordrecht: Springer, str. 91–121.
  • Katz, S., 2004, „Berlinski koreninsko-cionistični inkarnacija: etos čiste matematike in začetek Einsteinovega inštituta za matematiko na hebrejski univerzi v Jeruzalemu“, Science in Context, 17: 199–234.
  • Klein, F., 1924, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Erster Band. Arithmetik, Algebra, Analiza, 3 rd izdaja, Berlin: Julius Springer.
  • Kleinert, A., 1978, "Von der Science Allemande zur Deutschen Physik", Forschungen zur westeuropäischer Geschichte, 6: 509–525.
  • Kusch, M., 2010, »Hekerska zgodovinska epistemologija: kritika stilov sklepanja«, Študije zgodovine in filozofije znanosti, 41: 158–173.
  • Kwa, C., 2012, "Ekološki" pogled na sloge znanosti in umetnosti: raziskave Aloisa Riegla o konceptu sloga ", Študije zgodovine in filozofije znanosti, 43: 610–618.
  • Larvor, B. (ur.), 2016, Matematične kulture. The London Meetings 2012–2014, Cham: Birkhäuser.
  • Laugwitz, D., 1993, Zur Genese des Denkens in mathematischen Begriffen: Bernhard Riemanns neuer Stil in der Analysis, Darmstadt.
  • Leibniz, GW, 1701, »Mémoire de Mr. Leibniz dotaknjen sin sentiment sur le calcul différentiel«, Journal de Trévoux, 270–272. Ponatisnjeno v GW Leibniz, Mathematische Schriften (Uredil CI Gerhardt), Hildesheim: Georg Olms, 1962, vol. IV, str. 95–96.
  • Maienschein, J., 1991, "Epistemični stili v nemški in ameriški embriologiji", Science in Context, 4: 407–427.
  • Mancosu, P. (ur.), 1998, Od Brouwerja do Hilberta, New York in Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, P., et al. (ur.), 2005, Vizualizacija, razlaga in obrazložitev slogov iz matematike, Dordrecht: Springer.
  • Mannheim, K., 1929, Ideologie und Utopie, Bonn: F. Cohen. Angleški prevod: Ideologija in utopija: uvod v sociologijo znanja, New York: Harcourt, Brace in World, 1968.
  • Mehrtens, H., 1987, „Ludwig Bieberbach in„ Deutsche Mathematik ““, v ER Philipps, Študije zgodovine matematike, Washington: The Mathematical Association of America, str. 195–241.
  • –––, 1990a, „Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940”, v Y. Cohen in K. Manfrass (ur.), Frankreich in Deutschland: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. in 20. Jahrhundert, München: CH Beck.
  • –––, 1990b, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurt: Suhrkamp.
  • –––, 1996, „Modernizem vs prot modernizem, nacionalizem proti internacionalizmu: slog in politika v matematiki, 1900–1950“, v C. Goldstein et al. (ur.), L'Europe Mathématique. Histoires, Mythes, Identités, Editions de la Maison de Sciences de l'Homme, Pariz, str. 519–530.
  • Meskin, A., 2005, "Slog", v B. Gout in DM Lopes (ur.), The Routledge Companion to Aesthetics, 2. izdaja, London: Routledge, str. 489–500.
  • Netz, R., 1999, Oblikovanje odbitka v grški matematiki, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Novy, L., 1981, "Opombe o slogu Bolzanovega matematičnega razmišljanja", Acta Historiae Rerum Naturalium nec non Technicarum, 16: 9–28.
  • Nye, MJ, 1993, "Nacionalni slogi? Francoska in angleška kemija v devetnajstem in zgodnjem dvajsetem stoletju «, Oziris, 8: 30–49.
  • Panofsky, E., 1924, Ideja, Berlin: Erwin Panofsky in Bruno Hessling Verlag. Angleški prevod: Idea, New York: Harper and Row, 1968.
  • Peckhaus, V., 2007, "Stilarten matematičen Schaffens", K. Robering (ur.), "Stil" in den Wissenschaften, Münster: Nodus-Verlag, str. 39–49.
  • JH Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Pariz: Flammarion. Angleški prevod: The Value of Science, New York: Dover Publications, 1958.
  • Rabouin, D., 2017, "Slogi v matematični praksi", K. Chemla in E. Fox-Keller (ur.), Kulture brez kulturalizma pri pridobivanju znanstvenega znanja, Durham: Duke University Press, str. 262–306.
  • Reck, E., 2009, "Dedekind, strukturno razmišljanje in matematično razumevanje", v B. van Kerkhove (ur.), Nove perspektive matematičnih praks, Singapur: WSPC Press, str. 150–173
  • Riding, R., 2000, "Kognitivni slog: pregled", v RJ Riding in SG Rayner, Mednarodne perspektive na individualne razlike, vol. 1, Kognitivni slogi, Stamford (CT): Ablex, str. 315–344
  • Rowe, D., 2003, "Matematične šole, skupnosti in mreže", v Cambridge History of Science, vol. 5, Moderne fizikalne in matematične vede, Mary Jo Nye (ur.), Cambridge: Cambridge University Press, str. 113–132.
  • –––, 2004, „Ustvarjanje matematike v ustni kulturi: Göttingen v dobi Kleina in Hilberta“, Science in Context, 17: 85–129.
  • Sauerländer, W., 1983, »Od Stilusa do sloga: Razmisleki o usodi pojma«, Umetnostna zgodovina, 6 (3): 253–270.
  • Segal, S., 2003, Matematiki pod nacisti, Princeton: Princeton University Press.
  • Sørensen, HK, 2016, "Konec dokaza"? Vključevanje različnih matematičnih kultur kot eksperimentalne matematike se stara “, v B. Larvor (ur.), Matematične kulture. The London Meetings 2012–2014, Cham: Birkhäuser, 2016, str. 139–160.
  • Spengler, O., 1918 (1921) Der Untergang des Abenlandes, Dunaj: Verlag Braumüller. Angleški prevod: Decline of the West: Oblika in aktualnost, 2 zvezki, London: Allen in Unwin.
  • Sternberg, RJ in Grigorenko, EL, 2001, "Zgodovina kapsul teorije in raziskovanja stilov", v Sternbergu in Zhangu 2001, str. 1–22.
  • Sternberg, RJ in Zhang, LF (ur.), 2001, Perspektive razmišljanja, učenja in kognitivni slogi, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Tappenden, J., 2005, »Dokazni slog in razumevanje matematike I: vizualizacija, poenotenje in izbira aksiomov«, v Mancosu 2005, str. 147–214.
  • van Bendegem, JP, 1998, "Kaj je, če sploh, eksperiment matematike?", v Anapolitanos, D. et al. (ur.), Filozofija in številni obrazi znanosti, Lanham: Rowman in Littlefeld, str. 172–182.
  • Weiss, EA, 1939, "Über den mathematischen Stil von Poncelet", Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
  • Wessely, A., 1991, "Prenos" sloga "iz zgodovine umetnosti v zgodovino znanosti", Science in Context, 4: 265–278.
  • Wisan, W., 1981, "Galileo in nastanek novega znanstvenega sloga", v članku Theory Change, Ancient Axiomatics in Galileo's Methodology, vol. 1, J. Hintikka, D. Gruender in E. Agazzi (ur.), Dordrecht: Reidel, str. 311–339

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

[S predlogi se obrnite na avtorja.]