Platonizem V Filozofiji Matematike

Kazalo:

Platonizem V Filozofiji Matematike
Platonizem V Filozofiji Matematike

Video: Platonizem V Filozofiji Matematike

Video: Platonizem V Filozofiji Matematike
Video: Анатолий Пушкарский "Значение философии математики Канта в основаниях математики" 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Platonizem v filozofiji matematike

Prvič objavljeno v soboto, 18. julija 2009; vsebinska revizija čet 18. januar 2018

Platonizem o matematiki (ali matematični platonizem) je metafizično stališče, da obstajajo abstraktni matematični predmeti, katerih obstoj je neodvisen od nas in našega jezika, misli in praks. Tako kot elektroni in planeti obstajajo neodvisno od nas, tako tudi številke in množice. In tako kot izjave o elektronih in planetih predmeti, s katerimi se ukvarjajo, postanejo resnični ali napačni, tako tudi izjave o številkah in množicah. Matematične resnice so torej odkrite, ne izumljene.

Najpomembnejši argument obstoja abstraktnih matematičnih predmetov izhaja iz Gottlob Frege in je naslednji (Frege 1953). Jezik matematike se nanaša na in količinsko opredeljuje nad abstraktnimi matematičnimi predmeti. In veliko matematičnih teoremov je res. Toda stavek ne more biti resničen, če njegovi podizrazi ne uspejo narediti tistega, kar bi radi storili. Torej obstajajo abstraktni matematični predmeti, na katere se ti izrazi nanašajo in količinsko opredeljujejo.

Ne glede na Fregeov argument, so filozofi razvili različne ugovore matematičnemu platonizmu. Tako naj bi bili abstraktni matematični predmeti epistemološko nedostopni in metafizično problematični. Matematični platonizem je v zadnjih nekaj desetletjih ena najbolj vročih tem v filozofiji matematike.

  • 1. Kaj je matematični platonizem?

    • 1.1 Zgodovinske pripombe
    • 1.2 Filozofski pomen matematičnega platonizma
    • 1.3 Predmetni realizem
    • 1.4 Resničnostni realizem
    • 1.5 Matematični pomen platonizma
  • 2. Fregeanski argument za obstoj

    • 2.1 Struktura argumenta
    • 2.2 Zagovarjanje klasične semantike
    • 2.3 Branjenje resnice
    • 2.4 Pojem ontološke zavzetosti
    • 2.5 Od obstoja do matematičnega platonizma?
  • 3. Nasprotovanja matematičnemu platonizmu

    • 3.1 Epistemološki dostop
    • 3.2 Metafizični ugovor
    • 3.3 Drugi metafizični ugovori
  • 4. Med objektnim realizmom in matematičnim platonizmom

    • 4.1 Kako razumeti neodvisnost
    • 4.2 Obilno platonizem
    • 4.3 Lahke pomenske vrednosti
    • 4.4 Dve nadaljnji lahki obliki realizma predmetov
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Kaj je matematični platonizem?

Matematični platonizem lahko opredelimo kot veznik naslednjih treh tez:

Obstoj.

Obstajajo matematični predmeti.

Abstraktnost.

Matematični predmeti so abstraktni.

Neodvisnost.

Matematični predmeti so neodvisni od inteligentnih agentov ter njihovega jezika, misli in prakse.

Nekaj reprezentativnih definicij „matematičnega platonizma“je navedenih v dodatku

Nekaj definicij platonizma

in dokumentirajo, da je zgornja definicija dokaj standardna.

Platonizem na splošno (v nasprotju s platonizmom posebej o matematiki) je vsak pogled, ki izhaja iz zgornjih treh trditev z nadomeščanjem pridevnika 'matematični' s katerim koli drugim pridevnikom.

Prvi dve trditvi sta za zdaj razumno jasni. Obstoj je mogoče formalizirati kot "∃ x Mx", kjer "Mx" okrajša predikat "x je matematični predmet", kar velja za vse in samo za predmete, ki jih preučuje čista matematika, kot so številke, množice in funkcije. Abstraktnost pravi, da je vsak matematični objekt abstrakten, kjer se za objekt pravi, da je abstrakten, samo v primeru, da ni prostorskotemporaln in (zato) vzročno neučinkovit. (Za nadaljnjo razpravo glej vnos o abstraktnih predmetih.)

Neodvisnost je manj jasna kot drugi dve trditvi. Kaj pomeni podeliti tovrstno neodvisnost predmetu? Verjetno je najbolj očiten sijaj, ki je pogojen s tem, da če ne bi bilo inteligentnih agentov ali če bi bili njihov jezik, misel ali prakse drugačni, bi še vedno obstajali matematični predmeti. Vendar je dvomljivo, da bo ta sijaj opravil vse delo, ki naj bi ga opravljala Neodvisnost (glej poglavje 4.1). Za zdaj bo neodvisnost ostala nekoliko shematična.

1.1 Zgodovinske pripombe

Platonizem je treba razlikovati od pogleda na zgodovinskega Platona. Le redki udeleženci sodobne razprave o platonizmu trdijo eksegetične trditve o Platonovem stališču, še manj jih zagovarjajo. Čeprav pogled, ki ga imenujemo "platonizem", zgleduje po Platonovi znameniti teoriji abstraktnih in večnih oblik (glej vnos Platonove metafizike in epistemologije), je o platonizmu zdaj opredeljen in razpravljan neodvisno od njegovega prvotnega zgodovinskega navdiha.

Ne le, da platonizem, o katerem razpravljamo, ni Platonov, platonizem, kot je opisan zgoraj, je čisto metafizični pogled: razlikovati ga je treba od drugih pogledov, ki imajo vsebinsko epistemološko vsebino. Številne starejše značilnosti platonizma dodajo močne epistemološke trditve, da lahko nemudoma spoznamo ali vpogled v področje abstraktnih predmetov. (Glej npr. Rees 1967.) Vendar je koristno (in dandanes dokaj standardno) izraz „platonizem“rezervirati za zgoraj opisan čisto metafizični pogled. Številni filozofi, ki zagovarjajo platonizem v tem povsem metafizičnem smislu, bi zavrnili dodatne epistemološke trditve. Primeri vključujejo Quineja in druge filozofe, ki jih privlači tako imenovani argument o nepogrešljivosti, ki naj bi na široko empirično zagovarjal matematični platonizem.(Glej vnos argumentov o nepogrešljivosti v filozofiji matematike.)

Nazadnje zgornja opredelitev „matematičnega platonizma“izključuje trditev, da so potrebne vse resnice čiste matematike, čeprav je ta trditev tradicionalno podala večina platonistov. Ponovno je ta izključitev upravičena s tem, da nekateri filozofi, ki jih na splošno velja za platoniste (na primer Quine in nekateri privrženci omenjenega argumenta o nujnosti) zavrnejo to dodatno modalno trditev.

1.2 Filozofski pomen matematičnega platonizma

Matematični platonizem ima precejšen filozofski pomen. Če je pogled resničen, bo močno pritiskal na fizikalistično idejo, da realnost izčrpa fizično. Kajti platonizem pomeni, da se resničnost širi izven fizičnega sveta in vključuje predmete, ki niso del vzročno-prostorsko-časovnega reda, ki jih preučujejo fizikalne vede. [1] Če je resnično, bo matematični platonizem prav tako močno pritiskal na številne naravoslovne teorije znanja. Kajti malo dvoma je, da imamo matematično znanje. Resnica matematičnega platonizma bi torej določila, da imamo znanje o abstraktnih (in s tem vzročno neučinkovitih) predmetih. To bi bilo pomembno odkritje, ki bi se mu lahko pridružile številne naravoslovne teorije znanja.

Čeprav te filozofske posledice niso značilne le za matematični platonizem, je ta oblika platonizma nenavadno zelo primerna za podporo takšnih posledic. Za matematiko je izjemno uspešna disciplina, sama po sebi in kot orodje za druge vede. [2] Malo sodobnih analitičnih filozofov je pripravljenih nasprotovati katerikoli temeljni trditvi discipline, katere znanstvene vede so tako močne kot matematične (Lewis 1991, str. 57–9). Če bi filozofska analiza razkrila, da ima matematika nekaj čudnih in presenetljivih posledic, bi bilo neprivlačno preprosto zavrniti matematiko. [3]Oblika platonizma, ki temelji na disciplini, katere znanstveni nalogi so manj impresivni kot matematični, v tej srečni situaciji ne bi bili. Na primer, ko se izkaže, da ima teologija nekaj čudnih in presenetljivih filozofskih posledic, se mnogi filozofi ne obotavljajo zavračati ustreznih delov teologije.

1.3 Predmetni realizem

Naj bo objektni realizem pogled, da obstajajo abstraktni matematični predmeti. Predmetni realizem je torej samo spoj eksistence in abstraktnosti. [4] Objektni realizem nasprotuje nominalizmu, ki ga v sodobni filozofiji običajno definiramo kot stališče, da ni abstraktnih predmetov. (V bolj tradicionalni filozofski rabi se beseda „nominalizem“nanaša namesto na stališče, da ni univerzal. Glej Burgess & Rosen 1997, str. 13–25 in vnos abstraktnih predmetov.)

Ker objektni realizem pušča neodvisnost, je ta pogled logično šibkejši od matematičnega platonizma. Filozofske posledice objektnega realizma tako niso tako močne kot posledice platonizma. Mnogi fiziki bi sprejeli nefizične predmete, pod pogojem, da so ti odvisni od fizičnih predmetov ali jih je mogoče reducirati. Na primer, lahko sprejmejo predmete, kot so korporacije, zakoni in pesmi, pod pogojem, da so ti primerno odvisni ali jih je mogoče prilagoditi fizičnim predmetom. Poleg tega ni videti nobene skrivnosti o epiztemičnem dostopu do nefizičnih predmetov, ki smo jih nekako naredili ali 'konstituirali'. Če nas korporacije, zakoni in pesmi oblikujejo ali 'sestavljajo', bomo verjetno o njih pridobili znanje v procesu njihovega oblikovanja ali konstituiranja.

Nekateri pogledi v filozofiji matematike so objektni realisti, ne da bi bili platonistični. En primer so tradicionalna intuicijska stališča, ki potrjujejo obstoj matematičnih predmetov, vendar trdijo, da so ti predmeti odvisni ali sestavljeni s strani matematikov in njihovih dejavnosti. [5] Nekaj nadaljnjih primerov pogledov, ki so objektni realisti, ne da bi bili platonistični, bo obravnavano v oddelku 4.

1.4 Resničnostni realizem

Resničnostni realizem je stališče, da ima vsaka dobro oblikovana matematična izjava edinstveno in objektivno resnično vrednost, ki ni odvisna od tega, ali jo lahko poznamo pri nas in ali logično sledi iz naših trenutnih matematičnih teorij. Prav tako je razvidno, da je večina matematičnih izjav, za katere velja, da so resnične, v resnici resnična. Torej resničnostni realizem je očitno metafizični pogled. Toda za razliko od platonizma ne gre za ontološki pogled. Kajti čeprav resničnostni realizem trdi, da imajo matematične izjave edinstvene in objektivne resnične vrednosti, ni zavezan izrazito platonistični ideji, da bi bilo treba te resnične vrednosti razlagati v smislu ontologije matematičnih predmetov.

Matematični platonizem očitno motivira resničnost-realizem z opisom, kako matematične izjave dobivajo svoje resnične vrednosti. Toda prvo stališče ne vključuje drugega, če ne dodamo nadaljnjih premis. Tudi če obstajajo matematični predmeti, lahko referenčna in količinsko opredeljena neodločnost matematičnim stavkom odvzame edinstveno in objektivno resnično vrednost. Nasprotno pa resničnostni realizem sam po sebi ne pomeni Obstoja in ne pomeni niti predmetnega realizma niti platonizma. Kajti obstajajo različni podatki o tem, kako lahko matematične izjave posedujejo po edinstvenih in objektivnih resničnih vrednostih, ki ne predstavljajo področja matematičnih predmetov. [6]

Pravzaprav mnogi nominalizatorji podpirajo resničnostni realizem, vsaj o bolj osnovnih vejah matematike, kot je aritmetika. Nominalisti te vrste se zavzemajo za rahlo nenavaden pogled, ki je sicer običajna matematična izjava

(1) Obstajajo številke primerov med 10 in 20.

res je, v resnici ni matematičnih predmetov in s tem zlasti številk. Tu pa ni protislovja. Ločiti moramo med jezikom L M, v katerem matematiki navajajo svoje trditve, in jezikom L P, v katerem nominalizatorji in drugi filozofi navajajo svoje. Stavek (1) narejen iz L M. Toda trditev nominalist, da je (1) res, vendar da ni abstraktni predmeti, je narejena v L P. Trditev nominalist je torej povsem skladna pod pogojem, da (1) se prevede brez homophonically iz L M v L P. In res, ko nominalizem trdi, da so resničnostne vrednosti stavkov L Mso določeni na način, ki ne ustreza matematičnim predmetom, prav takšen nehomofonski prevod ima v mislih. Primer, naveden v prejšnji opombi, je primer.

To kaže, da mora biti trditev, da ima Obstoj svoj predvideni učinek, izražena v jeziku L P, ki ga uporabljajo filozofi. Če bi bila trditev izražena v jeziku L M, ki so ga uporabljali matematiki, bi nominalizatorji lahko to trditev sprejeli, vendar obenem zanikali, da obstajajo matematični predmeti v nasprotju z namenom trditve.

Majhna, a pomembna tradicija filozofov zahteva, da bi razpravo o platonizmu nadomestili ali vsaj preoblikovali v debato o resničnostnem realizmu. Eden od razlogov, ki je podkrepljen s tem stališčem, je, da je prva razprava brezupno nejasna, medtem ko je druga bolj sledljiva (Dummett 1978a, str. 228-232 in Dummett 1991b, str. 10–15). Drugi razlog je, da je razprava o resničnostnem realizmu za filozofijo in matematiko pomembnejša kot razprava o platonizmu. [7]

1.5 Matematični pomen platonizma

Delovni realizem je metodološki pogled, da je treba matematiko izvajati, kot da bi bil platonizem resničen (Bernays 1935, Shapiro 1997, str. 21–27 in 38–44). To zahteva nekaj razlage. V razpravah o temeljih matematike se platonizem pogosto uporablja za obrambo nekaterih matematičnih metod, kot so naslednje:

  1. Klasični (ali močnejši) jeziki prvega reda, katerih posamični izrazi in kvantifikatorji se nanašajo na matematične predmete in segajo po njih. (To je v nasprotju z jeziki, ki so prevladovali prej v zgodovini matematike, ki so se bolj oprli na konstruktivno in modalno besedišče.)
  2. Klasična in ne intuicijska logika.
  3. Nekonstruktivne metode (na primer dokazi nekonstruktivnega obstoja) in nekonstruktivni aksiomi (na primer izbira Aksiom).
  4. Nepremišljene definicije (to je definicije, ki količinsko opredeljujejo celoto, ki ji pripada objekt, ki je opredeljen).
  5. 'Hilbertov optimizem', torej prepričanje, da je vsak matematični problem načeloma rešljiv. [8]

Glede na delovni realizem so te in druge klasične metode sprejemljive in na voljo v vseh matematičnih sklepih. Toda delovni realizem ne zavzema stališča o tem, ali te metode zahtevajo kakršno koli filozofsko obrambo, in če je tako, ali mora ta obramba temeljiti na platonizmu. Skratka, kjer je platonizem izrecno filozofski pogled, je delovni realizem najprej in predvsem pogled znotraj same matematike o pravilni metodologiji te discipline. Platonizem in delovni realizem sta torej različna stališča.

Seveda lahko obstajajo logični odnosi med obema pogledoma. Glede na izvor delovnega realizma ne preseneča, da pogled dobiva močno podporo matematičnega platonizma. Predpostavimo, da je matematični platonizem resničen. Potem mora biti jezik matematike jasno tak, kot je opisan v (i). Drugič, pod pogojem, da je legitimno klasično razmišljanje o vsakem neodvisno obstoječem delu resničnosti, (ii) bi to tudi sledilo. Tretjič, ker platonizem zagotavlja, da se matematika odkrije in ne izumi, matematikom ne bi bilo treba omejiti na konstruktivne metode in aksiome, kar določa (iii). Četrtič, zaradi Gödela (1944) obstaja močan in vpliven argument, da so nepredvidljive definicije legitimne, kadar predmeti, ki jih definiramo, obstajajo neodvisno od naših definicij.(Na primer, "najvišji deček v razredu" se zdi neproblematičen, čeprav je nepredvidljiv.) Če je to pravilno, bi sledil (iv). In končno, če gre pri matematiki za neko neodvisno obstoječo resničnost, potem ima vsak matematični problem enkraten in določen odgovor, ki zagotavlja vsaj nekaj motivacije za Hilbertian optimizem. (Glej razpravo o obilnem platonizmu v oddelku 4.2.)

Resnica matematičnega platonizma bi torej imela pomembne posledice znotraj same matematike. To bi upravičilo klasične metode, povezane z delovnim realizmom, in spodbudilo iskanje novih aksiomov za reševanje vprašanj (kot je hipoteza o kontinuumu), ki jih puščajo odprte naše sedanje matematične teorije.

Vendar delovni realizem nikakor ne pomeni platonizma. Čeprav delovni realizem pravi, da smo upravičeni z uporabo platonističnega jezika sodobne matematike, to vsaj na dva načina ne premore platonizma. Kot je pokazala zgornja razprava o resničnostnem realizmu, je mogoče platonistični jezik matematike analizirati tako, da se izognemo sklicevanju in kvantifikaciji matematičnih predmetov. Še več, tudi če bi bila lahko analiza vrednosti matematičnih jezikov utemeljena, bi to podprlo objektni realizem, ne pa platonizma. Za tretjo komponento platonizma, in sicer neodvisnost, bi bil potreben dodaten argument. Možnosti take trditve so obravnavane v razdelku 4.1.

2. Fregeanski argument za obstoj

Zdaj opisujemo predlogo argumenta za obstoj matematičnih predmetov. Ker je bil prvi filozof, ki je razvil argument te splošne oblike, Frege, bo to omenjeno kot fregejski argument. Toda predloga je splošna in odvzema večino specifičnih vidikov Fregejeve lastne obrambe obstoja matematičnih predmetov, kot je njegovo stališče, da je aritmetika logična. Fregejska logika je le eden od načinov razvoja te predloge; v nadaljevanju bodo omenjeni nekateri drugi načini.

2.1 Struktura argumenta

Fregejski argument temelji na dveh premisah, od katerih prva zadeva semantiko matematičnega jezika:

Klasična semantika.

Enotni izrazi jezika matematike se nanašajo na matematične predmete, njegovi kvantifikatorji prvega reda pa naj bi segali po takšnih predmetih.

Besedo „namen“je treba razložiti. Kadar se stavek S želi na določen način sklicevati ali količinsko opredeliti, to pomeni, da mora biti S resničen, če se na ta način sklicuje ali kvantificira.

Druga predpostavka ne zahteva veliko razlage:

Resnica.

Večina stavkov, sprejetih kot matematični teoremi, je resničnih (ne glede na njihovo skladenjsko in pomensko strukturo).

Razmislite o stavkih, ki so sprejeti kot matematični teoremi in vsebujejo enega ali več matematičnih singularnih izrazov. Po resnici je večina teh stavkov resničnih. [9] Naj bo S takšen stavek. Po klasični semantiki resnica S zahteva, da se njeni edini izrazi uspejo sklicevati na matematične predmete. Zato morajo obstajati matematični predmeti, kot trdi Obstoj. [10]

2.2 Zagovarjanje klasične semantike

Klasična semantika trdi, da jezik matematike deluje pomensko podobno kot jezik v splošnih funkcijah (ali vsaj že tradicionalno velja, da deluje): semantične funkcije posameznih izrazov in kvantifikatorjev se nanašajo na predmete in segajo čez objekte. To je široko empirična trditev o delu polformalnega jezika, ki ga uporablja skupnost profesionalnih matematikov. (V splošno sprejeti terminologiji Burgess & Rosen 1997, str. 6–7, Classical Semantics je hermenevtična trditev; to je opisna trditev o tem, kako se določen jezik dejansko uporablja, ne pa normativna trditev o tem, kako ta jezik je treba uporabiti.) Upoštevajte tudi, da je klasična semantikaje združljiv z večino tradicionalnih pogledov na semantiko; zlasti je združljiv z vsemi standardnimi pogledi na pomene stavkov, in sicer, da so resnične vrednosti, predlogi ali sklopi možnih svetov.

Klasična semantika uživa močno verjetnost prima facie. Zdi se, da ima matematični jezik enako semantično strukturo kot običajni nematematični jezik. Kot ugotavlja Burgess (1999), se zdi, da imata naslednja dva stavka enako preprosto pomensko strukturo predikata, ki se pripisuje subjektu (str. 288):

(4) Evelyn je prim.

(5) Enajst je prvovrstno.

Ta videz potrjujejo tudi standardne semantične analize, ki jih predlagajo jezikoslovci in semantiki.

Kljub temu je bila klasična semantika izpodbijana, na primer nominalizatorja, kot sta Hellman (1989) in Hofweber (2005 in 2016). (Glej tudi Moltmann (2013) za nekatere izzive, povezane z aritmetičnim besediščem v naravnem jeziku.) Tukaj ni mesta za široko razpravo o takšnih izzivih. Naj omenim, da je za utemeljitev tovrstnih izzivov potrebno veliko dela. Izzivalec bo moral trditi, da so navidezne pomenske podobnosti med matematičnim in nematematičnim jezikom varljive. In ti argumenti bodo morali biti takšni, kot bi jih jezikoslovci in semantiki - brez zanimanja za filozofijo matematike - lahko prepoznali kot pomembne. [11]

2.3 Branjenje resnice

Resnico je mogoče braniti na različne načine. Skupno vsem obrambnim skupinam je, da najprej opredelijo nek standard, s pomočjo katerega je mogoče oceniti resnične vrednosti matematičnih stavkov in nato trdijo, da matematični teoremi ustrezajo temu standardu.

Ena od možnosti je pritožba na standard, ki je temeljnejši od tistega iz matematike. Logika je primer. Frege in drugi logiki najprej trdijo, da je vsak izrek čiste logike resničen. Nato poskušajo pokazati, da je mogoče teoreme nekaterih vej matematike dokazati samo iz čiste logike in definicij.

Druga možnost je pritožba na standarde empirične znanosti. Argument nepogrešljivosti Quine-Putnam je primer. Najprej je treba trditi, da je kateri koli nepogrešljivi del empirične znanosti verjetno resničen in zato nekaj, kar upravičeno verjamemo. Potem trdijo, da so velike količine matematike nujno potrebne empirični znanosti. Če sta obe trditvi pravilni, izhaja, da je resnica verjetno resnična in je zato prepričanje v resnico upravičeno. (Glej vnos argumentov o nepogrešljivosti v filozofiji matematike.)

Tretja možnost je pritožba na standarde matematike same. Zakaj bi se morali zagovarjati z ne-matematičnimi standardi, kot sta na primer logika ali empirična znanost, da bi branili resnico matematičnih teoremov? Ko zagovarjamo resničnost trditev logike in fizike, nam ni treba apelirati na standarde zunaj logike in fizike. Namesto tega domnevamo, da logika in fizika zagotavljata svoje sui generis standarde utemeljitve. Zakaj bi morala biti matematika kaj drugačna? Ta tretja strategija je bila v zadnjih letih deležna veliko pozornosti, pogosto pod naslovom „naturalizem“ali „matematični naturalizem“. (Glej Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997 in za kritično razpravo glej vnos naturalizma v filozofiji matematike.)

Tu je primer, kako je mogoče razviti naturalistično strategijo. Pokličite odnos, ki ga matematiki zavzemajo za teorete matematike 'sprejemanje'. Potem se zdijo naslednje trditve verjetne:

(6) Matematiki upravičeno sprejemajo teoreme matematike.

(7) Sprejem matematičnega stavka S pomeni, da je S resničen.

(8) Ko matematik sprejme matematični stavek S, je vsebina tega stališča na splošno dobesedni pomen S.

Iz teh treh trditev izhaja, da so matematični strokovnjaki upravičeni, če teorete matematike štejejo za dobesedne resnice. Tudi vsi ostali smo upravičeni, da verjamemo Resnici. Upoštevajte, da strokovnjaki, za katere je zadeva (6), ne verjamejo sami (7) in (8), kaj šele, če bi bili upravičeni v takem prepričanju. Pomembno je, da so tri trditve resnične. Naloga določitve resnice (7) in (8) lahko spada na jezikoslovce, psihologe, sociologe ali filozofe, zagotovo pa ne na same matematike.

2.4 Pojem ontološke zavzetosti

Različice fregejskega argumenta so včasih navedene v smislu pojma ontološke zavzetosti. Predpostavimo, da delujemo s standardnim kinejskim merilom ontološke zavzetosti:

Quinejev kriterij.

Stavek prvega reda (ali zbirka takih stavkov) je ontološko zavezan takim predmetom, za katere je treba domnevati, da so v območju spremenljivk, da je stavek (ali zbirka stavkov) resničen.

Potem iz klasične semantike izhaja, da je veliko stavkov matematike ontološko zavezanih matematičnim predmetom. Če si želite ogledati to, razmislite o tipičnem matematičnem izreku S, ki vključuje nekaj običajnega ekstenzijskega pojavljanja posameznih izrazov ali kvantifikatorjev prvega reda. Po klasični semantiki se ti izrazi nanašajo na matematične predmete ali segajo nanje. Da je S resničen, morajo ti izrazi uspeti, kar počnejo. Zato mora biti S resničen, da so v območju spremenljivk matematični predmeti. Po Quinejevem merilu to pomeni, da je S ontološko zavezan matematičnim objektom.

Quine in mnogi drugi menijo, da je Quinejev kriterij le nekaj več kot definicija izraza "ontološka zaveza" (Quine 1969 in Burgess 2004). Toda kriterij je bil kljub temu izpodbijan. Nekateri filozofi zanikajo, da posamezni izrazi in kvantifikatorji prvega reda samodejno povzročajo ontološke zaveze. Morda je tisto, kar se od sveta "zahteva, da je stavek resničen, obstoj nekaterih, vendar ne vseh predmetov v obsegu kvantifikatorjev (Rayo 2008). Morda bi morali prekiniti povezavo med eksistencialnim kvantifikatom prvega reda in pojmom ontološke zavezanosti (Azzouni 2004, Hofweber 2000 in 2016).

Eden od odgovorov na te izzive je ugotoviti, da je bil fregejski argument razvit zgoraj brez uporabe izraza „ontološka zaveza“. Vsak izziv glede opredelitve „ontološke zaveze“, ki ga daje Quinejev kriterij, se zato zdi nepomemben za zgoraj razvito različico fregeanskega argumenta. Vendar ta odgovor verjetno ne bo zadovoljil izpodbijalcev, ki bodo odgovorili, da je zaključek zgoraj omenjene trditve prešibak, da bi lahko imel predviden učinek. Spomnimo se, da je sklep, eksistenca, formaliziran v našem filozofskem metajeziku L Pkot '∃ x Mx'. Torej ta formalizacija ne bo imela predvidenega učinka, razen če ta stavek metajezika ne bo takšnega, ki povzroča ontološko zavezo. Toda prav izpodbijajo izzivalci. Te polemike tukaj ni mogoče nadaljevati. Za zdaj preprosto opažamo, da morajo izzivalci pojasniti, zakaj je njihov nestandardni pojem ontološke zavzetosti boljši in teoretično bolj zanimiv od standardnega kvinejskega pojma.

2.5. Od eksistence do matematičnega platonizma?

Recimo, da sprejemamo Obstoj, morda na podlagi fregejevske trditve. Kot smo videli, da to ni še sprejeti matematično platonizma, ki je posledica dodajanja za Obstoj dveh nadaljnjih zahtevkov abstraktnosti in neodvisnost. Ali sta ta dva zahtevka mogoče obvarovati?

Abstraktnost je po standardih filozofije ostala razmeroma nesporna. Med redkimi filozofi, ki so jo izpodbijali, so Maddy (1990) (v zvezi z nečistimi množicami) in Bigelow (1988) (o množicah in različnih vrstah številk). To relativno pomanjkanje polemike pomeni malo izrecne obrambe abstraktnostiso bili razviti. A ni težko razumeti, kako bi lahko šla takšna obramba. Tu je ena ideja. Vsaka filozofska razlaga matematične prakse je verjetna omejitev prima facie, da se izogiba pripisovanju matematiki kakršnih koli lastnosti, zaradi katerih bi bila dejanska matematična praksa napačna ali neprimerna. Ta omejitev težko zanika, da so predmeti čiste matematike abstraktni. Če bi imeli ti predmeti prostorskotemporalne lokacije, bi bila dejanska matematična praksa napačna in neprimerna, saj bi se čisti matematiki potem morali zanimati za lokacije svojih predmetov, tako kot se zoologi zanimajo za lokacije živali. Dejstvo, da čistih matematikov to vprašanje ne zanima, kaže na to, da so njihovi predmeti abstraktni.

Neodvisnost pravi, da so matematični predmeti, če obstajajo, neodvisni od inteligentnih agentov ter njihovega jezika, misli in prakse. Kaj bo ta teza lahko pomenila in kako se lahko zagovarja, bomo razpravljali v razdelku 4.

3. Nasprotovanja matematičnemu platonizmu

Razviti so bili številni ugovori matematičnemu platonizmu. Tu je najpomembnejših.

3.1 Epistemološki dostop

Verjetno je najvplivnejši ugovor tisti, ki ga je navdihnil Benacerraf (1973). Sledi izboljšana različica ugovora Benacerrafa zaradi Field-a (1989). [12] Ta različica temelji na naslednjih treh premisah.

Prostor 1. Matematiki so zanesljivi, v smislu, da za skoraj vsak matematični stavek S, če matematiki sprejmejo S, potem je S res.
Prostor 2. Da bi bilo prepričanje v matematiko upravičeno, mora biti vsaj načeloma mogoče razložiti zanesljivost, opisano v uvodu 1.
Prostor 3. Če je matematični platonizem resničen, potem te zanesljivosti ni mogoče razložiti niti načeloma.

Če so ti trije predlogi pravilni, bo sledilo, da matematični platonizem spodkopava naše utemeljitev, da verjamemo v matematiko.

Toda, ali so prostori pravilni? Prva dva prostora sta razmeroma nesporna. Večina platonistov je že zavezanih k oddaji 1. In Premise 2 se zdi dokaj varen. Če zanesljivosti nekega postopka oblikovanja prepričanj niti načelno ne bi bilo mogoče razložiti, se zdi, da bi postopek deloval čisto po naključju in tako nelojalno nižal kakršno koli utemeljitev za tako ustvarjena prepričanja.

Prostor 3 je veliko bolj sporen. Field zagovarja to predpostavko z opazovanjem, da so "resnične vrednosti naših matematičnih trditev odvisne od dejstev, ki vključujejo platonske entitete, ki prebivajo v realnosti zunaj vesolja-časa" (polje 1989, str. 68) in so zato vzročno izolirane od nas tudi v načelo. Vendar ta obramba predvideva, da mora vsaka ustrezna razlaga zadevne zanesljivosti vključevati določeno vzročno povezavo. To so izzvali različni filozofi, ki so predlagali bolj minimalne razlage trditve o zanesljivosti. (Glej Burgess & Rosen 1997, str. 41–49 in Lewis 1991, str. 111–112; prim. Tudi Clarke-Doane 2016. Za kritiko glej Linnebo 2006.) [13]

3.2 Metafizični ugovor

Drug znan članek Benacerrafa razvija metafizično nasprotovanje matematičnemu platonizmu (Benacerraf 1965, prim. Tudi Kitcher 1978). Čeprav se Benacerraf osredotoča na aritmetiko, ugovor seveda posploši na večino čistih matematičnih predmetov.

Benacerraf se odpre z obrambo tistega, kar je danes znano kot strukturalistični pogled na naravna števila, po katerem naravna števila nimajo drugih lastnosti, razen tistih, ki jih imajo zaradi položaja v ω-zaporedju. Na primer, številka 3 ni nič drugega kot imeti določene znotrajstrukturno definirane relacijske lastnosti, na primer uspeh 2, polovica 6 in prvovrstnost. Ne glede na to, kako težko preučujemo aritmetično in teorijo množic, nikoli ne bomo vedeli, ali je 3 enak četrtemu von Neumannovemu zaporedju ali ustreznemu zaporedju Zermela ali morda, kot je predlagal Frege, z razredom vseh tričlanskih razredov (v nekem sistemu, ki dovoljuje obstoj takšnih razredov).

Benacerraf zdaj sklepa naslednje:

Zato številke sploh niso predmeti, ker s tem, ko dajete lastnosti… števil, zgolj označujete abstraktno strukturo - in razlikovanje je v tem, da “elementi” strukture nimajo drugih lastnosti, razen tistih, ki jih povezujejo z drugimi “elementi “iste strukture. (Benacerraf 1965, str. 291)

Z drugimi besedami, Benacerraf trdi, da ne more biti objektov, ki bi imeli samo strukturne lastnosti. Vsi objekti morajo imeti tudi nekatere nestrukturne lastnosti. (Glej Benacerraf 1996 za nekaj poznejših razmišljanj o tej trditvi.)

Oba koraka Benacerrafove trditve sta sporna. Prvi korak - da imajo naravne številke samo strukturne lastnosti - so pred kratkim zagovarjali številni matematični strukturalisti (Parsons 1990, Resnik 1997 in Shapiro 1997). Toda ta korak zanikajo logiki in neo logiki, ki trdijo, da so naravna števila sama po sebi vezana na kardinalnosti zbirk, ki jih štejejo. In drugi korak - da ne more biti predmetov, ki imajo samo strukturne lastnosti - so izrecno zavrnjeni vsi strukturisti, ki zagovarjajo prvi korak. (Za nekatere glasove, ki so naklonjeni drugemu koraku, glejte Hellman 2001 in MacBride 2005. Za razpravo glejte tudi Linnebo 2008.)

3.3 Drugi metafizični ugovori

Poleg Benacerrafovih so se razvili številni metafizični nasprotovanja matematičnemu platonizmu. Eden bolj znanih primerov je argument Nelsona Goodmana proti teoriji množic. Goodman (1956) zagovarja načelo nominalizma, ki pravi, da imata vsaki osebi enake osnovne sestavine enake. To načelo je mogoče razumeti kot krepitev že znane teoretične aksiome ekstenzivnosti. Aksiom ekstenzivnosti pravi, da če imata dva niza x in y enaka elementa - to je, če sta ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y) - potem sta enaka. Načelo nominalizma dobimo z nadomeščanjem članstva s prehodnim zaprtjem. [14]Načelo tako pravi, da če x in y nosita ∈ * iste osebe, to je, če sta ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y) -tem sta x in y enaka. Z odobritvijo tega načela Goodman onemogoča oblikovanje množic in razredov, ki omogočajo le oblikovanje meoloških vsot in uporabo standardnih meoloških operacij (kot jih opisuje njegov "izračun posameznikov").

Vendar je Goodmanova obramba načela nominalizma danes splošno prepričana, da je prepričljivo, o čemer priča široko sprejetje filozofov in matematikov teorije množic kot legitimne in dragocene veje matematike.

4. Med objektnim realizmom in matematičnim platonizmom

Predmetni realizem pravi, da obstajajo abstraktni matematični predmeti, platonizem pa doda Neodvisnost, ki pravi, da so matematični predmeti neodvisni od inteligentnih agentov ter njihovega jezika, misli in praks. V zadnjem delu raziskujemo nekaj lahkih oblik objektnega realizma, ki ne dosegajo polnega platonizma.

4.1 Kako razumeti neodvisnost

Naravni sijaj Neodvisnosti je pogojen, če bi bilo inteligentnih agentov ali če bi bili njihov jezik, misel ali prakse primerno drugačni, še vedno obstajali matematični predmeti.

To nasprotno dejansko stanje (kot ga lahko imenujemo) sprejema večina analitičnih filozofov. Če želite videti, zakaj, razmislite o vlogi matematike v našem sklepanju. Pogosto razmišljamo o scenarijih, ki niso dejanski. Bi morali zgraditi most čez ta kanjon, recimo, kako močan bi moral biti, da bi zdržal močne sunke vetra? Na žalost se je prejšnji most zrušil. Ali bi to storili, če bi bili jekleni nosilci dvakrat debelejši? Ta oblika sklepanja o nasprotnih scenarijih je nepogrešljiva tako pri naših vsakodnevnih razpravah kot tudi pri znanosti. Dopustnost takega sklepanja ima pomembno posledico. Ker se resnice čiste matematike lahko svobodno pritožijo v celotnem našem nasprotnem sklepanju, izhaja, da so te resnice nasprotne od nas, ljudi,in vse drugo inteligentno življenje v zvezi s tem. Se pravi, da ne bi bilo inteligentnega življenja, bi te resnice še vedno ostale enake.

Čista matematika se v tem pogledu zelo razlikuje od navadnih empiričnih resnic. Če inteligentnega življenja nikoli ne bi bilo, tega članka ne bi bilo napisano. Še bolj zanimivo je, da čista matematika prav tako nasprotuje različnim družbenim konvencijam in konstrukcijam, s katerimi se včasih primerja (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Če inteligentnega življenja nikoli ne bi bilo, ne bi bilo zakonov, pogodb ali zakonskih zvez - vendar bi matematične resnice ostale enake.

Če torej neodvisnost razumemo zgolj kot nasprotno stvarnost, potem bi moral vsak, ki sprejema objektni realizem, sprejeti tudi platonizem.

Vendar je dvomljivo, da takšno razumevanje neodvisnosti zadostuje. Za samostojnosti naj bi utemeljili analogijo med matematičnimi predmeti in navadnih fizičnih predmetov. Tako kot elektroni in planeti obstajajo neodvisno od nas, tako tudi številke in množice. In tako kot izjave o elektronih in planetih predmeti, s katerimi se ukvarjajo, postanejo resnični ali napačni, tako tudi izjave o številkah in množicah. Skratka, matematični predmeti so prav tako »resnični« kot običajni fizični predmeti (če ne celo bolj, kot je mislil Platon).

Zdaj razmislimo o nekaterih pogledih, ki zavračajo to močnejše razumevanje neodvisnosti v smislu omenjene analogije. Ti pogledi so tako lahke oblike objektnega realizma, ki ne zadoščajo polnoplastičnemu platonizmu.

4.2 Obilno platonizem

Ena lahka oblika objektnega realizma je "polnokrvni platonizem" Balaguer 1998. Za to stališče je značilno načelo obilnosti, da lahko obstajajo kakršni koli matematični predmeti, ki dejansko obstajajo. Na primer, ker je hipoteza kontinuuma neodvisna od standardne aksiomatizacije teorije množic, obstaja vesolje množic, v katerih je hipoteza resnična in druga, v kateri je napačna. In nobeno vesolje ni metafizično privilegirano. Nasprotno pa tradicionalni platonizem zatrjuje, da obstaja edinstveno vesolje sklopov, v katerih je hipoteza kontinuuma bodisi odločno resnična bodisi odločno napačna. [15]

Ena domnevnih prednosti tega obilnega pogleda je v epistemologiji matematike. Če vsaka dosledna matematična teorija velja za neko vesolje matematičnih predmetov, bo matematično znanje v nekem smislu enostavno pridobiti: pod pogojem, da so naše matematične teorije skladne, zagotovo veljajo za neko vesolje matematičnih predmetov.

Vendar je "polnokrvni platonizem" doživel veliko kritik. Colyvan in Zalta 1999 kritizirata to, da spodkopavata možnost sklicevanja na matematične predmete, in Restall 2003, ker nista natančna in skladna formula načela obstojnosti, na katerem temelji pogled. Martin (2001) predlaga, da se združijo različni vesolji množic, da se ustvari eno samo maksimalno vesolje, ki bo privilegirano, če prilagodimo našo predstavo o množici boljši kot katero koli drugo vesolje množic.

Različna različica obilnega platonizma je razvita v Linsky & Zalta 1995 in vrsti nadaljnjih člankov. (Glej na primer Linsky & Zalta 2006 in druge članke, ki so v njem citirani.) Tradicionalni platonizem gre narobe s tem, da je "zasnoval] abstraktne predmete na modelu fizičnih objektov" (Linsky & Zalta 1995, str. 533), vključno z zlasti ideja, da so takšni predmeti "redki" in ne obilni. Linsky in Zalta razvijeta alternativni pristop na podlagi "teorije predmetov" drugega avtorja. Glavna značilnost teorije predmetov je zelo splošno načelo razumevanja, ki trdi obilico abstraktnih predmetov: za vsako zbirko lastnosti obstaja abstrakten objekt, ki »kodira« natančno te lastnosti. V teoriji predmetov pa tudidva abstraktna predmeta sta identična samo, če kodirata popolnoma enake lastnosti. Načelo razumevanja teorije predmetov in kriterij identitete naj bi "zagotavljali povezavo med našo kognitivno sposobnost razumevanja in abstraktnimi predmeti" (prav tam, str. 547). (Za kritično razpravo glej Ebert & Rossberg 2007.)

4.3 Lahke pomenske vrednosti

Predpostavimo, da je objektni realizem resničen. Za udobje predpostavimo tudi Klasično semantiko. Te predpostavke zagotavljajo, da se posamezni izrazi in kvantifikatorji matematičnega jezika nanašajo na abstraktne predmete in segajo po njih. Ali bi moral biti ob upoštevanju teh predpostavk tudi matematični platonist? Z drugimi besedami, ali predmeti, na katere se nanašajo matematični stavki in jih količinsko opredeljujejo, izpolnjujejo neodvisnost ali kakšen podoben pogoj?

Koristno bo ponovno predstaviti naše predpostavke bolj nevtralno. To lahko storimo s sklicevanjem na pojem semantične vrednosti, ki ima pomembno vlogo v semantiki in filozofiji jezika. Na teh področjih je široko domneva, da vsak izraz določen prispevek k resničnosti vrednosti stavkov, v katerih se izraz pojavi. Ta prispevek je znan kot pomenska vrednost izraza. Splošno velja, da je (vsaj v ekstenzivnih kontekstih) semantična vrednost posameznega izraza samo njegova referenca.

Naše domneve lahko zdaj nevtralno navedemo kot trditev, da imajo matematični singularni izrazi abstraktne semantične vrednosti in da se njegovi kvantifikatorji gibljejo glede na vrste predmeta, ki služijo kot pomenske vrednosti. Osredotočimo se na trditev o edninskih izrazih. Kakšen je filozofski pomen te trditve? Še posebej, ali podpira neko različico Neodvisnosti ? Odgovor bo odvisen od tega, kaj je potrebno, da ima matematični singularni izraz semantično vrednost.

Nekateri filozofi trdijo, da ni treba prav veliko (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 in Linnebo 2012 in 2018). Dovolj je, da izraz t nekaj konkretnega prispeva k resničnostnim stavkom stavkov, v katerih se pojavlja. Celoten namen pojma semantične vrednosti je bil predstavljati take prispevke. Zato zadostuje, da ima posamezen izraz semantično vrednost, da lahko kakšen tak primeren prispevek.

To lahko celo odpre pot za obliko neeliminacijskega redukcionizma o matematičnih predmetih (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Čeprav je popolnoma res, da ima matematični singularni izraz t abstraktni objekt kot svojo pomensko vrednost, se lahko ta resnica pridobi na podlagi bolj osnovnih dejstev, ki zadevnega abstraktnega predmeta ne omenjajo ali vključujejo. Primerjajte na primer razmerje lastništva osebe in njenega bančnega računa. Čeprav je popolnoma res, da ima oseba bančni račun, lahko to resnico pridobi na podlagi bolj osnovnih socioloških ali psiholoških dejstev, ki bančnega računa ne omenjajo ali vključujejo.

Če je nekaj lahkega prikaza semantičnih vrednosti zagovorljivo, lahko sprejmemo predpostavke objektnega realizma in klasične semantike, ne da bi se zavezali k kateri koli tradicionalni ali robustni obliki platonizma.

4.4 Dve nadaljnji lahki obliki realizma predmetov

Zaključimo z opisom dveh nadaljnjih primerov lahkih oblik objektnega realizma, ki zavračajo platonistično analogijo med matematičnimi predmeti in navadnimi fizičnimi predmeti.

Prvič, morda matematični predmeti obstajajo le na potencialni način, ki je v nasprotju z dejanskim načinom obstoja navadnih fizičnih predmetov. Ta ideja je v središču starodavne predstave o potencialni neskončnosti (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Po Aristotelu so naravne številke potencialno neskončne v smislu, da ne glede na veliko število, ki smo ga proizvedli (s sprostitvijo v fizičnem svetu), je mogoče ustvariti še večje število. Toda Aristotel zanika, da so naravne številke pravzaprav neskončne: za to bi bil potreben fizični svet neskončen, kar je po njegovem mnenju nemogoče.

Po Cantorju večina matematikov in filozofov zagovarja dejansko neskončnost naravnih števil. To je delno mogoče tudi z zanikanjem Aristotelove zahteve, da je treba v fizičnem svetu izvesti vsako številko. Če tega zanikamo, dejanska neskončnost naravnih števil ne pomeni več neskončnosti fizičnega sveta.

Toda oblika potencializma glede hierarhije množic še naprej uživa precejšnjo podporo, zlasti v povezavi z iterativno zasnovo množic (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Ne glede na to, koliko sklopov je bilo oblikovanih, je možno oblikovati še več. Če je res, bi to pomenilo, da imajo množice potencialno obliko obstoja, ki jih močno razlikuje od navadnih fizičnih predmetov.

Drugič, morda so matematični predmeti ontološko odvisni ali izvedeni na način, ki jih razlikuje od neodvisno obstoječih fizičnih objektov (Rosen 2011, Donaldson 2017). Na primer, pravkar omenjeni Aristotelov pogled je naravna številka odvisna od njegovega obstoja od neke instancije ali drugega v fizičnem svetu. Obstajajo tudi druge različice pogleda. Na primer, Kit Fine (1995) in drugi trdijo, da je nabor ontološko odvisen od njegovih elementov. (To mnenje je tudi tesno povezano z zgoraj omenjenim teoretičnim potencializmom.)

Bibliografija

  • Azzouni, Jody, 2004, Odstranjevanje eksistencialne posledice: primer za nominalizem, Oxford: Oxford University Press.
  • Balaguer, Mark, 1998, Platonizem in antiplatonizem v matematiki, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, „Teorija matematične pravilnosti in matematične resnice“, Pacific Philosophical Quarterly, 82: 87–114.
  • Benacerraf, Paul, 1965, "Katerih številk ne bi moglo biti", Filozofski pregled, 74: 47–73.
  • –––, 1973, „Matematična resnica“, Journal of Philosophy, 70 (19): 661–679.
  • –––, 1996, „Kakšne matematične resnice ne bi mogel biti“, v Benacerraf in njegovi kritiki, A. Morton in S. Stich, ur., Oxford: Blackwell.
  • Benacerraf, Paul in Putnam, Hilary (ur.), 1983, Filozofija matematike: izbrana branja, Cambridge: Cambridge University Press. Druga izdaja.
  • Bernays, Paul, 1935, "O platonizmu v matematiki", Ponatis v Benacerraf in Putnam (1983).
  • Bigelow, John, 1988, The Reality of Numbers: A Physicalist's Philosophy of Mathematics, Oxford: Clarendon.
  • Burgess, John P., 1999, "Pregled Stewarta Shapira, Filozofija matematike: struktura in ontologija", Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (2): 283–91.
  • –––, 2004, „Pregled Jodya Azzounija, odstranjevanje eksistencialne posledice: primer za nominalizem“, Bilten simbolične logike, 10 (4): 573–577.
  • Burgess, John P. and Rosen, Gideon, 1997, Subject with No Object, Oxford: Oxford University Press.
  • Cole, Julian C., 2009, "Ustvarjalnost, svoboda in avtoriteta: nov pogled na metafiziko matematike", Avstralska revija za filozofijo, 87: 589–608.
  • Clarke-Doane, Justin, 2017, "Kaj je problem Benacerrafa?", V novih perspektivah filozofije Paula Benacerrafa: resnica, predmeti, neskončnost (letnik 28: Logika, epistemologija in enotnost znanosti), F. Pataut (ur.), Cham: Springer, 17–43.
  • Colyvan, Mark in Zalta, Edward N., 1999, "Matematika: resnica in fikcija?", Philosophia Mathematica, 7 (3): 336–349.
  • Donaldson, Thomas, 2017, “(metafizični) temelji aritmetike?”, Noûs, 51 (4): 775–801.
  • Dummett, Michael, 1978a, "Filozofska osnova intuicijske logike", v Resnici in drugih Enigmah, Cambridge, MA: Harvard University Press, 215–247; ponatisnili v Benacerrafu in Putnamu (1983).
  • –––, 1978b, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1981, Frege: Filozofija jezika, Cambridge, MA: Harvard University Press, drugo izd.
  • –––, 1991a, Frege: Filozofija matematike, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991b, Logične osnove metafizike, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Ebert, Philip in Rossberg, Marcus, 2007, "Kaj je namen neo-logike?", Travaux de Logique, 18: 33–61.
  • Feferman, Solomon, 2009, „Koncepti kontinuuma“, Intellectica, 51: 169–89.
  • Field, Hartry, 1989, realizem, matematika in modalnost, Oxford: Blackwell.
  • Fine, Kit, 1994, »Ontološka odvisnost«, Zbornik Aristotelove družbe, 95: 269–290.
  • Frege, Gottlob, 1953, Temelji aritmetike, Oxford: Blackwell. Prevedi avtor JL Austin
  • Gaifman, Haim, 1975, »Ontologija in konceptualni okviri, I. del«, Erkenntnis, 9: 329–353.
  • Gödel, Kurt, 1944, "Russell's Mathematical Logic", V Benacerraf in Putnam (1983).
  • –––, 1964, „Kaj je Cantorjeva kontinuirana hipoteza?“, V Benacerraf in Putnam (1983).
  • –––, 1995, „Nekaj osnovnih teoremov o temeljih matematike in njihove posledice“, v Collected Words, S. Feferman in sod., Ed., Oxford: Oxford University Press, vol. III, 304–323.
  • Goodman, Nelson, 1956, "Svet posameznikov", ponatis. v P. Benacerraf in H. Putnam, eds., Filozofija matematike: izbrana branja, 1. izd., Prentice-Hall.
  • Hale, Bob, 1987, Abstraktni predmeti, Oxford: Blackwell.
  • Hale, Bob in Wright, Crispin, 2000, "Implicit Definition and the A Priori", v New Essays on the A Priori, Paul Boghossian in Christopher Peacocke, ur., Oxford: Oxford University Press. Ponatisnjeno v Hale in Wright (2001).
  • –––, 2001, Reason's Proper Study, Oxford: Clarendon.
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Matematika brez števil, Oxford: Clarendon.
  • –––, 2001, „Tri sorte matematičnega strukturalizma“, Philosophia Mathematica, 9 (3): 184–211.
  • Hersh, Reuben, 1997, Kaj je matematika, res?, Oxford: Oxford University Press.
  • Hilbert, David, 1996, "Matematični problemi", v Od Kant do Hilbert, William Ewald, ur., Oxford: Oxford University Press, vol. 2, 1096–1105.
  • Hofweber, Thomas, 2000, "Kvantifikacija in neobstoječi predmeti", v Praznih imenih, leposlovje in uganka neobstoja, Anthony Everett in Thomas Hofweber, ur., Stanford, CA: CSLI Publications, 249–73.
  • –––, 2005, „Številčne določitve, številke in aritmetika“, Filozofski pregled, 114 (2): 179–225.
  • –––, 2016, Ontologija in ambicije metafizike, Oxford: Oxford University Press.
  • Isaacson, Daniel, 1994, "Matematična intuicija in objektivnost", iz matematike in uma, Alexander George, ur., Oxford: Oxford University Press, pogl. 5.
  • Jané, Ignasi, 2010, “Idealistični in realistični elementi v Cantorjevem pristopu k teoriji množic”, Philosophia Mathematica, 18 (2): 193–226.
  • Kitcher, Philip, 1978, "Težav platonista", Noûs, 12: 119–136.
  • Kreisel, Georg, 1958, "Pregled pripomb Wittgensteina o temeljih matematike", British Journal for the Philosophy of Science, 9: 135–158.
  • Lear, Jonathan, 1980, "Aristotelovska neskončnost", Zbornik Aristotelove družbe, 80: 187–210.
  • Lewis, David, 1991, Deli razredov, Oxford: Blackwell.
  • Linnebo, Øystein, 2006, “Epistemološki izzivi matematičnemu platonizmu”, Filozofske študije, 129 (3): 545–574.
  • –––, 2008, „Strukturalizem in pojem odvisnosti“, Filozofsko četrtletje, 58: 59–79.
  • –––, 2012, „Sklicevanje z abstrakcijo“, Zbornik Aristotelove družbe, 112: 45–71.
  • –––, 2013, „Potencialna hierarhija sklopov“, Pregled simbolične logike, 6 (2): 205–228.
  • –––, 2017, Filozofija matematike, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2018, Tanki predmeti: abstrakcionistični račun, Oxford: Oxford University Press.
  • Linnebo, Øystein in Shapiro, Stewart, 2017, “Dejanska in potencialna neskončnost”, Noûs, doi: 10.1111 / n.12.128.
  • Linsky, Bernard in Zalta, Edward N., 1995, "Naturalized platonism versus platonized naturalism", Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555.
  • Linsky, Bernard in Zalta, Edward N., 2006, "Kaj je neologizem?", Bilten simbolične logike, 12 (1): 60–99.
  • MacBride, Fraser, 2005, "Strukturalizem na novo" v priročniku Filozofije matematike in logike Oxford, Stewart Shapiro, ur., Oxford: Clarendon, 563–589.
  • Maddy, Penelope, 1990, Realizem matematike, Oxford: Clarendon.
  • –––, 1997, Naravnost v matematiki, Oxford: Clarendon.
  • Martin, Donald A., 2001, “Več univerzumov množic in nedoločenih resničnih vrednosti”, Topoi, 20 (1): 5–16.
  • Moltmann, Friederike, 2013, “Sklicevanje na številke v naravnem jeziku”, Filozofske študije, 162: 499–536.
  • Parsons, Charles, 1977, "Kaj je iterativni koncept niza?" v logiki, temelje matematike in teoriji računanja (The University of Western Ontario Series of Philosophy of Science: zvezek 9), RE Butts in J. Hintikka (ur.), Dortrecht: Springer, 335–367.
  • –––, 1980, „Matematična intuicija“, Zbornik Aristotelove družbe, 80: 145–68.
  • –––, 1983, Matematika iz filozofije, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1990, „Strukturalistični pogled na matematične predmete“, Synthese, 84: 303–346.
  • –––, 1995, „Platonizem in matematična intuicija v misli Kurta Gödela“, Bilten simbolične logike, 1 (1): 44–74.
  • Quine, WV, 1969, "Obstoj in kvantifikacija", v Ontological Relativity and Other Essays, New York: Columbia University Press, 91–113.
  • Rayo, Agustín, 2008, “O določitvi resničnih pogojev”, Filozofski pregled, 117 (3): 385–443.
  • –––, 2013, The Construction of Logical Space, Oxford: Oxford University Press.
  • Rees, DA, 1967, "Platonizem in platonska tradicija", v Enciklopediji filozofije, Paul Edwards, ur., New York: Macmillan, vol. 5, 333–341.
  • Resnik, Michael, 1980, Frege in filozofija matematike, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1997, Matematika kot znanost o vzorcih, Oxford: Oxford University Press.
  • Restall, Greg, 2003, "Le kaj je polnokrvni platonizem?", Philosophia Mathematica, 11 (1): 82–91.
  • Rosen, Gideon, 2011, "Realnost matematičnih predmetov", v Meaning in Mathematics, J. Polkinghorne (ur.), Oxford: Oxford University Press, 113–132.
  • Shapiro, Stewart, 1997, Filozofija matematike: struktura in ontologija, Oxford: Oxford University Press.
  • Studd, James, 2013, "Iterativno pojmovanje niza: a (bi-) modalna aksiomatizacija", Journal of Philosophical Logic, 42 (5): 1–29.
  • Wright, Crispin, 1983, Fregeovo pojmovanje števil kot predmetov, Aberdeen: Aberdeen University Press.
  • –––, 1992, Resnica in objektivnost, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

[S predlogi se obrnite na avtorja.]

Priporočena: