Aksiomatične Teorije Resnice

Kazalo:

Aksiomatične Teorije Resnice
Aksiomatične Teorije Resnice

Video: Aksiomatične Teorije Resnice

Video: Aksiomatične Teorije Resnice
Video: Александр Дугин. Три главные идеологии и их судьба в ХХ веке 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Aksiomatične teorije resnice

Prvič objavljeno 26. decembra 2005; vsebinska revizija čet 18. januar 2018

Aksiomatska teorija resnice je deduktivna teorija resnice kot primitivni nedefinirani predikat. Zaradi lažnivosti in drugih paradoksov je treba aksiome in pravila izbrati previdno, da se prepreči neskladnost. Številni aksiomski sistemi za predikat resnice so bili obravnavani v literaturi in analizirane njihove lastnosti. Več filozofov, vključno s številnimi deflacionisti, je v svojih pripovedih resnice podprlo aksiomatične teorije resnice. Logične lastnosti formalnih teorij so pomembne za različna filozofska vprašanja, kot so vprašanja o ontološkem statusu lastnosti, Gödeljevi teoremi, resnično-teoretični deflacionizem, odstranljivost semantičnih pojmov in teorija smisla.

  • 1. Motivacije

    • 1.1 Resnica, lastnosti in sklopi
    • 1.2 Resnica in razmislek
    • 1.3 Resnično teoretični deflacionizem
  • 2. Osnovna teorija

    • 2.1 Izbira osnovne teorije
    • 2.2 Obvestila o konvenciji
  • 3. Vtipkali teorije resnice

    • 3.1 Določljivi predikati
    • 3.2 Stavki (T)
    • 3.3 Sestavljiva resnica
    • 3.4 Hierarhične teorije
  • 4. Brez resnice

    • 4.1 Brez vrst (T) - stavki
    • 4.2 Sestava
    • 4.3 Friedman-Sheardova teorija in revizijska semantika
    • 4.4 Kripke-Fefermanova teorija
    • 4.5 Zajem minimalne fiksne točke
    • 4.6 Aksiomatizacija Kripkejeve teorije s supervalutacijami
  • 5. Neklasični pristopi k samoreferenciranju

    • 5.1 Napoved resnice v intuicijski logiki
    • 5.2 Aksiomatiziranje Kripkejeve teorije
    • 5.3 Dodajanje pogojnega
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Motivacije

Bilo je veliko poskusov opredelitve resnice v smislu korespondence, skladnosti ali drugih pojmov. Vendar še zdaleč ni jasno, da je resnica določljiv pojem. V formalnih okoliščinah, ki izpolnjujejo določene naravne pogoje, Tarski izrek o nedoločljivosti predikata resnice kaže, da opredelitev predikata resnice zahteva vire, ki presegajo tiste iz formalnega jezika, za katerega bo resnica določena. V teh primerih morajo dokončni pristopi k resnici spodleteti. Nasprotno pa aksiomatični pristop ne predvideva, da je resnico mogoče opredeliti. Namesto tega se formalni jezik razširi z novim primitivnim predikatom za resnico ali zadovoljstvo, nato pa se določijo aksiomi tega predikata. Ta pristop sam po sebi ne izključuje možnosti, da je predikat resnice določljiv,čeprav se v mnogih primerih lahko pokaže, da predikat resnice ni mogoče določiti.

V semantičnih teorijah resnice (npr. Tarski 1935, Kripke 1975) je v nasprotju s tem določen predikat resnice za jezik, tako imenovani predmetni jezik. Ta opredelitev je izvedena v metajeziku ali metateoriji, ki jo običajno pojmujemo tako, da vključuje teorijo množic ali vsaj drugo močno teorijo ali ekspresivno bogat interpretiran jezik. Tarski izrek o nedoločljivosti predikata resnice kaže, da morajo glede na splošne predpostavke viri metajezika ali metateorije presegati vire predmetnega jezika. Tako semantični pristopi običajno zahtevajo uporabo večjezičnosti metajezika od jezika predmeta, za katerega ponuja semantiko.

Kot pri drugih formalnih deduktivnih sistemih je tudi aksiomatične teorije resnice mogoče predstaviti v zelo šibkih logičnih okvirih. Ti okviri zahtevajo zelo malo virov, zlasti pa se izognemo potrebi po močnem metajeziku in metateoriji.

Uradno delo na aksiomatičnih teorijah resnice je pomagalo osvetliti semantične teorije resnice. Na primer, navaja informacije o tem, kaj se zahteva od metajezika, ki zadostuje za določitev predikta resnice. Semantične teorije resnice pa nam nudijo teoretična orodja, potrebna za raziskovanje modelov aksiomatičnih teorij resnice in motivacijo za nekatere aksiomatične teorije. Tako se aksiomatični in semantični pristopi k resnici prepletajo.

V tem prispevku so opisane najbolj priljubljene aksiomatične teorije resnice in omenja nekatere formalne rezultate, ki so bili dobljeni glede njih. Dajemo le namige o njihovih filozofskih aplikacijah.

1.1 Resnica, lastnosti in sklopi

Teorije resnice in napovedovanja so tesno povezane s teorijami lastnosti in atribucije lastnosti. Če rečemo, da je odprta formula (phi (x)) resnična za posameznika (a) se zdi (v nekem smislu) enakovredna trditvi, da ima (a) lastnost, da je taka, da (phi) (to lastnost označuje odprta formula). Na primer, lahko bi rekli, da je "(x) slab filozof", kar velja za Toma, namesto da bi rekel, da ima Toma lastnost, da je slab filozof. Kvantifikacija nad določljivimi lastnostmi je nato mogoče posnemati v jeziku s predikatom resnice s kvantiziranjem preko formul. Namesto da bi na primer rekli, da imata (a) in (b) popolnoma enake lastnosti, ena pravi, da sta natančno enaki formuli za (a) in (b). Zmanjšanje lastnosti na resnico do neke mere deluje tudi za skupine posameznikov.

Zmanjšanje je tudi v drugi smeri: Tarski (1935) je pokazal, da se nekatere predpostavke o obstoju drugega reda (npr. Aksiomi razumevanja) lahko uporabijo za definiranje resnice (glej vnos o Tarški definiciji resnice). Matematična analiza aksiomatičnih teorij resnice in sistemov drugega reda je pokazala veliko enakovrednosti med temi predpostavkami o obstoju drugega reda in teoretičnimi predpostavkami.

Ti rezultati kažejo natanko tisto, kar je potrebno za določitev predikta resnice, ki izpolnjuje določene aksiome, s čimer je ostrejši Tarski vpogled v določljivost resnice. Zlasti dokazno-teoretične enakovrednosti, opisane v spodnjem razdelku 3.3, izrecno navajajo, v kolikšni meri mora biti metajezik (ali bolje metateorija) bogatejši od predmetnega jezika, da bi lahko opredelili predikat resnice.

Enakost med teorijami drugega reda in teorijami resnice vpliva tudi na tradicionalne metafizične teme. Redukcije teorij drugega reda (tj. Teorije lastnosti ali množice) na aksiomatične teorije resnice se lahko zamislijo kot oblike reduktivnega nominalizma, saj nadomestijo eksistenčne predpostavke za množice ali lastnosti (npr. Aksiomi razumevanja) z ontološko neškodljivimi predpostavkami, v tem primeru s predpostavkami o vedenju predikata resnice.

1.2 Resnica in razmislek

Glede na Gödlove teoreme o nepopolnosti trditve, da je aritmetika Peano (PA) dosledna, po svojem obnašanju kot številčno teoretična izjava (glede na tehniko Gödlovega oštevilčenja), v PA ne moremo izpeljati. Toda PA lahko okrepimo z dodajanjem te izjave o skladnosti ali z močnejšimi aksiomi. Zlasti lahko dodamo aksiome, ki delno izražajo trdnost PA. Ta so znana kot načela refleksije. Primer načela refleksije za PA bi bil niz stavkov (Bew_ {PA} (ulcorner / phi / urcorner) rightarrow / phi), kjer je (phi) formula aritmetičnega jezika, (ulcorner / phi / urcorner) je ime za (phi) in (Bew_ {PA} (x)) standardni predikat dokazila za PA ('(Bew)' je uvedel Gödel in je kratka za nemško besedo „beweisbar“, to je „dokazljiv“).

Postopek dodajanja načel za razmislek je mogoče ponoviti: na primer lahko dodamo odsevni princip R za PA v PA; to ima za posledico novo teorijo PA + R. Nato k teoriji PA + R dodamo načelo refleksije za sistem PA + R. Ta proces se lahko nadaljuje v transfinite (glej Feferman 1962 in Franzén 2004).

Načela refleksije izražajo - vsaj deloma - trdnost sistema. Najbolj naraven in poln izraz trdnosti sistema vključuje predikat resnice in je znan kot načelo globalne refleksije (glej Kreisel in Lévy 1968). Globalno načelo refleksije formalnega sistema S navaja, da so vsi stavki, ki jih je mogoče dokazati v S, resnični:

(forall x (Bew_S (x) rightarrow Tx))

(Bew_S (x)) tukaj izraža dokazljivost stavkov v sistemu S (tukaj izpustimo razpravo o težavah definiranja (Bew_S (x))). Predikat resnice mora izpolnjevati določena načela; sicer bi bilo načelo globalne refleksije prazno. Zato ni treba dodati samo načela globalne refleksije, ampak tudi aksiome resnice. Če pa dodamo spodaj naravno teorijo resnice, kot je T (PA), ni treba več eksplicitno postavljati načela globalne refleksije, saj teorije, kot je T (PA), že dokazujejo načelo globalne refleksije za PA. Zato lahko teorije resnice obravnavajo kot načela refleksije, saj dokazujejo trdnosti in dodajajo vire za izražanje teh trditev.

Tako lahko namesto iteriranja odsevov, ki so v celoti formulirani v aritmetičnem jeziku, z iteracijo dodamo nove predikte resnice in ustrezno nove aksiome za nove predikate resnice. S tem bi utegnili izrecno izraziti vse predpostavke, ki so implicitne pri sprejemanju teorije, kot je PA. Nastala teorija se imenuje odsevno zapiranje začetne teorije. Feferman (1991) je predlagal uporabo enega predikata resnice in enotne teorije (KF), ne pa hierarhije predikatov in teorij, da bi pojasnil odsevno zapiranje PA in drugih teorij. (KF je obravnavan v poglavju 4.4 spodaj.)

Razmerje teorij resnice in (iteterizirano) načelo refleksije je postalo vidno tudi v razpravi o resničnostno-teoretskem deflacionizmu (glej Tennant 2002 in nadaljnja razprava).

1.3 Resnično teoretični deflacionizem

Številni zagovorniki deflacionističnih teorij resnice so se odločili, da bodo resnico obravnavali kot primitivni pojem in jo akiomatizirali, pogosto pa uporabljajo neko različico stavkov (T) kot aksiome. (T) - stavki so enakovrednosti obrazca (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), kjer je (T) predikat resnice, (phi) stavek in (ulcorner / phi / urcorner) je ime za stavek (phi). (O bolj izpopolnjenih aksiomih so govorili tudi deflacionisti.) Vsaj na prvi pogled se zdi aksiomatični pristop veliko manj "deflacijski" od tistih bolj tradicionalnih teorij, ki se opirajo na opredelitev resnice v smislu korespondence ali podobno. Če je resnico mogoče izrecno opredeliti, jo je mogoče odpraviti, medtem ko aksiomatiziran pojem resnice lahko in pogosto pride z obveznostmi, ki presegajo osnovno teorijo.

Če resnica nima nobene pojasnjevalne sile, kot trdijo nekateri deflacionisti, nam aksiomi resnice ne bi smeli dopuščati dokazovanja nobenih novih izrek, ki ne vključujejo predikata resnice. V skladu s tem so Horsten (1995), Shapiro (1998) in Ketland (1999) predlagali, da bi morala biti deflacijska aksiomatizacija resnice vsaj konzervativna. Novi aksiomi resnice so konzervativni, če ne pomenijo dodatnih stavkov (brez pojavov predikata resnice), ki jih brez aksiomov resnice ni mogoče dokazati. Tako nekonzervativna teorija resnice dodaja novo nesemantično vsebino teoriji in ima resnično pojasnjevalno moč v nasprotju s številnimi deflacionističnimi stališči. Vendar nekatere naravne teorije resnice niso konzervativne (za nadaljnjo razpravo glej oddelek 3.3, Field 1999 in Shapiro 2002).

Po mnenju mnogih deflacionistov resnica služi zgolj namenu izražanja neskončnih veznikov. Jasno je, da ni mogoče izraziti vseh neskončnih veznikov, ker je neizmerno veliko neskončnih veznikov prek številskega jezika. Ker ima jezik z dodano resnico predikat le številnih formul, ni vsakega neskončnega veznika mogoče izraziti z drugačno končno formulo. Formalno delo o aksiomatskih teorijah resnice je pomagalo natančno določiti, katere neskončne veznice je mogoče izraziti z resnico predikat. Feferman (1991) poda dokazno-teoretično analizo dokaj močnega sistema. (Ponovno bo to razloženo v razpravi o KF v oddelku 4.4 spodaj.)

2. Osnovna teorija

2.1 Izbira osnovne teorije

Resnica je v večini aksiomatičnih teorij zasnovana kot predikat predmetov. Obstaja obsežna filozofska razprava o kategoriji predmetov, za katere velja resnica: predlagane so predloge, zasnovane kot predmeti, ki niso odvisni od jezika, vrst in znakov stavkov in izrekov, misli in mnogih drugih predmetov. Ker je struktura stavkov, ki se štejejo za vrste, razmeroma jasna, so stavki pogosto uporabljeni kot predmeti, ki so lahko resnični. V mnogih primerih ni treba sprejemati zelo specifičnih metafizičnih zavez, saj so potrebne le nekatere skromne predpostavke o strukturi teh predmetov, neodvisno od tega, ali so na koncu sprejeti za skladenjske predmete, predloge ali še kaj drugega. Teorija, ki opisuje lastnosti predmetov, ki jim je mogoče pripisati resnico, se imenuje osnovna teorija. Formulacija osnovne teorije ne vključuje predikata resnice ali kakršnih koli posebnih teoretičnih predpostavk. Osnovna teorija bi lahko opisala strukturo stavkov, propozicij in podobno, tako da se lahko pojmi, kot je negacija takšnega predmeta, uporabijo pri oblikovanju resnično-teoretičnih aksiomov.

V mnogih aksiomatičnih teorijah resnice je resnica vzeta kot predikat, ki velja za Gödlove številke stavkov. Peano aritmetika se je izkazala za vsestransko teorijo predmetov, na katere se nanaša resnica, predvsem zato, ker dodajanje teoretičnih aksiomov resnice v aritmetiko Peano daje zanimive sisteme in ker je Peano aritmetika enakovredna številnim neposrednim teorijam skladnje in celo teorijam propozicij. Vendar so bile upoštevane tudi druge osnovne teorije, vključno s formalnimi teorijami sintakse in postavljenimi teorijami.

Seveda lahko raziskujemo tudi teorije, ki izhajajo z dodajanjem resnično-teoretskih aksiomov v mnogo močnejše teorije, kot je teorija množic. Ponavadi ni mogoče dokazati doslednosti teorije množic in nadaljnjih teoretičnih aksiomov, ker doslednosti teorije množic ni mogoče določiti brez domnev, ki presegajo teorijo množic. V mnogih primerih niti dokazi o relativni doslednosti niso izvedljivi. Če pa dodajanje določenih teoretičnih aksiomov resnici v PA daje dosledno teorijo, se zdi vsaj verjetno, da dodajanje analognih aksiomov teoriji množic ne bo povzročilo neskladnosti. Zato upamo, da bodo raziskave teorij resnice nad PA podale nekaj pokazatelja, kaj se bo zgodilo, ko bomo podaljšali močnejše teorije z aksiomi za predikat resnice. Vendar pa je dr. Fujimoto (2012) je pokazal, da se nekatere aksiomatične teorije resnice o teoriji množic v nekaterih vidikih razlikujejo od njihovih kolegov glede Peanove aritmetike.

2.2 Obvestila o konvenciji

Zaradi dokončnosti domnevamo, da ima aritmetični jezik natančno (neg, / klin) in (vee) kot povezovalnik in (forall) in (obstaja) kot kvantifikator. Kot posamezne konstante ima samo simbol 0 za nič; njegov edini funkcijski simbol je urski naslednik (S); seštevanje in množenje sta izražena s predikatnimi simboli. Zato so edini zaprti izrazi v aritmetičnem jeziku številke (0, S) (0), (S (S) (0)), (S (S (S) (0))),….

Aritmetični jezik ne vsebuje simbola predikatnega predikata (T), zato naj bo (mathcal {L} _T) jezik aritmetike, ki je za resnico razširjen z novim unarnim predikatnim simbolom (T). Če je (phi) stavek (mathcal {L} _T, / ulcorner / phi / urcorner) je ime za jezik (phi) v jeziku (mathcal {L} _T); formalno gledano je številka Gödlovega števila (phi). Na splošno sta grški črki, kot sta (phi) in (psi), spremenljivki metajezika, to je jezika, ki se uporablja za govor o teorijah resnice in o jeziku, v katerem je ta vnos napisan (tj. Angleščina obogatena z nekaterimi simboli). (phi) in (psi) segata po formulah formalnega jezika (mathcal {L} _T).

V nadaljevanju bomo kot spremenljivke v (mathcal {L} _T), ki segajo čez stavke (ali njihove Gödel številke, če smo natančni). Tako (forall { scriptptsize A} (ldots { scriptptsize A} ldots)) pomeni (forall x (Sent_T (x) rightarrow / ldots x / ldots)), kjer (Sent_T (x)) v aritmetičnem jeziku izrazi, da je (x) stavek aritmetičnega jezika, podaljšanega s predikatnim simbolom (T). Skladnjavske operacije tvorjenja veznika dveh stavkov in podobne operacije se lahko izrazijo v aritmetičnem jeziku. Ker aritmetični jezik poleg simbola za naslednika ne vsebuje nobenega funkcijskega simbola, morajo biti te operacije izražene s primernimi predikatnimi izrazi. Tako lahko v jeziku (mathcal {L} _T) rečemo, da je negacija stavka v stavku (mathcal {L} _T) resnična, če in samo, če stavek ni pravi. To bi napisali kot

(forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A}).)

Kvadratni oklepaji kažejo, da je operacija oblikovanja negacije ({ scriptptsize A}) izražena v aritmetičnem jeziku. Ker aritmetični jezik ne vsebuje simbola funkcije, ki predstavlja funkcijo, ki pošilja stavke na njihove negacije, je treba navesti ustrezne parafraze, ki vključujejo predikate.

Tako na primer izraz

(forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptptsize A} klin { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} wedge T { scriptptsize B})))

je en sam stavek jezika (mathcal {L} _T), ki pravi, da je zveza stavkov (mathcal {L} _T) resnična, če in le, če sta obe stavki resnični. V nasprotju, [T / ulcorner / phi / wedge / psi / urcorner / leftrightarrow (T / ulcorner / phi / urcorner / klin T / ulcorner / phi / urcorner))

je le shema. Se pravi, pomeni množico vseh stavkov, ki jih dobimo iz zgornjega izraza z nadomestitvijo stavkov (mathcal {L} _T) za grški črki (phi) in (psi). En stavek (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptpts A} klin { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} klin T { scriptptsize B}))) pomeni vse stavke, ki so primeri sheme, vendar primeri sheme ne pomenijo enotnega univerzalno količinsko opredeljenega stavka. Na splošno so količinsko opredeljene različice močnejše od ustreznih shem.

3. Vtipkali teorije resnice

V tipiziranih teorijah resnice je dokazljiva samo resnica stavkov, ki ne vsebujejo istega predikata resnice, s čimer se izognemo paradoksom z opazovanjem Tarškega razlikovanja med objektom in metajezikom.

3.1 Določljivi predikati

Nekatere predikatne resnice je mogoče določiti v aritmetičnem jeziku. Predikati, primerni kot predikati resnice za podjezike jezika aritmetike, se lahko opredelijo v jeziku aritmetike, dokler je količinsko opredeljena kompleksnost formul v podjeziku omejena. Zlasti obstaja formula (Tr_0 (x)), ki izraža, da je (x) pravi atomski stavek aritmetičnega jezika, torej stavek oblike (n = k), kjer sta (k) in (n) enaki številki. Dodatne informacije o delnih resnicah napovedujejo na primer Hájek in Pudlak (1993), Kaye (1991) in Takeuti (1987).

Določbe resnic, ki jih je mogoče določiti, so resnično odveč, saj so v PA izrazni; zato jih ni treba uvajati aksiomatično. Vse napovedi resnice v nadaljevanju niso mogoče določiti v aritmetičnem jeziku in zato niso odveč vsaj v smislu, da jih ni mogoče določiti.

3.2 Stavki (T)

Vtipkane stavke (T) - so vse enakovrednosti obrazca (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), pri čemer je (phi) stavek, ki ne vsebuje predikta resnice. Tarski (1935) je vsako teorijo, ki dokazuje te enakovrednosti, označil za "materialno ustrezne". Tarski (1935) je kritiziral aksiomatizacijo resnice, ki se opira le na stavke (T), ne zato, ker je ciljal na definicijo in ne na aksiomatizacijo resnice, ampak ker se je taka teorija zdela prešibka. Čeprav je teorija materialno ustrezna, je Tarski menil, da so stavki (T) deduktivno prešibki. Zlasti je opazil, da stavki (T) ne dokazujeta načela popolnosti, tj.stavek (forall { scriptptsize A} (T { scriptptsize A} vee T (neg { scriptptsize A})]), kjer je količnik (forall { scriptptsize A}) omejen na stavki, ki ne vsebujejo T.

Teorije resnice, ki temeljijo na stavkih (T), in njihove formalne lastnosti so tudi v zadnjem času zanimanje v kontekstu tako imenovanih deflacijskih teorij resnice. Stavki (T) (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) (kjer (phi) ne vsebuje (T)) niso konservativni glede logike prvega reda z identiteto, torej dokazujejo stavek, ki ne vsebuje (T), ki ni logično veljaven. Za stavke (T) dokazujemo, da sta stavka (0 = 0) in (neg 0 = 0) različna in da torej obstajata vsaj dva predmeta. Z drugimi besedami, stavki (T) niso konzervativni glede teorije praznih baz. Če se stavkom (T) dodajo stavki PA, je nastala teorija konzervativna za PA. To pomeni, da teorija ne dokazuje (T) - prostih stavkov, ki jih v PA še ni mogoče dokazati. Ta rezultat velja celo, če so poleg stavkov (T) dodani tudi vsi indukcijski aksiomi, ki vsebujejo predikat resnice. To se lahko pokaže s pritožbo na teorem kompaktnosti.

V obliki, opisani zgoraj, stavki T izražajo enakovrednost med (T / ulcorner / phi / urcorner) in (phi) le, kadar je stavek (phi). Če želite zajeti enakovrednost lastnosti ((x) ima lastnost P iff 'P' velja za (x)) je treba posplošiti stavke T. Rezultat ponavadi imenujemo enakomerne T-senence in so formalizirane z ustreznicami (forall x (T / ulcorner / phi (podčrtaj {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x))) odprta formula (phi (v)) z največ (v) brez v (phi). Podčrtavanje spremenljivke pomeni, da je vezana od zunaj. Natančneje, (ulcorner / phi (podčrtaj {x}) urcorner) pomeni rezultat zamenjave spremenljivke (v) v (ulcorner / phi (v) urcorner) s številko od (x).

3.3 Sestavljiva resnica

Kot je že opazil Tarski (1935), nekatere zaželene posplošitve ne sledijo iz stavkov T. Na primer, skupaj z razumnimi osnovnimi teorijami ne nakazujejo, da je konjunkcija resnična, če sta oba veznika resnična.

Da bi dobili sisteme, ki dokazujejo tudi vsesplošno količinsko opredeljene teoretične principe, je mogoče induktivne določbe Tarške definicije resnice spremeniti v aksiome. V naslednjih aksiomih (AtomSent_ {PA} (ulcorner { scriptptsize A} urcorner)) izraža, da je ({ scriptptsize A}) atomski stavek iz aritmetičnega jezika, (Sent_ {PA } (ulcorner { scriptptsize A} urcorner)) izraža, da je ({ scriptptsize A}) stavek iz aritmetike.

  1. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T { scriptptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  2. (forall { scriptptsize A} (Sent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})))
  3. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptptsize B}) rightarrow (T [{ scriptpts A } wedge { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptptsize A} wedge T { scriptptsize B}))))
  4. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptptsize B}) rightarrow (T [{ scriptpts A } vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptptsize A} vee T { scriptptsize B}))))
  5. (forall { scriptptsize A} (v) (Sent_ {PA} (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptptsize A} (podčrtaj {x}))]))
  6. (forall { scriptptsize A} (v) (Sent_ {PA} (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (obstaja v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / obstaja xT [{ scriptptsize A} (podčrtaj {x}))]))

Aksiom 1 pravi, da je atomski stavek jezika aritmetike Peano resničen, če in le, če je resničen v skladu z aritmetično resnico predikata tega jezika ((Tr_0) je bil opredeljen v oddelku 3.1). Aksiomi 2–6 trdijo, da resnica vpliva na vse vezi in kvantifikatorje. Aksiom 5 pravi, da je univerzalno količinsko določen stavek aritmetičnega jezika resničen, če in le, če so resnični vsi njegovi numerični primeri. (Sent_ {PA} (forall v { scriptptsize A})) pravi, da je ({ scriptptsize A} (v)) formula z največ (v) brez (ker (forall v { scriptptsize A} (v)) je stavek).

Če je treba te aksiome oblikovati za jezik, kot je teorija množic, ki nima imena za vse predmete, potem aksiomi 5 in 6 zahtevata uporabo relacijskega zadovoljstva, ne pa narirnega predpisa.

Aksiomi v slogu 1-6 zgoraj so igrali osrednjo vlogo v teoriji Donalda Davidsona o pomenu in v več deflacionističnih pristopih k resnici.

Teorija, ki jo podajajo vsi aksiomi PA in Aksiom 1–6, vendar z indukcijo le za formule brez proste formule (T), je za PA konzervativna, torej ne dokazuje novih (T) prostih teorem, ki še ni dokazljivo v PA. Vendar pa vseh modelov PA ni mogoče razširiti na modele PA + aksiomov 1–6. To izhaja iz rezultata Lachlana (1981). Kotlarski, Krajewski in Lachlan (1981) so dokazali, da je konzervativnost zelo podobna PA + aksiomom 1–6 z modelno-teoretičnimi sredstvi. Čeprav je več avtorjev trdilo, da je ta rezultat tudi fino dokazljiv, do dokazov Enayat & Visser (2015) in Leigh (2015) ni bilo na voljo. Poleg tega je teorija, ki jo podajajo PA + aksiomi 1–6, v PA zelo razlagana. Vendar je ta rezultat občutljiv za izbiro teorije osnov: ne uspeva za dokončno aksiomatizirane teorije (Heck 2015, Nicolai 2016). Ti dokazno-teoretični rezultati so bili široko uporabljeni pri razpravi o resničnostno-teoretskem deflacionizmu (glej Cieśliński 2017).

Seveda so PA + aksiomi 1–6 restriktivni, če ne vsebujejo indukcijskih aksiomov v jeziku s predikatom resnice. Za sistem obstajajo različne oznake, ki jih dobimo z dodajanjem vseh indukcijskih aksiomov, ki vključujejo predikat resnice, v sistem PA + aksiomi 1–6: T (PA), CT, PA (S) ali PA + 'obstaja popolno induktivno zadovoljstvo razred '. Ta teorija ni več konzervativna nad svojo bazno teorijo PA. Na primer, lahko formaliziramo teorem o trdnosti ali načelo globalne refleksije za PA, torej trditev, da so vsi stavki, ki jih je mogoče dokazati v PA, resnični. Načelo globalne refleksije za PA posledično pomeni skladnost PA, česar v čistem PA ne more dokazati Gödeljeva teorema o drugi nepopolnosti. Zato T (PA) ni konzervativen za PA. T (PA) je veliko močnejši od izjave o doslednosti za PA:T (PA) je enak aritmetičnemu razumevanju sistema drugega reda ACA (glej Takeuti 1987 in Feferman 1991). Natančneje, T (PA) in ACA sta medsebojno prevajalna na način, da se ohranijo vse aritmetične stavke. ACA je podan z aksiomi PA s polno indukcijo v jeziku drugega reda in z naslednjim načelom razumevanja:

(obstaja X / za vse y (y / v X / levi svetlobni trak / phi (x)))

kjer je (phi (x)) katera koli formula (v kateri je (x) lahko ali ne sme biti prosta), ki ne vsebuje nobenih kvantifikatorjev drugega reda, ampak morda proste spremenljivke drugega reda. V T (PA) je mogoče kvantifikacijo nad množicami določiti kot količinsko določanje formul z eno prosto spremenljivko in članstvo kot resničnost formule, uporabljene na številu.

Ker načelo globalne refleksije vključuje formalno skladnost, rezultat konzervativnosti za PA + aksiomi 1–6 pomeni, da načela globalne refleksije za aritmetiko Peano ni mogoče izpeljati v tipizirani kompozicijski teoriji brez razširitve indukcijskih aksiomov. V resnici ta teorija ne dokazuje niti trditve, da so vse logične veljavnosti resnične (globalni odraz čiste logike prvega reda) niti da so vsi aritmetični Peanovi aksiomi resnični. Mogoče presenetljivo je, da je od teh dveh nedokazivih trditev močnejša prva. Slednje je mogoče dodati kot aksiom in teorija ostaja konzervativna glede PA (Enayat in Visser 2015, Leigh 2015). Nasprotno, v PA + aksiomih 1–6 je načelo globalne refleksije za logiko prvega reda enakovredno globalnemu odsevu aritmetike Peano (Cieśliński 2010),ti dve teoriji imata enake aritmetične posledice kot dodajanje aksioma indukcije za omejene ((Delta_0)) formule, ki vsebujejo predikat resnice (Wcisło in Łełyk 2017).

Prehod iz PA v T (PA) si lahko predstavljamo kot dejanje razmisleka o resničnosti stavkov (mathcal {L}) v PA. Podobno je korak od vtipkanih stavkov (T) do kompozicijskih aksiomov vezan tudi na odsevni princip, natančneje na načelo enotnega odseva nad vtipkanimi enotnimi stavki (T) - stavki. To je zbirka stavkov (forall x \, Bew_S (ulcorner / phi (podčrtaj {x}) urcorner) rightarrow / phi) (x) kjer se (phi) giblje nad formulami v (mathcal {L} _T) z eno prosto spremenljivko in S teorija enotnih tipkanih stavkov T. Enoten odsev natančno zajame razliko med obema teorijama: načelo refleksije je mogoče izpeljati v T (PA) in je dovolj, da dobimo šest kompozicijskih aksiomov (Halbach 2001). Poleg tega se enakovrednost širi na iteracije enotnega odseva,v tem primeru za vsako zaporedno (alfa, 1 + / alfa) iteracije enakomernega odseva nad vtipkanim (T) - stavki sovpadajo s T (PA), podaljšanim s transfinitetno indukcijo do vrstnega reda (varepsilon _ { alfa}), in sicer (alfa) - zaporedje s lastnostjo, ki (omega ^ { alfa} = / alfa) (Leigh 2016).

Veliko močnejše fragmente aritmetike drugega reda je mogoče razlagati s sistemi resnice brez tipov, torej s teorijami resnice, ki dokazujejo ne le resničnost aritmetičnih stavkov, ampak tudi resničnost stavkov jezika (mathcal {L} _T) z resnico predikat; glej oddelek 4 spodaj.

3.4 Hierarhične teorije

Zgoraj omenjene teorije resnice je mogoče ponoviti z uvedbo indeksiranih predikatov resnice. Eden doda jeziku prediatov resnice PA, indeksiranih z ordinacijami (ali zaporednimi notacijami) ali doda dodatek binarne resnice, ki velja za navadne zapise in stavke. V tem pogledu hierarhični pristop ne ustreza okvirju, ki je naveden v 2. oddelku, ker jezik ne vsebuje enega samega predikata za anarsko resnico, ki se nanaša na stavke, temveč veliko enotnih predikatnih predikatov ali en sam predikat binarne resnice (ali celo en predikat enotne resnice) velja za pare zaporednih zapisov in stavkov).

V takšnem jeziku je mogoče oblikovati aksiomatizacijo Tarške hierarhije predikatov resnice. Na dokazno-teoretični strani iteracijske teorije resnice v slogu T (PA) ustrezajo iteracijskemu osnovnemu razumevanju, torej iteracijskemu ACA. Sistem ponovljenih teorij resnice ustreza sistemu razvejane analize (glej Feferman 1991).

Visser (1989) je raziskoval neosnovane hierarhije jezikov in njihove aksiomatizacije. Če dodamo (T) stavke (T_n / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) v jezik aritmetike, kjer (phi) vsebuje samo predikat resnice (T_k) z (k / gt n) do PA, dobimo teorijo, ki nima standardnega modela ((omega) -).

4. Brez resnice

Resnica napoveduje, da v naravnih jezikih ne pride do nikakršnih omejitev vrste. Zato velja, da so bile tipkane teorije resnice (aksiomatske in semantične teorije) neprimerne za analizo resničnega predikata naravnega jezika, čeprav so Glanzberg (prihodnje) in druge zagovarjale hierarhične teorije. To je en motiv za raziskovanje tipov resničnih teorij, torej sistemov resnice, ki omogočajo dokazovanje resničnosti stavkov, ki vključujejo predikat resnice. Nekatere teorije resnice brez tipov imajo veliko večjo izrazno moč kot tipizirane teorije, ki so bile raziskane v prejšnjem razdelku (vsaj dokler se izogibajo indeksiranim prediktom resnice). Zato so teorije resnice brez tipov veliko močnejše orodje pri zmanjševanju drugih teorij (na primer te druge stopnje).

4.1 Brez vrst (T) - stavki

Nabor vseh (T) stavkov (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), kjer je (phi) kateri koli stavek jezika (mathcal {L} _T), torej tam, kjer lahko vsebuje (phi) (T), v nasprotju s PA (ali katerokoli teorijo, ki dokazuje diagonalno lemo) zaradi paradoksa Liar. Zato lahko poskusimo spustiti vse množice (T) stavkov samo tistih, ki vodijo v nedoslednost. Z drugimi besedami, lahko upoštevamo največje skladne nize stavkov (T). McGee (1992) je pokazal, da obstaja neizmerno veliko maksimalnih nizov (T) stavkov, ki so skladni s PA. Torej strategija ne vodi do ene same teorije. Še huje je, da glede na aritmetični stavek (tj. Stavek, ki ne vsebuje (T)), ki ga v PA ne moremo dokazati ali oporekati, lahko najdemo skladen (T) - stavek, ki odloča o tem stavku (McGee 1992). To pomeni, da veliko skladnih nizov stavkov (T) dokazuje lažne aritmetične izjave. Tako je strategija za izpustitev samo stavkov (T), ki povzročajo neskladnost, obsojena.

Nabor (T) stavkov, ki ne pomenijo nobene napačne aritmetične izjave, je mogoče dobiti tako, da v stavku (T) dovolijo le tiste (phi) - stavke (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), ki vsebujejo (T) le pozitivno, torej v obsegu enakomernega števila negacijskih simbolov. Tako kot tipizirana teorija v razdelku 3.2 tudi ta teorija ne dokazuje določenih posploševanj, vendar dokazuje enake stavke brez T kot močna kompozicijska teorija Kripke-Feferman spodaj (Halbach 2009). Schindler (2015) je dobil deduktivno zelo močno teorijo resnice, ki temelji na stratificiranih diskutacijskih načelih.

4.2 Sestava

Poleg diskvotacijske značilnosti resnice bi radi ujeli tudi kompozicijske značilnosti resnice in posplošili aksiome tipkane kompozicijske resnice na primer brez tipa. V ta namen bo treba dodati aksiome ali pravila o resničnosti atomskih stavkov s predikatom resnice in odpraviti omejitev na (T) stavke, ki so v sestavljenih aksiomih. Da bi resnico obravnavali tako kot druge predikate, bomo dodali aksiom (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) (kjer (forall { scriptpts A}) obsega vse stavke). Če odstranite omejitev tipa vtipkanega kompozicijskega aksioma za negacijo, je aksiom (forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})) pridobljeno.

Toda aksiomi (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) in (forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})) so v neskladju s šibkimi teorijami skladnje, zato je treba opustiti eno od njih. Če se (forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})) obdrži, bo treba najti šibkejše aksiome ali pravila za ponovitev resnice, vendar resnica ostaja klasičen koncept v smislu, da (forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})) pomeni zakon izključenega srednjega (za kateri koli stavek bodisi sam stavek bodisi njegova negacija resničen) in zakon o neskladju (za noben stavek sta stavek in njegova negacija resnična). Če bi nasprotno(forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})) se zavrne in (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptpts A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) obdržano, potem bo postalo dokazljivo, da so bodisi nekateri stavki resnični skupaj z njihovimi negacijami, bodisi da za nekatere stavke ne veljajo niti oni niti njihove negacije in s tem sistemi dobijo se neklasične resnice, čeprav so sami sistemi še vedno formulirani v klasični logiki. V naslednjih dveh razdelkih bomo pregledali najvidnejši sistem vsake vrste.potem bo postalo dokazljivo, da so bodisi nekateri stavki resnični skupaj z njihovimi negacijami bodisi, da za nekatere stavke niti oni niti njihovi negaciji niso resnični in tako dobimo sisteme neklasične resnice, čeprav so sami sistemi še vedno formulirani v klasični logiki. V naslednjih dveh razdelkih bomo pregledali najvidnejši sistem vsake vrste.potem bo postalo dokazljivo, da so bodisi nekateri stavki resnični skupaj z njihovimi negacijami bodisi, da za nekatere stavke niti oni niti njihovi negaciji niso resnični in tako dobimo sisteme neklasične resnice, čeprav so sami sistemi še vedno formulirani v klasični logiki. V naslednjih dveh razdelkih bomo pregledali najvidnejši sistem vsake vrste.

4.3 Friedman-Sheardova teorija in revizijska semantika

Sistem FS, poimenovan po Friedmanu in Sheardu (1987), ohranja aksiom negacije (forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})). Nadaljnje kompozicijske aksiome dobimo tako, da omejitev tipa dvignemo na njihove netipične vzorce:

  1. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T { scriptptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  2. (forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A}))
  3. (forall { scriptptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptptsize A} klin { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} wedge T { scriptptsize B})))
  4. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptptsize A} vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} vee T { scriptptsize B})))
  5. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptptsize A} (podčrtaj {x}))])
  6. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (obstaja v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / obstaja xT [{ scriptptsize A} (podčrtaj {x}))]))

Ti aksiomi so dodani PA, ki je formuliran v jeziku (mathcal {L} _T). Ker je aksiom ponovitve resnice (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) neskladen, sta dodana samo naslednja dva pravila:

Če je (phi) izrek, lahko sklepamo (T / ulcorner / phi / urcorner) in obratno, če je (T / ulcorner / phi / urcorner) teorem, lahko sklepamo (phi).

Iz rezultatov McGeeja (1985) izhaja, da je FS (omega) - neskladen, to je, da FS dokazuje (obstaja x / neg / phi (x)), vendar dokazuje tudi (phi) (0), (phi) (1), (phi) (2),… za neko formulo (phi (x)) z (mathcal {L} _T). Aritmetični izreki FS pa so vsi pravilni.

V FS je mogoče definirati vse končne ravni klasične Tarskijeve hierarhije, vendar FS ni dovolj močan, da bi si omogočil, da si povrne katero koli od svojih čezmernih ravni. Halbach (1994) je svojo dokazno-teoretično moč določil za natančno trdnost teorije o razvejani resnici za vse končne ravni (tj. Končno iterirano T (PA); glej oddelek 3.4) ali, kar je podobno, teorijo potrjene analize za vse končne ravni. Če je katera koli smer pravila izpuščena, druga pa ohranjena, FS ohrani svojo dokazno-teoretsko trdnost (Sheard 2001).

Vrednost FS je, da je temeljito klasičen: oblikovan je v klasični logiki; če je stavek dokazno resničen v FS, potem je sam stavek dokazljiv v FS; in obratno, če je stavek dokazljiv, potem je tudi dokazno resničen. Njegova pomanjkljivost je njena (omega) - neskladnost. FS je mogoče razumeti kot aksiomatizacijo semantike pravil o reviziji za vse končne ravni (glej vnos o teoriji revizije resnice).

4.4 Kripke-Fefermanova teorija

Kripke-Fefermanova teorija ohranja aksiom iteracije resnice (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})), a pojem resnice aksiomatiziran ni več klasično, ker je padla aksioma negacije (forall { scriptptsize A} (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptptsize A})).

Semantična konstrukcija, zajeta s to teorijo, je posplošitev Tarškove tipične induktivne definicije resnice, zajete s T (PA). V posplošeni definiciji se začne z resničnim atomskim stavkom aritmetičnega jezika in nato razglasi resnično zapletene stavke glede na to, ali so njegove sestavine resnične ali ne. Na primer, kot je vtipkani primer, če sta (phi) in (psi) resnična, bo tudi njihova veznik (phi / wedge / psi) resnična. V primeru količinsko opredeljenih stavkov se njihova vrednost resnice določi z vrednostmi resnice njihovih primerov (klavzul kvantifikatorja lahko postane čisto sestavljen z uporabo predikta zadovoljstva); na primer, univerzalno količinsko opredeljen stavek bo razglašen za resničnega samo in le, če so vsi njegovi primeri resnični. Zdaj lahko to induktivno definicijo resnice razširimo na jezik (mathcal {L} _T) tako, da stavek obrazca (T / ulcorner / phi / urcorner) razglasimo za resničnega, če je (phi) že prav. Poleg tega bo eden razglasil, da je (neg T / ulcorner / phi / urcorner) resnično, če je (neg / phi) res. Z natančno določitvijo te ideje dobimo različico Kripkejeve (1975) teorije resnice s tako imenovano shemo vrednotenja Močnega Kleena (glej vnos o večvredni logiki). Če je aksiomatiziran, vodi do naslednjega sistema, ki je znan kot KF („Kripke – Feferman“), ki se v literaturi pojavlja več različic:dobimo različico Kripkejeve (1975) teorije resnice s tako imenovano shemo vrednotenja Močnega Kleena (glej vnos o večvredni logiki). Če je aksiomatiziran, vodi do naslednjega sistema, ki je znan kot KF („Kripke – Feferman“), ki se v literaturi pojavlja več različic:dobimo različico Kripkejeve (1975) teorije resnice s tako imenovano shemo vrednotenja Močnega Kleena (glej vnos o večvredni logiki). Če je aksiomatiziran, vodi do naslednjega sistema, ki je znan kot KF („Kripke – Feferman“), ki se v literaturi pojavlja več različic:

  1. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T { scriptptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  2. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T (neg { scriptptsize A}] leftrightarrow / neg Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  3. (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A}))
  4. (forall { scriptptsize A} (T (neg T { scriptptsize A}] leftrightarrow T (neg { scriptptsize A})])
  5. (forall { scriptptsize A} (T (neg / neg { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A}))
  6. (forall { scriptptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptptsize A} klin { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} wedge T { scriptptsize B})))
  7. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T (neg ({ scriptpts A} klin { scriptptsize B})] leftrightarrow (T (neg { scriptptsize A}] vee T (neg { scriptptsize B})]))
  8. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptptsize A} vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} vee T { scriptptsize B})))
  9. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T (neg ({ scriptpts A} vee { scriptptsize B})] leftrightarrow (T (neg { scriptptsize A}] klin T (neg { scriptptsize B})]))
  10. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptptsize A} (podčrtaj {x}))])
  11. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (neg / forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / obstaja xT (neg { scriptptsize A} (podčrtaj {x}))])
  12. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (obstaja v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / obstaja xT [{ scriptptsize A} (podčrtaj {x}))]))
  13. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T (neg / obstaja v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT (neg { scriptptsize A} (podčrtaj {x}))]))

KF poleg teoretičnih aksiomov resnice vključuje vse aksiome PA in vse indukcijske aksiome, ki vključujejo predikat resnice. Sistem je Fefermanu zaslužen na podlagi dveh predavanj za Združenje simbolične logike, enega leta 1979 in drugega leta 1983, pa tudi v nadaljnjih rokopisih. Feferman je svojo različico sistema objavil pod oznako Ref (PA) ("šibko odbojno zapiranje PA") šele leta 1991, potem ko se je v tisku že pojavilo več drugih različic KF (npr. Reinhardt 1986, Cantini 1989, ki se sklicujeta na oba k temu neobjavljenemu delu Fefermana).

KF sam je formuliran v klasični logiki, vendar opisuje neklasičen pojem resnice. Na primer, lahko dokažemo (T / ulcorner L / urcorner / leftrightarrow T / ulcorner / neg L / urcorner), če je (L) stavek Liar. Tako KF dokazuje, da sta bodisi kazen lažnivca kot tudi njegova negacija resnična ali da niti ena ni resnična. Torej je bodisi pojem resnice skladen (stavek je resničen skupaj z njegovo negacijo) ali pa popoln (niti ni resničen). Nekateri avtorji so KF dopolnili z aksiomom, ki izključuje bleščanje resnične vrednosti, kar daje KF zvok za Kripkejevo konstrukcijo modela, ker je Kripke izključil utrinke z resnično vrednostjo.

Feferman (1991) je pokazal, da je KF teoretično dokazano enakovreden teoriji razvejane analize skozi vse ravni pod (varepsilon_0), mejo zaporedja (omega, / omega ^ { omega}, / omega ^ { omega ^ { omega}}, / ldots) ali teorija potrjene resnice z istimi oddelki. Ta rezultat kaže, da je v KF natančno (varepsilon_0) mogoče obnoviti številne ravni klasične Tarške hierarhije v njeni aksiomatizirani obliki. Tako je KF veliko močnejši od FS, kaj šele T (PA). Feferman (1991) je načrtoval tudi krepitev KF, ki je enako močna kot popolna prediktivna analiza, to je razvejana analiza ali resnica do uvrstitve (Gamma_0).

Tako kot pri tipiziranem predikatu resnice lahko tudi teorijo KF (natančneje, njeno običajno različico) dobimo z aktom razmišljanja o sistemu netipičnih (T) stavkov. Sistem (T) - spornih stavkov je razširitev enotnega pozitivnega netipiziranega (T) - stavkov s primitivnim predikatom lažnosti, torej teorija vsebuje dva neenarna predikata (T) in (F) in aksiomi

(začeti {poravnati *} & / forall x (T / ulcorner / phi (podčrtaj {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x)) & / forall x (F / ulcorner / phi (podčrtaj) {x}) urcorner / leftrightarrow / phi '(x)) konec {poravnati *})

za vsako formulo (phi (v)), pozitivno v obeh (T) in (F), kjer (phi ') predstavlja dvojnik De Morgan iz (phi) (izmenjava (T) za (F) in obratno). Iz uporabe enotnega premisleka nad to diskutacijsko teorijo izhajata aksiomi resnice za ustrezni dve predikatni različici KF (Horsten in Leigh, 2016). Velja tudi obratno, prav tako tudi posploševanje do končnih in transfinitetnih iteracij refleksije (Leigh, 2017).

4.5 Zajem minimalne fiksne točke

Kot je navedeno zgoraj, če KF dokaže (T / ulcorner / phi / urcorner) za nek stavek (phi), potem (phi) drži v vseh Kripke modelih s fiksno točko. Zlasti obstajajo (2 ^ { aleph_0}) fiksne točke, ki tvorijo model notranje teorije KF. Tako z vidika KF ni izpostavljeno najmanj fiksne točke (iz katere je definirana Kripkejeva teorija). Burgess (prihodnji) zagotavlja razširitev KF, imenovanega (mu) KF, ki poskuša zajeti minimalno kripkeansko fiksno točko. KF je razširjen z dodatnimi aksiomi, ki izražajo, da je notranja teorija KF najmanjši razred, ki je za kripkeanovo resnico zaprt pod definirajočimi aksiomi. To je mogoče oblikovati kot eno samo shemo aksioma, ki za vsako odprto formulo navaja (phi), Če (phi) izpolnjuje enake aksiome KF kot predikat (T), velja (phi) vsakega pravega stavka.

Z dokazno-teoretičnega vidika je (mu) KF bistveno močnejši od KF. Shema enojnega aksioma, ki izraža minimalnost predikata resnice, omogoča vdelati v (mu) KF sistemski sistem (_ 1) ene aritmetične induktivne definicije, nepredvidljive teorije. Čeprav je intuitivno verodostojen, (K) trpi KF enako izrazno nepopolnost kot KF: Ker minimalna Kripkeanova fiksna točka tvori celoten (Pi ^ {1} _1) nabor in notranjo teorijo (mu) KF ostaja rekurzivno številčen, obstajajo standardni modeli teorije, pri katerih interpretacija predikata resnice dejansko ni minimalna fiksna točka. Trenutno ni natančne analize modelov (mu) KF.

4.6 Aksiomatizacija Kripkejeve teorije s supervalutacijami

KF naj bi bil aksiomatizacija Kripkejeve (1975) semantične teorije. Ta teorija temelji na delni logiki s shemo vrednotenja Strong Kleene. V logiki Močnega Kleena ni vsak stavek (phi / vee / neg / phi) izrek; zlasti ta ločitev ni resnična, če (phi) nima vrednosti resnice. Posledično (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner) (kjer je (L) stavek Liar) ni izrek KF in njegova negacija je celo dokazljiva. Cantini (1990) je predlagal sistemsko VF, ki se zgleduje po shemi supervalvacij. V VF so vse klasične tavtologije dokazno resnične in (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner) je na primer izrek VF. VF je mogoče formulirati v (mathcal {L} _T) in uporablja klasično logiko. To ni več kompozicijska teorija resnice, kajti naslednje ni izrek VF:

(forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptptsize A} vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} vee T { scriptptsize B})).)

Ne le, da je to načelo v neskladju z drugimi aksiomi VF, ne ustreza modelu supervrednotenja, saj pomeni, da je to (T / ulcorner L / urcorner / vee T / ulcorner / neg L / urcorner), kar seveda ni pravilno kajti po predvideni semantiki niti lažnivi stavek niti njegova negacija ne držita: oba nimata resnične vrednosti.

Ko je rezultat razširil zaradi Friedmana in Shearda (1987), je Cantini pokazal, da je VF veliko močnejši od KF: VF je teoretično dokazljiv kot teoretični ID (_ 1) nekteriziranih induktivnih definicij, kar ni napovedno.

5. Neklasični pristopi k samoreferenciranju

Do sedaj obravnavane teorije resnice so v klasični logiki vse aksiomatizirane. Nekateri avtorji so preučili tudi aksiomatične teorije resnice, ki temeljijo na neklasični logiki (glej na primer Field 2008, Halbach in Horsten 2006, Leigh in Rathjen 2012). Obstaja več razlogov, zakaj je morda prednostna logika, šibkejša od klasične. Najbolj očitno je, da s oslabitvijo logike postanejo nekatere zbirke aksiomov resnice, ki so bile prej nedosledne, dosledne. Drugi pogost razlog je, da namerava zadevna aksiomatična teorija zajeti določeno neklasično semantiko resnice, za katero se klasična teorija ozadja lahko izkaže za neznansko.

Obstaja tudi veliko število pristopov, ki uporabljajo parakonzistentno ali substrukturno logiko. V večini primerov ti pristopi ne uporabljajo aksiomatične teorije baz, kot je aritmetika Peano in zato odstopajo od tukaj obravnavanih postavk, čeprav tehnične ovire pri uporabi parakonzistentnih ali podstrukturnih logik za teorije resnic ne obstajajo nad takšnimi teorijami baz. Tu pokrivamo samo račune, ki so blizu zgornji nastavitvi. Nadaljnje informacije o uporabi substrukturalne in parakonzistentne logike za teoretične paradokse resnice najdete v ustreznem razdelku o lažnivem paradoksu.

5.1 Napoved resnice v intuicijski logiki

Neskladnost stavkov (T) se ne opira na klasično sklepanje. Neskladen je tudi s precej šibkejšimi logikami, kot sta minimalna in delna logika. Vendar klasična logika igra vlogo pri omejevanju proste uporabe načel resnice. Na primer, v klasični osnovni teoriji je kompozicijski aksiom za implikacijo ((rightarrow)) enakovreden načelu popolnosti, (forall { scriptptsize A} (T [{ scriptptsize A}] vee T (neg { scriptptsize A})]). Če je logika pod predikatom resnice klasična, je popolnost enakovredna kompozicijskemu aksiomu za ločitev. Brez zakona izključene sredine je mogoče FS oblikovati kot popolnoma kompozicijsko teorijo, ne da bi dokazal načelo popolnosti resnice (Leigh & Rathjen 2012). Poleg tega je dr.klasična logika vpliva na poskuse združitve kompozicijskih in samo-uporabnih aksiomov resnice. Če na primer spustimo aksiom skladnosti resnice s FS (smer leve proti desni aksioma 2 v oddelku 4.3) in zakon izključene sredine za resnico predikat, je mogoče dosledno dodati aksiom resničnosti iteracije (forall { scriptptsize A} (T [{ scriptptsize A}] rightarrow T [T { scriptptsize A}])). Tako dobljena teorija še vedno močno spominja na FS, ker konstruktivna različica semantike popravka pravil za vse končne ravni zagotavlja naraven model teorije in obe teoriji si delita isto (Pi ^ {0} _2) posledice (Leigh & Rathjen 2012; Leigh, 2013). Ta rezultat bi moral biti v nasprotju s KF, ki je, če je oblikovan brez zakona izključene sredine,ostaja v največji meri skladen z izbiro aksiomov resnice, vendar je konzervativni podaljšek Heytingove aritmetike.

5.2 Aksiomatiziranje Kripkejeve teorije

Kripkejeva (1975) teorija v različnih oblikah temelji na delni logiki. Za pridobitev modelov za teorijo v klasični logiki se razširitev predikata resnice v delnem modelu ponovno uporabi kot razširitev resnice v klasičnem modelu. V klasičnem modelu so napačni stavki in tisti brez vrednosti resnice v delnem modelu razglašeni za neresnične. KF je dober glede na te klasične modele in zato vključuje dve ločeni logiki. Prva je "notranja" logika izjav pod predikatom resnice in je oblikovana s shemo vrednotenja Strong Kleene. Druga je "zunanja" logika, ki je polna klasične logike. Učinek formuliranja KF v klasični logiki je, da teorije ni mogoče dosledno zapreti v skladu s pravilom uvajanja resnice

Če je (phi) izrek KF, je tudi (T / ulcorner / phi / urcorner).

Drugi učinek klasične logike je izjava izključene sredine za lažniv stavek. Niti stavek Liar niti njegova negacija v kritiki teorije Kripke ne pridobita resnične vrednosti, zato ločitev obeh ni veljavna. Zaključek je, da KF, če ga obravnavamo kot aksiomatizacijo Kripkejeve teorije, ni smiseln glede na predvideno semantiko. Zaradi tega Halbach in Horsten (2006) in Horsten (2011) raziskujeta aksiomatizacijo Kripkejeve teorije z delno logiko kot notranjo in zunanjo logiko. Njihov predlog, teorijo z oznako PKF („delni KF“), je mogoče aksiomatizirati kot dvostransko zaporedno izračun v slogu Gentzen, ki temelji na logiki Močnega Kleena (glej vnos o večvredni logiki). PKF nastane tako, da se tej računici doda aritmetika Peano-Dedekindskih aksiomov, vključno s polno indukcijo in kompozicijskimi in resničnimi iteracijskimi pravili za resnico, kot jih določa Kripkejeva teorija. Rezultat je teorija resnice, ki je skladna s Kripkejevo teorijo.

Halbach in Horsten kažeta, da je ta aksiomatizacija Kripkejeve teorije bistveno šibkejša od klasične sestrične KF. Rezultat kaže, da omejevanje logike samo na stavke s predikatom resnice lahko ovira tudi izpeljavo teoremov brez resnice.

5.3 Dodajanje pogojnega

Field (2008) in drugi so kritizirali teorije, ki temeljijo na delni logiki, da ne obstajajo "ustrezni" pogojni in dvopogojni. Različni avtorji so predlagali pogojne in dvo pogojne pogoje, ki jih ni mogoče opredeliti v smislu (neg, / vee) in (klin). Field (2008) cilja na aksiomatično teorijo resnice, ki ni podobna PKF, ampak z novim pogojem. Feferman (1984) je v pogoj teorije v neklasični logiki vnesel tudi dvopogojno. Za razliko od Fieldsove in njegove lastne teorije iz leta 1984 je Fefermanova (2008) teorija DT formulirana v klasični logiki, vendar je njena notranja logika spet delna logika z močno pogojeno.

Bibliografija

  • Aczel, Peter, 1980, "Frege strukture in pojem propozicije, resnice in sklopa", The Kleene Symposium, Jon Barwise et al. (uredniki), Amsterdam: Severna Holandija, 31–59.
  • Bealer, George, 1982, Kakovost in koncept, Oxford: Clarendon Press.
  • Burgess, John P., 2014, "Friedman in aksiomatizacija Kripkeove teorije resnice", v Temeljnih pustolovščinah: eseji v čast Harveyja M. Friedmana, uredil Neil Tennant, London: College Publications in Templeton Press (na spletu).
  • Cantini, Andrea, 1989, "Opombe o formalnih teorijah resnice", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 35: 97–130.
  • –––, 1990, „Teorija formalne resnice, aritmetično enakovredna (mathrm {ID} _1)“, Journal of Symbolic Logic, 55: 244–59.
  • –––, 1996, Logični okviri resnice in abstrakcije: Aksiomatična študija, Študije v logiki in temelji matematike (št. 135), Amsterdam: Elsevier.
  • Cieśliński, Cezary, 2010, “Resnica, konservativnost in dokazivost”, um, 119: 409–422.
  • –––, 2007, „Deflacionizem, konzervativnost in maksimalnost“, Journal of Philosophical Logic, 36: 695–705.
  • –––, 2017, Epistemska lahkotnost resnice: deflacionizem in njegova logika, Univerza v Cambridgeu.
  • Enayat, Ali in Albert Visser, 2015, "Nove konstrukcije razredov zadovoljstva", v Združevanju filozofije resnice, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto in J. Martínez-Fernández (ur.), Dordrecht: Springer, 321–335.
  • Feferman, Solomon, 1962, "Transfinitivno rekurzivno napredovanje aksiomatskih teorij", Journal of Symbolic Logic, 27: 259–316.
  • –––, 1984, „K uporabnim teorijam brez tipov“. JAZ." Časopis za simbolično logiko, 49: 75–111.
  • –––, 1991, „Razmišljanje o nepopolnosti“, Časopis za simbolično logiko, 56: 1–49.
  • –––, 2008, „Aksiomi za odločnost in resnico“, Pregled simbolične logike, 1: 204–217.
  • Field, Hartry, 1999, "Odbijanje argumenta o konzervativnosti", Journal of Philosophy, 96: 533–40.
  • –––, 2003, „Maščevalna rešitev za semantične paradokse“, Journal of Philosophical Logic, 32: 139–177.
  • –––, 2008, Shranjevanje resnice pred Paradoxom, Oxford: Oxford University Press.
  • Franzén, Torkel, 2004, Neizčrpanost: neizčrpno zdravljenje, Združenje za simbolično logiko.
  • Friedman, Harvey in Michael Sheard, 1987, "Aksiomatični pristop k samoporočanju resnice", Anali čiste in uporabne logike, 33: 1–21.
  • –––, 1988, „Lastnosti ločevanja in obstoja za aksiomatične sisteme resnice“, Anali čiste in uporabne logike, 40: 1–10.
  • Fujimoto, Kentaro 2012, »Razredi in resnice v teoriji množice«, Anali čiste in uporabne logike, 163: 1484–1523.
  • Glanzberg, Michael, 2015, "Kompleksnost in hierarhija v resnicah predikati", v Združevanju filozofije resnice, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto in J. Martínez-Fernández (ur.), Dordrecht: Springer, 211 –243.
  • Halbach, Volker, 1994, „Sistem popolne in dosledne resnice“, Časopis formalne logike Notre Dame, 35: 311–27.
  • –––, 2001, „Diskutacijska resnica in analitičnost“, Journal of Symbolic Logic, 66: 1959–1973.
  • –––, 2009, „Zmanjšanje kompozicijske diskutacijske resnice“, Pregled simbolične logike 2 (2009), 786–798.
  • –––, 2011, Axiomatic Theories of Truth, University of Cambridge, revidirana izdaja 2014.
  • Halbach, Volker in Leon Horsten, 2006, "Axiomatizing Kripke's Theory of Truth", Journal of Symbolic Logic, 71: 677–712.
  • Hájek, Petr in Pavel Pudlak, 1993, Metamathetika aritmetike prvega reda, Berlin: Springer.
  • Heck, Richard, 2001, "Resnica in diskutacija", Synthese, 142: 317–352.
  • –––, 2015, „Doslednost in teorija resnice“, Pregled simbolične logike, 8: 424–466.
  • Horsten, Leon, 1995, "Semantični paradoksi, nevtralnost resnice in nevtralnost minimalistične teorije resnice", v The Many Problems of Realism (Študije splošne filozofije znanosti: 3. zvezek), P. Cortois (ur..), Tilburg: Tilburg University Press, 173–87.
  • –––, 2011, Tarški preobrat. Deflacionizem in aksiomatična resnica, MIT Press.
  • Horsten, Leon in Graham E. Leigh, 2017, »Resnica je preprosta«, Mind, 126 (501): 195–232.
  • Kahle, Reinhard, 2001, "Resnica v aplikativnih teorijah", Studia Logica, 68: 103–128.
  • Kaye, Richard, 1991, Modeli peano aritmetike, Oxford Logic Guides, Oxford: Oxford University Press.
  • Ketland, Jeffrey, 1999, "Deflacionizem in Tarski raj", um, 108 (429): 69–94.
  • Kotlarski, Henryk in Zygmunt Ratajczyk, 1990a, „Induktivni razredi popolnega zadovoljstva“, Anali čiste in uporabne logike, 47: 199–223.
  • –––, 1990b, „Več o indukciji v jeziku z razredom zadovoljstva“, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 36: 441–54.
  • Kotlarski, Henryk, Stanislav Krajewski in Alistair H. Lachlan, 1981, "Izdelava razredov zadovoljstva za nestandardne modele", Kanadski matematični bilten, 24: 283–93.
  • Kreisel, Georg in Azriel Lévy, 1968, “Načela refleksije in njihova uporaba za vzpostavitev kompleksnosti aksiomatičnih sistemov”, Zeitschrift für matematičarska logika in Grundlagen der Mathematik, 14: 97–142.
  • Kremer, Michael, 1988, „Kripke in logika resnice“, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–278.
  • Kripke, Saul, 1975, "Oris teorije resnice", Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • Lachlan, Alistair H., 1981, "Razredi polnega zadovoljstva in rekurzivna nasičenost", Kanadski matematični bilten, 24: 295–97.
  • Leigh, Graham E., 2013, "Dokazilo teoretičen prikaz klasičnih načel resnice." Anali čiste in uporabne logike, 164: 1009–1024.
  • –––, 2015, „Konzervativnost za teorije kompozicijske resnice s pomočjo izločanja.“Časopis za simbolično logiko, 80 (3): 845–865
  • –––, 2016, „Razmišljanje o resnici“, IfCoLog Journal of Logics in njihove aplikacije, 3 (4): 557–594.
  • Leigh, Graham E., in Michael Rathjen, 2012, "Friedman-Sheardov program v intuicijski logiki", Journal of Symbolic Logic, 77: 777–806.
  • –––, 2010, „Redna analiza za teorije samoreferenčne resnice“, Arhiv za matematično logiko, 49: 213–247.
  • Leitgeb, Hannes, 2001, "Teorije resnice, ki nimajo standardnih modelov", Studia Logica, 68: 69–87.
  • Maudlin, Tim, 2004, Resnica in paradoks. Reševanje ugank, Oxford: Clarendon Press.
  • McGee, Vann, 1985, "Kako resničen je lahko predikat? Negativni rezultat, „Časopis za filozofsko logiko, 14: 399–410.
  • –––, 1991, Resnica, nejasnost in paradoks: esej o logiki resnice, Indianapolis in Cambridge: Hackett Publishing.
  • –––, 1992, „Največji skladni nizi primerov Tarski-jeve sheme (T)“, Journal of Philosophical Logic, 21: 235–241.
  • Myhill, John, 1950, „Sistem, ki lahko opredeli svojo resnico“, Fundamenta Mathematicae, 37: 190–92.
  • Nicolai, Carlo, 2016, „Beležka o vpisanih trditvah resnice in doslednosti“, Časopis za filozofsko logiko, 45: 89–119.
  • Reinhardt, William N., 1986, "Nekaj opomb o razširjanju in razlagi teorij z delnim napovedom resnice", Journal of Philosophical Logic, 15: 219–51.
  • Schindler, Thomas, 2015, “Diskjutacijska teorija resnice, tako močna kot (mathrm {Z} ^ {-} _ 2)”, Journal of Philosophical Logic, 44: 395–410.
  • Scott, Dana, 1975, "Kombinatorji in razredi", v (lambda) - teoriji računanja in računalništva (predavanja v računalništvu: letnik 37), C. Böhm (ur.), Berlin: Springer, 1– 26.
  • Shapiro, Stewart, 1998, "Dokaz in resnica: skozi debele in tanke", Journal of Philosophy, 95 (10): 493–521.
  • –––, 2002, „Izpuščanje in ohranitev“, Načela resnice, Volker Halbach in Leon Horsten (ur.), Frankfurt aM: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 103–128
  • Sheard, Michael, 1994, "Vodnik po resnicah napoveduje v moderni dobi", Journal of Symbolic Logic, 59: 1032–54.
  • –––, 2001, „Šibke in močne teorije resnice“, Studia Logica, 68: 89–101.
  • –––, 2002, „Resnica, verjetnost in naivna merila“, Načela resnice, Volker Halbach in Leon Horsten (ur.), Frankfurt aM: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 169–181.
  • Takeuti, Gaisi, 1987, Proof Theory (Študije v logiki in temelji matematike: št. 81), Amsterdam: Severna Holandija, druga izdaja.
  • Tarski, Alfred, 1935, "Koncept resnice v formaliziranih jezikih", v logiki, semantika, metamathetika, Indianapolis: Hackett 1983, 2d izdaja, 152–278.
  • Tennant, Neil, 2002, "Deflacija in fenomeni Gödel-a", Mind, 111: 551–582.
  • Turner, Raymond, 1990, Resnica in modalnost, London: Pitman.
  • Visser, Albert, 1989, „Semantika in paradoks lažnivca“, Priročnik filozofske logike, 4: 617–706.
  • Yablo, Stephen, 1993, „Paradoks brez samo sklicevanja“, Analiza, 53: 251–252.
  • Wcisło, Bartosz in Mateusz Łełyk, 2017, „Opombe o omejeni indukciji za predikat kompozicijske resnice“, Pregled simbolične logike, 10: 455–480.

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

[S predlogi se obrnite na avtorja.]

Priporočena: