Teorija Modelov

Kazalo:

Teorija Modelov
Teorija Modelov

Video: Teorija Modelov

Video: Teorija Modelov
Video: Шехтман В. Б. - Введение в математическую логику и теорию алгоритмов - Эквивалентность моделей 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Teorija modelov

Prvič objavljeno v soboto, 10. novembra 2001; vsebinska revizija sreda, 17. julij 2013

Teorija modelov se je začela s preučevanjem formalnih jezikov in njihovih interpretacij ter vrst klasifikacije, ki jo lahko določen formalni jezik naredi. Teorija glavnih modelov je zdaj prefinjena veja matematike (glej vnos o teoriji modelov prvega reda). Toda v širšem smislu je teorija modelov študija interpretacije katerega koli jezika, formalnega ali naravnega, s pomočjo teoretičnih struktur, z definicijo resnice Alfreda Tarskega kot paradigmo. V tem širšem smislu se teorija mode srečuje s filozofijo na več točkah, na primer v teoriji logične posledice in v semantiki naravnih jezikov.

  • 1. Osnovni pojmi teorije modelov
  • 2. Modelno-teoretska definicija
  • 3. Modelno-teoretična posledica
  • 4. Izrazna trdnost
  • 5. Modeli in modeliranje
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Osnovni pojmi teorije modelov

Včasih napišemo ali izgovorimo stavek (S), ki ne izraža nič ne resničnega bodisi napačnega, ker manjkajo nekateri ključni podatki o tem, kaj pomenijo besede. Če nadaljujemo z dodajanjem teh podatkov, tako da (S) pride do izraza resnične ali napačne izjave, bomo rekli, da razlagamo (S), dodane informacije pa imenujemo razlaga (S). Če se pri interpretaciji (I) zgodi, da je (S) nekaj resničnega, rečemo, da je (I) model (S) ali da (I) izpolnjuje (S)), s simboli '(I / vDash S)'. Drug način reči, da je (I) model (S), je reči, da je (S) res v (I), in tako imamo pojem model-teoretične resnice, ki je resnica v določeni razlagi. Toda treba si je zapomniti, da je stavek '(S) resničen v (I)' le parafraza '(S), če ga razlagamo kot (I), je resničen'tako je model-teoretska resnica parazitska na navadni navadni resnici in jo lahko vedno parafraziramo stran.

Na primer, lahko rečem

Vse jih pobija,

in ponudite razlago, da je "on" Alfonso Arblaster iz 35 The Crescent, Beetleford in da so "oni" golobi v njegovem podstrešju. Ta razlaga pojasnjuje (a) na katere predmete se nanašajo nekateri izrazi in (b) na katere razrede segajo nekateri kvantifikatorji. (V tem primeru je en kvantifikator: "vsi". Interpretacije, sestavljene iz postavk (a) in (b), se v teoriji modelov pojavljajo zelo pogosto in so znane kot strukture. Nekatere vrste teorije modelov uporabljajo določene vrste strukture; na primer teorija matematičnih modelov ponavadi uporablja tako imenovane strukture prvega reda, modelna teorija modalne logike uporablja Kripke strukture itd.

Struktura (I) v prejšnjem odstavku vključuje en fiksni objekt in en fiksni razred. Ker smo danes opisali strukturo, je danes razred golobov v Alfonsovem podstrešju, ne tistih, ki bodo jutri prišli nadomestiti. Če Alfonso Arblaster danes pobije vse golobe v svojem podstrešju, potem (I) danes izpolni navedeni stavek, a ga ne bo zadovoljil jutri, saj Alfonso ne more iste golobe dvakrat pobiti. Glede na to, za kaj želite uporabiti teorijo modelov, boste morda danes z veseljem ocenili stavke (privzeti čas) ali pa boste morda želeli zabeležiti, kako so zadovoljni naenkrat in ne v drugem. V zadnjem primeru lahko relativizirate pojem modela in napišete '(I / vDash_t S)', kar pomeni, da je (I) model (S) v času (t). Enako velja za kraje,ali k čemur koli drugemu, kar bi ubralo druge implicitne indeksne značilnosti stavka. Na primer, če verjamete v možne svetove, lahko indeks (vDash) indeksirate po možnem svetu, kjer je treba oceniti stavek. Razen uporabe teorije množic je teorija modelov povsem agnostna glede tega, kakšne stvari obstajajo.

Upoštevajte, da predmeti in razredi v strukturi nosijo nalepke, ki jih usmerjajo v prave izraze v stavku. Te nalepke so bistveni del strukture.

Če se za razlago vseh kvantifikatorjev uporablja isti razred, se razred imenuje domena ali vesolje strukture. Toda včasih obstajajo kvantifikatorji, ki segajo v različne razrede. Na primer, če rečem

Ena izmed teh škodljivih bolezni je ubijanje vseh ptic.

iskali boste razlago, ki bo razred bolezni dodelila „tistim stvarnim boleznim“in razred ptic „pticam“. Za razlage, ki dajejo dva ali več razredov za različne kvantifikatorje, naj bi bilo več razvrščenih, razredi pa se včasih imenujejo sorte.

Zgornje zamisli so še vedno lahko koristne, če začnemo s stavkom (S), ki pove nekaj resničnega ali napačnega, ne da bi bilo potrebno nadaljnje razlage. (Modelni teoretiki pravijo, da je tak stavek v celoti interpretiran.) Na primer, lahko štejemo napačne razlage (I) popolnoma interpretiranega stavka (S). Napačna razlaga (S), zaradi katere je resnična, je znana kot nestandardni ali nenamerni model (S). Veja matematike, imenovana nestandardna analiza, temelji na nestandardnih modelih matematičnih izjav o resničnih ali kompleksnih številskih sistemih; glej oddelek 4 spodaj.

Govorimo tudi o modelno-teoretični semantiki naravnih jezikov, ki je način opisovanja pomenov stavkov v naravnem jeziku, ne pa način njihovega pomena. Povezava te semantike in teorije modelov je malo posredna. Leži v definiciji resnice Tarski iz leta 1933. Za podrobnosti glej vnos o definicijah Tarške resnice.

2. Modelno-teoretska definicija

Stavek (S) razdeli vse svoje možne interpretacije na dva razreda, tiste, ki so njegovi vzorci, in tiste, ki niso. Na ta način definira razred, in sicer razred vseh svojih modelov, napisanih (Mod (S)). Če uporabimo pravni primer, stavek

Prva oseba je nepremičnino prenesla na drugo osebo, ki ima lastnino v korist tretje osebe.

definira razred struktur, ki imajo na primer označene 4-zapore (na primer nalepka nalepke na levi strani):

  • prva oseba = Alfonso Arblaster;
  • posest = zapuščeno zemljišče za Alfonsovo hišo;
  • druga oseba = John Doe;
  • tretja oseba = Richard Roe.

To je tipična modelno-teoretična definicija, ki opredeljuje razred struktur (v tem primeru razred, ki ga pravniki poznajo kot zaupniki).

Lahko razširimo idejo o modelno-teoretični definiciji iz enega samega stavka (S) na niz (T) stavkov; (Mod (T)) je razred vseh interpretacij, ki so hkrati modeli vseh stavkov v (T). Ko se za določitev razreda na ta način uporablja niz (T) stavkov, matematiki pravijo, da je (T) teorija ali niz aksiomov in da (T) aksiomatizira razred (Mod (T)).

Vzemimo za primer naslednji niz stavkov prvega reda:

(začeti {poravnati *} & / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / forall x (x + 0 = x). \& / forall x (x + (-x) = 0). \& / forall x / forall y (x + y = y + x). / konec {poravnati *})

Tu so oznake dodajni simbol "+", simbol minus "(-)" in stalni simbol "0". Za razlago je treba določiti tudi domeno za kvantifikatorje. Z enim pogojem so modeli tega sklopa stavkov prav strukture, ki jih matematiki poznajo kot abelovske skupine. Predpostavka je, da mora domena v abelovski skupini (A) vsebovati interpretacijo simbola 0 in jo je treba zapreti pod interpretacijo simbolov + in (-). V teoriji matematičnih modelov človek vgradi ta pogoj (ali ustrezne pogoje za druge funkcije in stalne simbole) v definicijo strukture.

Vsaka matematična struktura je vezana na določen jezik prvega reda. Struktura vsebuje interpretacije določenih predikatov, funkcij in stalnih simbolov; vsak predikat ali funkcijski simbol ima fiksno arity. Zbir (K) teh simbolov se imenuje podpis strukture. Simbole v podpisu pogosto imenujemo nelogične konstante, starejše ime zanje pa primitivi. Jezik podpisa (K) prvega reda je jezik prvega reda, sestavljen s simboli v (K), skupaj z znakom enakosti =, da sestavi svoje atomske formule. (Glej vnos o klasični logiki.) Če je (K) podpis, (S) stavek jezika podpisa (K) in (A) je struktura, katere podpis je (K), potem ko se simboli ujemata, vemo, da (A) naredi (S) resnično ali napačno. Torej eden definira razred abelovskih skupin kot razred vseh tistih struktur podpisov (+), (-), (0), ki so modeli zgornjih stavkov. Poleg tega, da uporablja formalni jezik prvega reda, je to ravno običajna opredelitev razreda abelovskih skupin algebraistov; teorija modelov formalizira nekakšno definicijo, ki je v matematiki izredno pogosta.

Zdaj imajo definirni aksiomi za abelovske skupine tri vrste simbola (razen ločil). Najprej je tu logični simbol = s fiksnim pomenom. Drugič, tu so nelogične konstante, ki interpretirajo z uporabo določene strukture; z njimi bi morali razvrstiti simbole kvantifikatorjev, ker struktura določa tudi domeno, nad katero se kvantifikatorji gibljejo. In tretje so spremenljivke (x, y) itd. Ta tristopenjski vzorec simbolov nam omogoča, da razrede definiramo na drug način. Namesto da bi iskali interpretacije neloških konstant, ki bodo povedle, da bo stavek resničen, popravimo razlage neloških konstant z izbiro določene strukture (A) in iščemo dodelitve elementov (A) spremenljivk, ki bodo dano formulo postale resnične v (A).

Na primer, naj bo (mathbb {Z}) skupina dodatkov celih števil. Njeni elementi so cela števila (pozitivna, negativna in 0), simboli (+), (-), (0) pa imajo svoje običajne pomene. Razmislite o formuli

[v_1 + v_1 = v_2.)

Če številko (- 3) dodelimo (v_1) in številko (- 6) do (v_2), formula deluje kot resnična v (mathbb {Z}). To izrazimo tako, da par ((- 3, -6)) izpolnjuje to formulo v (mathbf {Z}). Prav tako (15,30) in (0,0) to izpolnjujeta, vendar ((2, -4)) in (3,3) ne. Tako formula definira binarno razmerje na cela števila, in sicer množico parov celih števil, ki jo izpolnjujejo. Tako določena relacija v strukturi (A) se v (A) imenuje razmerje prvega reda. Koristna posplošitev je, da omogočimo definirajoči formuli uporabo dodanih imen za nekatere posebne elemente (A); ti elementi se imenujejo parametri in razmerje se nato določi s parametri.

Ta druga vrsta opredelitve, ki opredeljuje razmerja znotraj strukture in ne razredov strukture, tudi formalizira običajno matematično prakso. Toda tokrat vadba pripada bolj geometriji kot algebri. Razmerje lahko prepoznate v polju resničnih števil, definiranih s formulo

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

To je krog polmera 1 okoli začetka v realni ravnini. Algebrajska geometrija je polna tovrstnih definicij.

V štiridesetih letih je več ljudem (predvsem Anatoliju Mal'tsevu v Rusiji, Alfredu Tarskiju v ZDA in Abrahamu Robinsonu v Veliki Britaniji) prišlo, da bi metateoreme klasične logike lahko uporabili za dokazovanje matematičnih izrek o razredih, opredeljenih na dva načina, ki ju imamo pravkar opisano. Leta 1950 sta bila Robinson in Tarski povabljena, da nagovorita mednarodni kongres matematikov v Cambridgeu Mass. O tej novi disciplini (ki še ni imela imena - Tarski je leta 1954 predlagal ime "teorija modelov"). Zaključek Robinson-ovega nagovora na tem kongresu je vredno navesti:

[Konkretni primeri, predstavljeni v tem prispevku, bodo pokazali, da sodobna simbolična logika lahko ustvari koristna orodja - čeprav nikakor ne vsemogočna - za razvoj dejanske matematike, še posebej za razvoj algebre in, kot kaže, algebarska geometrija. To je uresničitev ambicije, ki jo je Leibniz izrazil v pismu Huyghensu že leta 1679.

V resnici je Mal'tsev že nekaj let prej uporabil teorijo modelov v teoriji skupin, toda pod političnimi pogoji časa njegovo delo v Rusiji na Zahodu še ni bilo znano. Do konca dvajsetega stoletja so se Robinsonova upanja dobro izpolnila; glej vnos o teoriji modelov prvega reda.

Poleg teh dveh zgoraj sta v teoriji modelov še vsaj dve vrsti opredelitev. Tretja je znana kot interpretacija (poseben primer interpretacij, ki smo jih začeli). Tu začnemo s strukturo (A) in zgradimo drugo strukturo (B), katere podpis ni treba povezati s podpisom (A), tako da določimo domeno (X) v (B) in vsa označena razmerja in funkcije (B), ki so razmerja, ki jih v (A) lahko določimo z določenimi formulami s parametri. Nadaljnja opredelitev je, da najdemo določljivo razmerje enakovrednosti na (X) in vzamemo, da domena (B) ni sama (X), temveč niz razredov enakovrednosti tega razmerja. Tako grajena struktura (B) naj bi bila razlagana v strukturi (A).

Preprost primer, spet iz običajne matematike, je razlaga skupine (mathbb {Z}) celih števil v strukturi (mathbb {N}), sestavljene iz naravnih števil 0, 1, 2 itd. z nalepkami za 0, 1 in +. Za izgradnjo domene (mathbb {Z}) najprej vzamemo niz (X) vseh urejenih parov naravnih števil (očitno določljiv odnos v (mathbb {N})) in naprej ta niz (X) določimo razmerje enakovrednosti (sim) s

[(a, b) sim (c, d) besedilo {če in samo, če} a + d = b + c)

(spet določljivo). Domena (mathbb {Z}) je sestavljena iz razredov enakovrednosti tega razmerja. Dodajanje določimo na (mathbb {Z}) s

[(a, b) + (c, d) = (e, f) besedilo {če in samo, če} a + c + f = b + d + e.)

Ekvivalenčni razred ((a, b)) postane celo število (a - b).

Ko se struktura (B) razlaga v strukturi (A), lahko vsak stavek prvega reda o (B) prevedemo nazaj v izjavo prvega reda o (A) in v tem tako lahko iz teorije (A) preberemo celotno teorijo (B). Dejansko če izvedemo to konstrukcijo ne le za eno strukturo (A), temveč za družino modelov teorije (T), pri čemer vedno uporabljamo iste definirajoče formule, bodo posledične strukture vse modele teorija (T '), ki jo je mogoče prebrati iz (T) in definirajočih formul. To daje natančen smisel trditvi, da se teorija (T ') razlaga v teoriji (T). Filozofi znanosti so včasih eksperimentirali s tem pojmom interpretacije kot načinom, kako natančno določiti, kaj pomeni, da je ena teorija znosna na drugo. Vendar se zdijo realistični primeri zmanjšanja med znanstvenimi teorijami na splošno precej bolj subtilni, kot bo to omogočala preprosta miselna teoretična ideja. Glej vnos o medsebojnih odnosih v fiziki.

Četrta vrsta določljivosti je par pojmov, implicitna določljivost in eksplicitna določljivost določenega razmerja v teoriji. Glej oddelek 3.3 vnosa o teoriji modelov prvega reda.

Na žalost je bila včasih zelo zmedena teorija o model-teoretičnih aksiomih, ki je šla tudi pod ime implicitne definicije. Konec devetnajstega stoletja je matematična geometrija na splošno prenehala biti preučevanje vesolja in postala je študija razredov struktur, ki izpolnjujejo določene 'geometrijske' aksiome. Geometrijski izrazi, kot so „točka“, „črta“in „med“, so preživeli, vendar le kot primitivni simboli v aksiomih; niso imeli več nobenega pomena, povezanega z njimi. Torej staro vprašanje, ali je bil Euclidov vzporedni postulat (kot izjava o vesolju) ločljiv od drugih predvidevanj o vesolju Euclida, za geometre ni bilo več zanimivo. Namesto tega so geometri pokazali, da če zapišemo posodobljeno različico drugih predvidevanj Euclida v obliki teorije (T),potem je bilo mogoče najti modele (T), ki ne ustrezajo vzporednemu postulatu. (Glej vnos o geometriji v 19. stoletju glede prispevkov Lobačevskega in Kleina k temu dosežku.) Leta 1899 je David Hilbert izdal knjigo, v kateri je konstruiral take modele, pri čemer je uporabil natanko metodo interpretacije, ki smo jo pravkar opisali.

Težave so se pojavile zaradi načina, kako so Hilbert in drugi opisovali, kaj počnejo. Zgodovina je zapletena, v grobem pa se je zgodilo naslednje. Približno sredi devetnajstega stoletja so ljudje na primer opazili, da je v abelovski skupini minus funkcija določljiva v smislu 0 in + (in sicer: (- a) je element (b) tak, da (a + b = 0)). Ker je ta opis minus v resnici eden izmed aksiomov, ki definirajo abelovske skupine, lahko rečemo (z uporabo izraza JD Gergonne, ki ne bi smel biti odgovoren za kasnejšo uporabo iz njega), da aksiomi za abelovske skupine implicitno definirajo minus. V takratnem žargonu človek ni rekel, da aksiomi definirajo funkcijo minus, ampak da definirajo pojem minus. Predpostavimo, da se preklopimo in poskusimo določiti plus v smislu minus in 0. Tako tega ni mogoče storiti, saj ima lahko ena dve abelovski skupini z istim 0 in minusom, vendar različnimi plus funkcijami. Namesto da bi to povedali, so matematiki iz devetnajstega stoletja ugotovili, da aksiomi le delno definirajo plus v smislu minus in 0. Ko so toliko pogoltnili, so nadaljevali z besedami, da aksiomi skupaj tvorijo implicitno opredelitev pojmov plus, minus in 0 skupaj in da je ta implicitna definicija le delna, vendar o teh konceptih piše natanko toliko, kot moramo vedeti.nadaljevali so s tem, da aksiomi skupaj tvorijo implicitno definicijo pojmov plus, minus in 0, in da je ta implicitna definicija le delna, vendar o teh konceptih piše natanko toliko, kot moramo vedeti.nadaljevali so s tem, da aksiomi skupaj tvorijo implicitno definicijo pojmov plus, minus in 0, in da je ta implicitna definicija le delna, vendar o teh konceptih piše natanko toliko, kot moramo vedeti.

Človek se sprašuje, kako se lahko zgodi, da petdeset let nihče ni oporekal tej neumnosti. Dejansko so nekateri izpodbijali, zlasti geometer Moritz Pasch, ki je v oddelku 12 svojega Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882) vztrajal, da nam geometrijski aksiomi ničesar ne povejo o pomenu "točka", "črta" itd. Namesto tega dejal, da nam aksiomi dajejo razmerja med pojmoma. Če kdo misli na strukturo kot na vrsto urejenega (n) - nabora nizov itd., Postane razred (Mod (T)) razmerje (n) - ary in Paschov račun se strinja z našo. Toda podrobnosti ni mogel natančno določiti, in obstaja nekaj dokazov, da so njegovi sodobniki (in nekateri novejši komentatorji) mislili, da pravi, da aksiomi morda ne določajo pomenov "točka" in "črta",vendar določajo izraze relacij, kot sta 'med' in 'incident z'! Fregeovo rušenje doktrine implicitne definicije je bilo mojstrsko, a prišlo je prepozno, da bi Hilbert rekel, da bi na začetku svojega Grundlagen der Geometrie rekel, da njegovi aksiomi dajejo "natančen in matematično ustrezen opis" odnosov "laž", " med 'in' kongruentno '. Na srečo Hilbertova matematika govori sama zase in te filozofske faux pas lahko preprosto mimo. Zdi se, da je modelno-teoretični zapis, ki ga zdaj upoštevamo kot pravilen opis tega dela, prvi v skupini okoli Giuseppe Peano v 1890-ih, angleško govoreči svet pa je dosegel prek Načela matematike Bertranda Russella leta 1903.vendar je Hilbert prišel prepozno, da bi na začetku svojega Grundlagen der Geometrie rekel, da njegovi aksiomi dajejo „natančen in matematično ustrezen opis“odnosov „laž“, „med“in „kongruentno“. Na srečo Hilbertova matematika govori sama zase in človek lahko preprosto zaobide te filozofske napake. Zdi se, da je modelno-teoretični zapis, ki ga zdaj upoštevamo kot pravilen opis tega dela, prvi v skupini okoli Giuseppe Peano v 1890-ih, angleško govoreči svet pa je dosegel prek Načela matematike Bertranda Russella leta 1903.vendar je Hilbert prišel prepozno, da bi na začetku svojega Grundlagen der Geometrie rekel, da njegovi aksiomi dajejo „natančen in matematično ustrezen opis“odnosov „laž“, „med“in „kongruentno“. Na srečo Hilbertova matematika govori sama zase in človek lahko preprosto zaobide te filozofske napake. Zdi se, da je modelno-teoretični zapis, ki ga zdaj upoštevamo kot pravilen opis tega dela, prvi v skupini okoli Giuseppe Peano v 1890-ih, angleško govoreči svet pa je dosegel prek Načela matematike Bertranda Russella leta 1903. Na srečo Hilbertova matematika govori sama zase in človek lahko preprosto zaobide te filozofske napake. Zdi se, da je modelno-teoretični zapis, ki ga zdaj upoštevamo kot pravilen opis tega dela, prvi v skupini okoli Giuseppe Peano v 1890-ih, angleško govoreči svet pa je dosegel prek Načela matematike Bertranda Russella leta 1903. Na srečo Hilbertova matematika govori sama zase in človek lahko preprosto zaobide te filozofske napake. Zdi se, da je model-teoretični zapis, ki ga danes upoštevamo kot pravilen opis tega dela, prvi v skupini okoli Giuseppe Peano v 1890-ih, angleško govoreči svet pa je dosegel prek Bertranda Russellovega Načela matematike leta 1903.

3. Modelno-teoretična posledica

Recimo, da je (L) jezik podpisa (K, T) je niz stavkov (L) in (phi) stavek (L). Nato odnos

(Mod (T) podseteq / Mod (phi))

izraža, da je vsaka struktura podpisa (K), ki je model (T), tudi model (phi). To je znano kot modelno-teoretična posledica posledic in je zapisano na kratko

[T / vDash / phi)

Dvojna uporaba (vDash) je nesreča. Toda v posebnem primeru, ko je (L) prvega reda, nam izrek o popolnosti (glej vnos o klasični logiki) pove, da "(T / vDash / phi)" drži, če in samo če obstaja dokaz (phi) iz (T), razmerje, običajno napisano

[T / vdash / phi)

Ker (vDash) in (vdash) v tem primeru izražata popolnoma enako razmerje, se teoretiki modelov pogosto izognejo dvojni uporabi (vDash) z uporabo (vdash) za teoretično modelno posledico. Ker pa naslednje ni omejeno na jezike prvega reda, varnost kaže, da se tukaj držimo (vDash).

Pred sredino devetnajstega stoletja so učbeniki logike učence navadno učili, kako preveriti veljavnost argumenta (recimo v angleščini) tako, da pokažejo, da ima eno od številnih standardnih obrazcev, ali tako, da jih parafrazirajo v takšno obliko. Standardne oblike so bile skladne in / ali pomenske obrazložitve v angleščini. Postopek je bil nevaren: semantične oblike skorajda po definiciji niso vidne na površini in ni čisto skladenjske oblike, ki bi zagotovila veljavnost argumenta. Zaradi tega je večina starih učbenikov imela dolg razdelek o "zmotnosti" - načini, na katere se zdi neveljaven argument veljaven.

Leta 1847 je George Boole spremenil to ureditev. Na primer za potrditev argumenta

Vsi monarhi so človeška bitja. Nobeno človeško bitje ni nezmotljivo. Zato nobena nezmotljiva bitja niso monarhi.

Boole razlaga simbole (P, Q, R) kot imena razredov:

(P) je razred vseh monarhov.

(Q) je razred vseh ljudi.

(R) je razred vseh nezmotljivih bitij.

Potem bi opozoril, da izvirni argument parafrazira v množico teoretične posledice:

[(P / podselek Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Ta primer je iz Stanleyja Jevonsa, 1869. Lastni račun Boola je idiosinkratski, vendar verjamem, da Jevonsov primer natančno predstavlja Boolove namere.) Danes bi pisali (forall x (Px / rightarrow Qx)), ne pa (P / subseteq Q), vendar je to v bistvu standardna definicija (P / subseteq Q), zato je razlika med nami in Booleom majhna.

V kolikor sledijo Boole-ju, sodobni učbeniki logike ugotavljajo, da so angleški argumenti veljavni, saj jih zreducirajo na modelno-teoretične posledice. Ker razred modelno-teoretičnih posledic, vsaj v logiki prvega reda, nima nobene nejasnosti starih obrazložitvenih oblik, so učbeniki logike v tem slogu že zdavnaj prenehali imeti poglavje o zmotnosti.

Toda v starih učbenikih obstaja še eno opozorilo: Če svoj argument formalizirate na način, ki ni vzorčno-teoretična posledica, to ne pomeni, da argument ni veljaven. Lahko pomeni samo, da niste uspeli dovolj globoko analizirati konceptov v argumentu, preden ste se formalizirali. Stari učbeniki so se razpravljali o tem v razdelku o temah, imenovanem "teme" (tj. Namigi za iskanje argumentov, ki ste jih morda pogrešali). Tu je primer iz španskega Summulae Logicales iz 13. stoletja:

"Obstaja oče. Zato je otrok. " … Od kod izvira veljavnost te trditve? Iz razmerja. Maksimala je: Če je postavljen eden od koreliranih parov, potem je tudi drugi.

Hilbert in Ackermann, morda učbenik, ki je najbolj pripomogel k sodobnemu slogu, v svojem oddelku III.3 razpravljata o zelo podobnem primeru: "Če je sin, potem je oče". Opozarjajo, da je vsak poskus to utemeljiti s simboliko

(obstaja xSx / rightarrow / obstaja xFx)

je obsojen na neuspeh. "Dokaz te trditve je mogoč le, če konceptualno analiziramo pomena dveh predikatov, ki se pojavita", kot ponazarjajo naprej. In seveda analiza natančno ugotavlja odnos, ki ga je navedel Peter iz Španije.

Po drugi strani, če se vaš angleški argument prevede v neveljavno teoretično modelno posledico, lahko nasprotni primer posledice namiga o tem, kako lahko opišete situacijo, zaradi katere bodo premisleka vaše trditve resnične, sklep pa napačen. Vendar to ni zagotovljeno.

Vprašanje je, ali sodobni učbeniški postopek resnično zajame smiselno predstavo o logični posledici. Na primer, v primeru Boola so vse teoretične posledice, na katere se sklicuje, zlahka dokazane s formalnimi dokazi v logiki prvega reda, pri čemer sploh ne uporabljamo nobenih množično-teoretičnih aksiomov; in po izreku o popolnosti (glej vnos o klasični logiki) enako velja za logiko prvega reda. Toda za nekatere druge logike to zagotovo ne drži. Na primer, razmerje med modeli in teoretičnimi posledicami za nekatere logike časa predpostavlja nekaj dejstev o fizični strukturi časa. Tudi, kot je sam poudaril Boole, od njegovega prevoda iz angleškega argumenta v njegovo teoretično obliko zahteva, da verjamemo, da za vsako lastnost, uporabljeno v argumentu,obstaja ustrezen razred vseh stvari, ki imajo lastnost. To je nevarno blizu Fregeovemu neskladnemu aksiomu razumevanja!

Leta 1936 je Alfred Tarski predlagal opredelitev logične posledice za argumente v popolnoma interpretiranem formalnem jeziku. Njegov predlog je bil, da je argument veljaven, če in samo, če: pod kakršno koli dovoljeno reinterpretacijo njegovih nelogičnih simbolov, če so predpostavke resnične, je tako tudi sklep. Tarski je domneval, da se lahko razred dovoljenih reinterpretacij odčita iz semantike jezika, kot je določeno v njegovi definiciji resnice. Neodločeno je pustil, kateri simboli štejejo za nelogične; v resnici je upal, da bo ta svoboda omogočila opredelitev različnih vrst nujnosti, morda ločitev "logičnega" od "analitičnega". Ena izmed stvari, zaradi katerih je Tarski težko oceniti, je, da popolnoma prezre vprašanje, o katerem smo govorili zgoraj, analizo konceptov, da bi dosegli vse logične povezave med njimi. Edina verodostojna razlaga, ki jo lahko vidim za to, se skriva v njegovi očetovski pripombi

nujnost odprave kakršnih koli opredeljenih znakov, ki se utegnejo pojaviti v zadevnih stavkih, tj. njihove nadomestitve s primitivnimi znaki.

To mi kaže, da želi, da bi bili njegovi primitivni znaki po določilih nedosegljivi. Potem pa bo s pogodbo čisto naključno, če njegov pojem logične posledice zajame vse, kar bi človek običajno štel za logično posledico.

Zgodovinarji ugotavljajo podobnost med predlogom Tarskega in tistim v oddelku 147 Bernard Bolzano Wissenschaftslehre iz leta 1837. Tako kot Tarski tudi Bolzano opredeli veljavnost predloga v smislu resnice družine povezanih predlogov. Za razliko od Tarškega, Bolzano poda svoje predloge v besednem jeziku, ne za stavke formalnega jezika z natančno določeno semantiko.

O vsem tem razdelku glej tudi vnos o logični posledici.

4. Izrazna trdnost

Stavek (S) določa njegov razred (Mod (S)) modelov. Glede na dva jezika (L) in (L ') jih lahko primerjamo z vprašanjem, ali je vsak razred (Mod (S)), z (S) stavek (L), je tudi razred oblike (Mod (S ')), kjer je (S') stavek (L '). Če je odgovor da, pravimo, da je (L) mogoče reducirati na (L ') ali da je (L') vsaj tako izrazno kot (L).

Na primer, če je (L) jezik prvega reda z identiteto, katerega podpis je sestavljen iz enodnevnih predikatnih simbolov, in (L ') je jezik, katerega stavki so sestavljeni iz štirih silogističnih oblik (Vsi (A) so (B), nekateri (A) so (B), št (A) so (B), nekateri (A) niso (B)) z uporabo enakih predikatnih simbolov, potem je (L ') mogoče reducirati na (L), ker so silogistične oblike izrazite v logiki prvega reda. (Obstaja nekaj prepirov, o tem, kako naj bi jih izrazil; glej vnos na tradicionalnem trgu nasprotovanja.) Toda jezik prvega reda (L) zagotovo ni mogoče določiti z jezikom (L ') silogizmov, saj lahko v (L) zapišemo stavek, ki pravi, da natanko trije elementi ustrezajo (Px), in tega ni mogoče reči samo z uporabo silogističnih oblik. Ali pa se premaknete v drugo smer,če oblikujemo tretji jezik (L '') tako, da k (L) dodamo kvantifikator (Qx) s pomenom "Obstaja neizbežno veliko elementov (x) takih, da …", potem trivialno (L) je mogoče reducirati na (L ''), vendar navzdol izrek Loewenheim-Skolema naenkrat pokaže, da (L '') ni mogoče reducirati na (L).

Ti pojmi so uporabni za analizo moči jezikov poizvedb baze podatkov. O možnih stanjih baze podatkov lahko razmišljamo kot o strukturah in preprosta poizvedba Da / Ne postane stavek, ki potegne odgovor Da, če je baza podatkov njen vzorec in Ne drugače. Če enega poizvedovalnega jezika baze podatkov ni mogoče reducirati na drugega, lahko prva izrazi nekaj poizvedbe, ki ga ni mogoče izraziti v drugem.

Zato potrebujemo tehnike za primerjavo izraznih jakosti jezikov. Ena izmed najmočnejših tehnik, ki je na voljo, sestavljata povratne in povratne igre Ehrenfeuchta in Fraïsséja med obema igralcema Spoiler in Duplicator; za podrobnosti glej vnos o logiki in igrah. Predstavljajte si, na primer, da igramo običajno igro iz prvega reda (G) med dvema strukturama (A) in (B). Teorija teh iger določa, da če je nek stavek prvega reda (phi) resničen v točno enem od (A) in (B), potem obstaja število (n), ki ga je mogoče izračunati iz (phi), z lastnostjo, da ima Spoiler strategijo za (G), ki bo zagotovila, da bo zmagal v največ (n) korakih. Torej, nasprotno, za prikaz, da logika prvega reda ne more razlikovati med (A) in (B), je dovolj pokazati, da za vsako končno (n),Podvajalnik ima strategijo, ki zagotavlja, da v prvih (n) korakih ne bo izgubila (G). Če nam to uspe pokazati, iz tega izhaja, da kateri koli jezik, ki ločuje med (A) in (B), ni mogoče reducirati na jezik prvega reda struktur (A) in (B).

Te igre nazaj in nazaj so neizmerno prilagodljive. Za začetek imajo prav tako smisel na končnih strukturah kot neskončne; številne druge tehnike klasične teorije modelov domnevajo, da so strukture neskončne. Prav tako se lahko gladko prilagodijo številnim jezikom prvega reda.

Leta 1969 je Per Lindström uporabil igre za vzvratno vožnjo, da je dal nekaj abstraktnih značilnosti logike prvega reda glede na svojo izrazno moč. Eden od njegovih izrek pravi, da če je (L) jezik s podpisom (K, L) zaprt pod vsemi skladenjskimi operacijami prvega reda in (L) posluša navzdol izrek Loewenheim-Skolem za enotnih stavkov in izrek kompaktnosti, potem je (L) možno podpisati v jezik prvega podpisa (K). Ti teoremi so zelo privlačni; glej poglavje XII o Ebbinghausu, Flumu in Thomasu za dober račun. Vendar še nikoli niso izpolnili svojih obljub. Težko je bilo najti podobne značilnosti drugih logik. Tudi pri logiki prvega reda je malo težko natančno videti, kaj nam povedo značilnosti. Toda zelo grobo rečeno,povedo nam, da je logika prvega reda edinstvena logika z dvema lastnostma: (1) lahko jo uporabimo za izražanje poljubno zapletenih stvari o končnih vzorcih in (2) je brezupno za razlikovanje med enim neskončnim kardinalom in drugim.

Ti dve lastnosti (1) in (2) sta le lastnosti prvovrstne logike, ki sta Abrahamu Robinsonu omogočili izdelavo svoje nestandardne analize. Ozadje je, da je Leibniz, ko je izumil diferencialno in integralno računanje, uporabljal infinitezimalne številke, torej številke, ki so večje od 0 in manjše od vseh 1/2, 1/3, 1/4 itd. Na žalost ni takšnih resničnih števil. V devetnajstem stoletju so bile vse opredelitve in dokazi v slogu Leibniz prepisani, da bi govorili o mejah namesto o neskončnih živalih. Zdaj naj bo (mathbb {R}) struktura, sestavljena iz polja resničnih števil, skupaj z vsemi strukturnimi značilnostmi, ki jim želimo dati imena: zagotovo plus in časi, morda vrstni red, nabor celih števil, funkcije sin in dnevnik itd. Naj bo (L) jezik prvega reda, katerega podpis je (mathbb {R}). Zaradi izrazne moči (L) lahko zapišemo poljubno število teoremov računanja kot stavke (L). Zaradi izrazne šibkosti (L) ne moremo v (L) izraziti, da (mathbb {R}) nima neskončnih malčkov. V resnici je Robinson uporabil teoremo kompaktnosti, da je zgradil strukturo (mathbb {R} '), ki je vzorec popolnoma enakih stavkov (L) kot (mathbb {R}), vendar ima infinitesimals. Kot je pokazal Robinson, lahko kopiramo Leibnizove argumente s pomočjo neskončnoštevilčnih vrednosti v (mathbb {R} ') in tako dokažemo, da so različni teoremi preračuna resnični v (mathbb {R}'). Toda te teoreme je mogoče izraziti v (L), zato morajo biti resnične tudi v (mathbb {R}).nikakor ne moremo v (L) izraziti, da (mathbb {R}) nima neskončnih števcev. V resnici je Robinson uporabil teoremo kompaktnosti, da je zgradil strukturo (mathbb {R} '), ki je vzorec popolnoma enakih stavkov (L) kot (mathbb {R}), vendar ima infinitesimals. Kot je pokazal Robinson, lahko kopiramo Leibnizove argumente s pomočjo neskončnoštevilčnih vrednosti v (mathbb {R} ') in tako dokažemo, da so različni teoremi preračuna resnični v (mathbb {R}'). Toda te teoreme je mogoče izraziti v (L), zato morajo biti resnične tudi v (mathbb {R}).nikakor ne moremo v (L) izraziti, da (mathbb {R}) nima neskončnih števcev. V resnici je Robinson uporabil teoremo kompaktnosti, da je zgradil strukturo (mathbb {R} '), ki je vzorec popolnoma enakih stavkov (L) kot (mathbb {R}), vendar ima infinitesimals. Kot je pokazal Robinson, lahko kopiramo Leibnizove argumente s pomočjo neskončnoštevilčnih vrednosti v (mathbb {R} ') in tako dokažemo, da so različni teoremi preračuna resnični v (mathbb {R}'). Toda te teoreme je mogoče izraziti v (L), zato morajo biti resnične tudi v (mathbb {R}).lahko kopiramo Leibnizove argumente s pomočjo neskončnih števk v (mathbb {R} ') in tako dokažemo, da so različni teoremi preračuna resnični v (mathbb {R}'). Toda te teoreme je mogoče izraziti v (L), zato morajo biti resnične tudi v (mathbb {R}).lahko kopiramo Leibnizove argumente s pomočjo neskončnih števk v (mathbb {R} ') in tako dokažemo, da so različni teoremi preračuna resnični v (mathbb {R}'). Toda te teoreme je mogoče izraziti v (L), zato morajo biti resnične tudi v (mathbb {R}).

Ker je argumente, ki uporabljajo infinitesimals, ponavadi lažje predstaviti kot argumente z omejitvami, je nestandardna analiza koristno orodje za matematične analitike. Jacques Fleuriot v svojem doktoratu. diplomska naloga (2001) je avtomatizirala dokazno teorijo nestandardne analize in jo uporabila za nadomeščanje nekaterih dokazov v Newtonovi Principiji.

5. Modeli in modeliranje

Modeliranje pojava je konstruiranje formalne teorije, ki jo opisuje in razlaga. V tesno povezanem smislu oblikujete sistem ali strukturo, ki jo nameravate zgraditi, tako da napišete opis tega sistema. To so zelo različna čutila 'modela' od tistega v teoriji modelov: 'model' pojava ali sistema ni struktura, temveč teorija, pogosto v formalnem jeziku. Univerzalni jezik za modeliranje, na kratko UML, je formalni jezik, zasnovan prav za ta namen. Poročalo se je, da je avstralska mornarica nekoč najela teoretičnega vzorca za službo, ki je „modelirala hidrodinamične pojave“. (Prosim, ne razsvetlite jih!)

Mala zgodovina bo pokazala, kako je beseda „model“prišla do teh dveh različnih uporab. V pozni latinščini je bil „modelllus“merilna naprava, na primer za merjenje vode ali mleka. Po jezičnih jezikih je beseda ustvarila tri različne besede v angleščini: kalup, modul, model. Pogosto naprava, ki meri količino snovi, nanjo naloži tudi obliko. To vidimo pri sirnem kalupu in tudi s kovinskimi črkami (imenovanimi „moduli“v začetku 17. stoletja), ki v tisk nosijo črnilo na papir. Torej 'model' pomeni predmet v roki, ki izraža zasnovo nekaterih drugih predmetov na svetu: umetnikov model ima obliko, kot jo upodablja umetnik, in Christopher Wren 'modul' katedrale svetega Pavla služi za vodenje graditeljev.

Že v poznem 17. stoletju bi lahko beseda "model" pomenila predmet, ki kaže obliko, ne iz predmetov iz resničnega sveta, temveč matematičnih konstrukcij. Leibniz se je hvalil, da za matematiko ne potrebuje modelov. Drugi matematiki so z veseljem uporabljali mavčne ali kovinske modele zanimivih površin. Modeli teorije modelov so se najprej pojavili kot abstraktne različice tovrstnega modela, pri čemer so teorije namesto definirajoče enačbe površine. Po drugi strani bi se lahko zadrževali s predmeti iz resničnega sveta, vendar prikazali njihovo obliko s teorijo in ne s fizično kopijo v roki; 'modeliranje' gradi takšno teorijo.

Imamo zmedeno polovico situacije, ko znanstvenik pojav na svetu opisuje z enačbo, na primer diferencialno enačbo z eksponentnimi funkcijami kot rešitvami. Ali je model teorija sestavljena iz enačbe ali so te eksponentne funkcije same modele pojava? Tovrstni primeri, kjer teorija in strukture dajejo v bistvu enake informacije, zagotavljajo nekaj podpore trditvi Patricka Suppesa, da "je pomen koncepta modela enak v matematiki in empiričnih znanostih" (str. 12 citirane knjige iz leta 1969 spodaj). Več filozofov znanosti je zasledilo idejo o uporabi neformalne različice teoretičnih modelov za znanstveno modeliranje. Včasih so modele opisali kot nejezikovne - to je morda težko uskladiti z našo opredelitvijo modelov v 1. poglavju zgoraj.

Kognitivna znanost je eno področje, kjer razlike med modeli in modeliranjem postanejo zabrisane. Osrednje vprašanje kognitivne znanosti je, kako si predstavljamo dejstva ali možnosti v svojih glavah. Če nekdo formalizira te miselne predstave, postanejo nekaj podobnega kot 'modeli pojavov'. Je pa resna hipoteza, da imajo naše miselne reprezentacije v resnici veliko skupnega s preprostimi teoretičnimi strukturami, tako da so tudi 'modeli' v modelno-teoretičnem smislu. Leta 1983 sta izšli dve vplivni deli kognitivne znanosti, oba pod naslovom Mentalni modeli. Prvo, ki sta ga uredila Dedre Gentner in Albert Stevens, je šlo za ljudske "konceptualizacije" osnovnih dejstev fizike; spada naravnost v svet 'modeliranja pojavov'. Drugi, Philip Johnson-Laird, je večinoma o sklepanju,in v našem smislu poda več pozivov k „modelno-teoretični semantiki“. Raziskovalci Johnson-Lairdove tradicije ponavadi svoj pristop označujejo kot "teorijo modelov" in ga dojemajo v določenem pomenu s tistim, čemur smo rekli teorija modelov.

Slike in diagrami sprva lebdijo na sredini med teorijami in modeli. V praksi teoretiki modelov pogosto narišejo slike struktur in slike uporabijo za razmišljanje o strukturah. Po drugi strani slike ponavadi nimajo označevanja, ki je bistvena značilnost model-teoretičnih struktur. Delo pri sklepanju z diagrami je hitro rastoče in prevladujoča težnja tega dela je, da slike in diagrame vidijo kot obliko jezika, ne pa kot obliko strukture. Na primer Eric Hammer in Norman Danner (v knjigi, ki sta jo uredila Allwein in Barwise, glej Bibliografijo) opisujeta "modelno teorijo Vennovih diagramov"; Vennovi diagrami so sintaksa, teorija modelov pa teoretično razlaga njihovega pomena.

Modelni teoretik Jurij Gurevič je predstavil abstraktne državne stroje (ASM) kot način uporabe modelno-teoretičnih idej za specifikacijo v računalništvu. Glede na spletno mesto Abstract State Machine (glej Druge internetne vire spodaj)

kateri koli algoritem lahko na ustrezni ravni abstrakcije modelira z ustreznim ASM. … ASM uporabljajo klasične matematične strukture za opis stanja izračuna; strukture so dobro razumljivi, natančni modeli.

Spodaj navedena knjiga Börgerja in Stärka predstavlja verodostojen prikaz ASM-ov in njihove uporabe.

Danes lahko svoje ime in bogastvo pridobite z dobrim sistemom zastopanja. Nobenega razloga ni pričakovati, da se bo vsak tak sistem lepo prilegal sintaksičnemu / semantičnemu okviru teorije modelov, presenetljivo pa bo, če model-teoretične ideje ne bodo še naprej pomembno prispevale na tem področju.

Bibliografija

Uvodna besedila

  • Doets, K., 1996, Osnovna teorija modelov, Stanford: Publikacije CSLI.
  • Hodges, W., 1997, Teorija krajših modelov, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Manzano, M., 1999, Model Theory, Oxford: Oxford University Press.
  • Rothmaler, P., 2000, Uvod v teorijo modelov, Amsterdam: Gordon in Breach.

Modelno-teoretska definicija

  • Frege, G., 1906, „Grundlagen der Geometrie“, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 15: 293–309, 377–403, 423–430.
  • Gergonne, J., 1818, „Essai sur la théorie de la définition“, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 9: 1–35.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner.
  • Hodges, W., 2008, "Tarskijeva teorija definicije", v Patterson, D. New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, str. 94-132.
  • Lascar, D., 1998, “Perspektive historyque sur les rapports entre la théorie des modèles et l’algèbre”, Revue d'histoire des mathématiques, 4: 237–260.
  • Mancosu, P., Zach, R. in Badesa, C., 2009, "Razvoj matematične logike od Russella do Tarškega", v L. Haaparanta (ur.), The Development of Modern Logic, Oxford: Oxford University Press, str. 318–470.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Berlin: Springer-Verlag.
  • Robinson, A., 1952, "O uporabi simbolične logike v algebri", Zbornik mednarodnega kongresa matematikov (Cambridge, MA, 1950, zvezek 1), Providence, RI: American Mathematical Society, str. 686–694.
  • Suppes, P., 1957, "Teorija definicije" v Uvodu v logiko (poglavje 8), Princeton, NJ: Van Nostrand.
  • Tarski, A., 1954, „Prispevki k teoriji modelov, I“, Indagationes Mathematicae, 16: 572–581.

Modelno-teoretična posledica

  • Blanchette, P., 1996, "Frege in Hilbert o doslednosti", The Journal of Philosophy, 93: 317–336.
  • Blanchette, P., 2012, Fregeova koncepcija logike, New York: Oxford University Press.
  • Boole, G., 1847, Matematična analiza logike, Cambridge: Macmillan, Barclay in Macmillan.
  • Etchemendy, J., 1990, Koncept logične posledice, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Frege, G., 1971, O temeljih geometrije in formalnih teorij aritmetike, E. Kluge (trans.), New Haven: Yale University Press.
  • Gómez-Torrente, M., 1996, "Tarski o logični posledici", Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
  • Hodges, W. 2004, "Pomen in zanemarjanje konceptualne analize: Hilbert-Ackermann iii.3", v V. Hendricks in sod. (ur.), Logika prvega reda, Berlin: Logos, str. 129–153.
  • Kreisel, G., 1969, "Neformalna trdnost in dovršenost", v J. Hintikka (ur.), The Philosophy of Mathematics, London: Oxford University Press, str. 78–94.
  • Tarski, A., 1983, "O pojmu logične posledice", prevedeno v A. Tarski, Logika, Semantika, Metamathetika, J. Corcoran (ur.), Indianapolis: Hackett, str. 409–420.
  • Van Benthem, J., 1991 [1983], Logija časa: vzorčno-teoretična raziskava različic časovne ontologije in časovnega diskurza, Dordrecht: Reidel, 1983; druga izdaja, Springer, 1991.

Izrazna moč

  • Cutland, N., 2009, Nestandardna analiza in njene aplikacije, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ebbinghaus, H.-D., in Flum, J., 1999, Teorija končnih modelov, Berlin: Springer-Verlag.
  • Ebbinghaus, H.-D., Flum, J. in Thomas, W., 1984, Mathematical Logic, New York: Springer-Verlag.
  • Fleuriot, J., 2001, Kombinacija dokazovanja teoreme o geometriji in nestandardna analiza, z aplikacijo na Newtonovo Principio, New York: Springer-Verlag.
  • Immerman, N., 1999, Deskriptivna zapletenost, New York: Springer-Verlag.
  • Libkin, L., 2004, Elementi teorije končnih modelov, Berlin: Springer-Verlag.
  • Loeb, P. in Wolff, M. (ur.), 2000, Nestandardna analiza delovnega matematika, Dordrecht: Kluwer.
  • Robinson, A., 1967, "Metafizika računanja", v Problemi v filozofiji matematike, I. Lakatos (ur.), Amsterdam: Severna Holandija, str. 28–40.

Modeli in modeliranje

  • Allwein, G. in Barwise, J. (ur.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, New York: Oxford University Press.
  • Börger, E. in Stärk, R., 2003, Abstraktni državni stroji: metoda za načrtovanje in analizo sistema na visoki ravni, Berlin: Springer-Verlag.
  • Fowler, M., 2000, UML Distilated, Boston: Addison-Wesley.
  • Garnham, A., 2001, Mentalni modeli in interpretacija Anafore, Philadelphia: Taylor in Francis.
  • Gentner, D. in Stevens, A. (ur.), 1983, Mental Models, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Johnson-Laird, P., 1983, Mentalni modeli: Kognitivni znanosti o jeziku, sklepanju in zavesti, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Meijers, A. (ur.), 2009, Filozofija tehnologij in inženirskih znanosti, Amsterdam: Elsevier; glej poglavja W. Hodges, „Funkcionalno modeliranje in matematični modeli“; R. Müller, "Pojem modela, teorije modelov in zgodovina"; in N. Nersessian, „Razmišljanje na osnovi modela v interdisciplinarnem inženiringu“.
  • Moktefi, A. in Shin, S.-J. (ur.), 2013, Vizualno sklepanje z diagrami, Basel: Birkhäuser.
  • Morgan, MS in Morrison, M. (ur.), 1999, Modeli kot posredniki, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Pullum, GK in Scholz, BC, 2001, "O razlikovanju med modelno-teoretskimi in generativno-enumeracijskimi skladenjskimi okviri", v Logični vidiki računske jezikoslovja (Lekcijske opombe iz računalništva: letnik 2099), P. De Groote idr. (ur.), Berlin: Springer-Verlag, str. 17–43.
  • Stenning, K., 2002, Seeing Reason, Oxford: Oxford University Press.
  • Suppes, P., 1969, Študije v metodologiji in osnovah znanosti, Dordrecht: Reidel.

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

  • mentalmodelsblog: Mentalni modeli človeškega razmišljanja in razmišljanja, avtorica Ruth Byrne.
  • Teorija algoritmičnih modelov: E. Graedel, D. Berwanger in M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
  • Abstraktni državni stroji, Jim Huggins

Priporočena: