Teorija Vrst

Kazalo:

Teorija Vrst
Teorija Vrst

Video: Teorija Vrst

Video: Teorija Vrst
Video: А.Иноятов"Низкоэнергетическая ядерная электронная спектроскопия в НЭОЯСиРХ"/A.Inoyatov"Low-Energy.." 2024, Marec
Anonim

Vstopna navigacija

  • Vsebina vpisa
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Prijatelji PDF predogled
  • Informacije o avtorju in citiranju
  • Nazaj na vrh

Teorija vrst

Prvič objavljeno 8. februarja 2006; vsebinska revizija Torek, 17. julij 2018

Tema teorije tipov je temeljna tako v logiki kot v računalništvu. Tu se omejimo, da skiciramo nekatere vidike, ki so pomembni v logiki. Glede pomena vrst v računalništvu navajamo bralca na primer na Reynolds 1983 in 1985.

  • 1. Paradoksi in Russellove vrste teorij
  • 2. Teorija enostavnih vrst in (lambda) - preračun
  • 3. Ramificirana hierarhija in nepredvidljiva načela
  • 4. Vnesite teorijo / nastavite teorijo
  • 5. Vrsta teorije / teorija kategorij
  • 6. Razširitve tipnega sistema, polimorfizem, paradoksi
  • 7. Enostranske fundacije
  • Bibliografija
  • Akademska orodja
  • Drugi internetni viri
  • Povezani vnosi

1. Paradoksi in Russellove vrste teorij

Teorijo tipov je uvedel Russell, da bi se spopadel z nekaterimi protislovji, ki jih je našel v svojem računu teorije množic in je bil predstavljen v "Prilogi B: Nauk o tipih" Russella 1903. To protislovje je bilo pridobljeno z analizo teorema Cantorja da ne preslikava

[F: X / pravica> Pow (X))

(kjer je (Pow (X)) razred podrazredov razreda (X)) lahko surjektivna; to pomeni, da (F) ne more biti tak, da je vsak član (b) (Pow (X)) za en element (a) od / enak (F (a)) (X). To lahko izrazimo "intuitivno" kot dejstvo, da obstaja več podvrsti (X) kot elementov (X). Dokaz tega dejstva je tako preprost in osnoven, da ga je vredno tukaj navesti. Razmislite o naslednji podvrsti (X):

[A = {x / v X / sredini x / ne / v F (x) }.)

Ta podniz ne sme biti v območju (F). Če je (A = F (a)), za nekatere (a) torej

(začeti {poravnati} a / v F (a) & / besedilu {iff} a / v A \& / besedilu {iff} a / ne / v F (a) koncu {poravnati})

kar je protislovje. Nekaj opomb je v redu. Prvič, dokaz ne uporablja zakona izključene sredine in zato velja intuicijsko. Drugič, metoda, ki se uporablja, imenovana diagonalizacija, je bila že prisotna v delu du Bois-Reymonda za gradnjo realnih funkcij, ki rastejo hitreje kot katere koli funkcije v določenem zaporedju funkcij.

Russell je analiziral, kaj se zgodi, če uporabimo ta izrek za primer, ko je A razred vseh razredov, in priznal, da obstaja tak razred. Nato so ga vodili k razmisleku o posebnem razredu razredov, ki ne pripadajo sami sebi

(oznaka {*} R = {w / sredina w / ne / in w }.)

Nato imamo

[R / v R / besedilu {iff} R / ne / v R.)

Zdi se, da se je Cantor že zavedal dejstva, da razreda vseh nizov ne moremo šteti za skupek.

Russell je to težavo sporočil Fregeu in njegovo pismo se skupaj z Fregeovim odgovorom pojavlja v van Heijenoort 1967. Pomembno je spoznati, da se formulacija (*) ne uporablja tako kot Fregeov sistem. Kot je Frege sam zapisal v odgovoru na Russela, izraz "predikat sam izhaja iz sebe" ni natančen. Frege je razlikoval med predikati (koncepti) in predmeti. Predikat (prvega reda) velja za predmet, vendar kot argument ne more imeti predikata. Natančna formulacija paradoksa v Fregeovem sistemu uporablja pojem razširitve predikata (P), ki ga označujemo kot (varepsilon P). Podaljšanje predikata je sam objekt. Pomemben aksiom V je:

(oznaka {Axiom V} varepsilon P = / varepsilon Q / equiv / forall x [P (x) equiv Q (x)])

Ta aksiom trdi, da je podaljšek (P) enak razširitvi (Q), če in samo, če sta (P) in (Q) materialno enakovredna. Nato lahko v Fregeovem sistemu prevedemo Russellov paradoks (*) z definiranjem predikata

[R (x) besedilo {iff} obstaja P [x = / varepsilon P / klin / neg P (x)])

Nato je mogoče to preveriti z uporabo Axioma V na ključen način, da

[R (varepsilon R) equiv / neg R (varepsilon R))

in imamo tudi protislovje. (Opazite, da smo za definiranje predikata (R) uporabili nepredvidljivo eksistencialno kvantifikacijo predikatov. Lahko se pokaže, da je prediktivna različica Fregeovega sistema dosledna (glej Heck 1996 in za nadaljnje izpopolnitve Ferreira 2002).

Iz tega poročila je razvidno, da je bila v Fregeovem delu že prisotna ideja o vrstah: tam najdemo razliko med predmeti, predikati (ali koncepti), predikati predikatov itd. (Ta točka je poudarjena v Quineu 1940.) Ta hierarhija Russell (1959) ga imenuje "ekstenzivna hierarhija", Russell pa je njeno potrebo priznal kot posledico svojega paradoksa.

2. Teorija enostavnih vrst in (lambda) - preračun

Kot smo videli zgoraj, se zdi razlikovanje: predmeti, predikati, predikati predikatov itd. Dovolj, da blokirajo Russellov paradoks (in to sta prepoznala Chwistek in Ramsey). Najprej opišemo strukturo tipov, kakršna je v Principiji, kasneje pa v tem razdelku predstavljamo elegantno formulacijo iz cerkve 1940, ki temelji na (lambda) - računu. Vrste je mogoče opredeliti kot

  1. (i) je vrsta posameznikov
  2. ((,)) je vrsta predloga
  3. če so vrste (A_1, / ldots, A_n) potem je ((A_1, / ldots, A_n)) vrsta (n) - ary odnosov nad predmeti ustreznih vrst (A_1, / ldots, A_n)

Na primer, vrsta binarnih odnosov nad posamezniki je ((i, i)), vrsta binarnih konektiv je (((,), (,))), vrsta kvantifikatorjev nad posamezniki je \(((jaz))).

Za oblikovanje predlogov uporabimo to vrsto strukture: torej je (R (a_1, / ldots, a_n)) predlog, če je (R) tipa ((A_1, / ldots, A_n)) in (a_i) je tipa (A_i) za (i = 1, / ldots, n). Ta omejitev onemogoča obliko predloga obrazca (P (P)): vrsta (P) naj bo v obliki ((A)) in (P) lahko samo se uporablja za argumente tipa (A), zato jih ni mogoče uporabiti, ker (A) ni isto kot ((A)).

Vendar preprosta teorija vrst ni predikativna: lahko objekt (Q (x, y)) tipa ((i, i)) določimo z

(forall P [P (x) supset P (y)])

Predpostavimo, da imamo dve osebi (a) in (b) taki, da imata (Q (a, b)). Lahko določimo (P (x)), da je (Q (x, a)). Potem je jasno, da velja (P (a)), saj je (Q (a, a)). Zato velja tudi (P (b)). Nepredvidljivo smo dokazali, da (Q (a, b)) pomeni (Q (b, a)).

Gödel in Tarski sta oblikovala alternativne enostavnejše formulacije, ki ohranijo le pojem razredov, razredov razredov itd. Pravzaprav je to enostavnejšo različico uporabil Gödel v svojem dokumentu iz leta 1931 o formalno nespornih predlogih. Odkritje nespornih trditev je bilo morda motivirano s hevrističnim argumentom, da je malo verjetno, da bi lahko izrek o popolnosti logike prvega reda razširil na teorijo tipa (glej konec njegovega predavanja v Königsbergu 1930, Zbrano delo v Gödlu, zvezek III in Goldfarb 2005). Tarski je imel različico teorema o določljivosti, izraženo v teoriji tipa (glej Hodges 2008). Glej Schiemer in Reck 2013.

Imamo predmete tipa 0, za posameznike, predmete tipa 1, za razrede posameznikov, predmete tipa 2, za razrede razredov posameznikov in podobno. Funkcij dveh ali več argumentov, kot so odnosi, ni treba vključiti med primitivne predmete, ker lahko določimo, da so odnosi urejeni pari, urejeni pari pa razredi razredov. Na primer, urejeni par posameznikov a, b lahko določimo kot ({ {a }, {a, b } }), kjer označuje ({x, y }) razred, katerega edini elementi sta (x) in (y). (Wiener 1914 je predlagal podobno zmanjšanje razmerij do razredov.) V tem sistemu imajo vse predloge obliko (a (b)), kjer je (a) znak tipa (n + 1) in (b) znak tipa (n). Tako je ta sistem zasnovan na konceptu poljubnega razreda ali podmnožice predmetov določene domene in na dejstvu, da lahko zbirka vseh podmnožic te domene tvori novo domeno naslednje vrste. Ta postopek se začne od določene domene posameznikov. Kot je na primer poudarjeno v Scottu 1993, je v teoriji množice ta proces tvorjenja podmnožij preveden v transfinite.

V teh različicah teorije vrst, tako kot v teoriji množic, funkcije niso primitivni objekti, ampak so predstavljeni kot funkcijski odnos. Funkcija dodajanja je na primer predstavljena kot ternarni odnos s predmetom tipa ((i, i, i)). Leta 1940 je Cerkev dobila elegantno formulacijo teorije preprostega tipa, ki jo razširja z uvajanjem funkcij kot primitivnih predmetov. Uporablja oznako (lambda) - računanje (Barendregt 1997). Ker je taka formulacija pomembna v računalništvu, za povezavo s teorijo kategorij in za teorijo vrst Martin-Löf, jo podrobno opišemo. V tej formulaciji se predikati obravnavajo kot posebna vrsta funkcij (predloge funkcije), ki sega v Frege (glej na primer Quine 1940). Poleg tegapojem funkcija je bolj primitiven kot pojem predikatov in odnosov, funkcija pa ni več opredeljena kot posebna vrsta odnosa. (Oppenheimer in Zalta 2011 predstavlja nekaj argumentov proti tako primitivni predstavitvi funkcij.) Vrste tega sistema so definirane induktivno, kot sledi

  1. obstajata dve osnovni vrsti (i) (vrsta posameznikov) in (o) (vrsta predloga)
  2. če so (A, B) tipi, potem je (A / rightarrow B) vrsta funkcij od (A) do (B) vrsta

Na ta način lahko oblikujemo vrste:

(i / pravica o) (vrsta predikatov)
((i / pravica o) pravica o) (vrsta predikatov predikatov)

ki ustrezajo vrstama ((i)) in (((i))), pa tudi novim vrstam

(i / pravica in) (vrsta funkcij)
((i / pravica i) pravica i) (vrsta funkcij)

Primerno je pisati

[A_1, / ldots, A_n / rightarrow B)

za

[A_1 / pravica (A_2 / rightarrow / ldots / rightarrow (A_n / rightarrow B)))

V to smer

[A_1, / ldots, A_n / rightarrow o)

ustreza vrsti ((A_1, / ldots, A_n)).

Logika prvega reda upošteva samo vrste obrazca

(i, / ldots, i / rightarrow i) (vrsta funkcijskih simbolov), in
(i, / ldots, i / rightarrow o) (vrsta predikata, relativni simboli)

Opazite to

[A / pravica B / rightarrow C)

pomeni

[A / pravica (B / pravica C))

(zveza na desni).

Za izraze te logike ne bomo sledili cerkvenemu poročilu, temveč rahli različici tega zaradi Curryja (ki je imel podobne zamisli, preden se je pojavil Church's paper) in ki je podrobno predstavljen v knjigi R. Hindleyja o teoriji vrst. Tako kot Church uporabljamo tudi (lambda) - račun, ki daje splošen zapis funkcij

[M:: = x / sredina MM / sredina / lambda xM)

Tu smo uporabili tako imenovano notacijo BNF, zelo priročno pri računanju. To daje skladenjsko specifikacijo izrazov (lambda), ki ob razširitvi pomeni:

  • vsaka spremenljivka je funkcijski simbol;
  • vsaka kombinacija dveh funkcijskih simbolov je funkcijski simbol;
  • vsak (lambda xM) je funkcijski simbol;
  • drugih funkcijskih simbolov ni.

Pojem za uporabo funkcije (MN) je nekoliko drugačen od matematičnega zapisa, ki bi bil (M (N)). Na splošno, [M_1 M_2 M_3)

pomeni

[(M_1 M_2) M_3)

(zveza na levi). Izraz (lambda xM) predstavlja funkcijo, ki se (N) pridruži (M [x: = N)]. Ta zapis je tako priročen, da se človek vpraša, zakaj se v matematiki ne uporablja veliko. Glavna enačba (lambda) - računanje je potem ((beta) - pretvorba)

[(lambda xM) N = M [x: = N])

ki izraža pomen (lambda xM) kot funkcijo. Uporabili smo (M [x: = N)] kot notacijo vrednosti izraza, ki nastane, ko je (N) v matriki (M) nadomeščen spremenljivko (x). Običajno ta enačba vidi kot pravilo za prepisovanje ((beta) - zmanjšanje)

[(lambda xM) N / desnica M [x: = N])

Pri netipičnem lambda računu je mogoče, da se takšno prepisovanje ne konča. Primer kanonika je podan z izrazom (Delta = / lambda xx x) in aplikacijo

(Delta / Delta / rightarrow / Delta / Delta)

(Opazite podobnost z Rusdolovim paradoksom.) Ideja Curryja je nato gledati vrste kot predikate nad lambda izrazi, pri čemer piše (M: A), da izrazi, da (M) izpolnjuje predikat / tip (A). Pomen

[N: A / pravica B)

je potem

(forall M, / besedilo {če} M: A / besedilo {potem} NM: B)

kar upravičuje naslednja pravila

(frac {N: A / pravica BM: A} {NM: B}) (frac {M: B [x: A]} { lambda xM: A / pravica B})

Na splošno se dela s presojami obrazca

[x_1: A_1,…, x_n: A_n / vdash M: A)

pri čemer so (x_1,…, x_n) ločene spremenljivke in (M) je izraz z vsemi prostimi spremenljivkami med (x_1,…, x_n). Da bi lahko dobili cerkveni sistem, je treba dodati nekaj konstant, da bi oblikovali predloge. Običajno

ne: (o / jajca o)
pomeni: (o / jajca o / pravica o)
in: (o / jajca o / pravica o)
za vse: ((A / pravica o) pravica o)

Izraz

(lambda x. / neg (xx))

predstavlja predikat predikatov, ki ne veljajo zase. Vendar ta izraz nima vrste, torej (A) takega ni mogoče najti

(lambda x. / neg (xx): (A / jajce o) pragozd o)

kar je formalni izraz dejstva, da Russellovega paradoksa ni mogoče izraziti. Leibniz enakost

[V: i / rightarrow i / rightarrow o)

bo opredeljeno kot

[Q = / lambda x. / lambda y. / forall (lambda P. / implicite (P x) (P y)))

Običajno zapiše (forall x [M)] namesto (forall (lambda xM)), definicijo (Q) pa lahko nato zapišemo kot

[Q = / lambda x. / Lambda y. / Forall P (pomen (P x) (P y)])

Ta primer še enkrat ponazarja, da lahko v preprosti teoriji tipa oblikujemo nepredvidljive definicije.

Uporaba (lambda) - izrazov in (beta) - redukcije je najprimernejša za predstavljanje zapletenih pravil nadomestitve, ki so potrebna v preprosti teoriji tipa. Na primer, če želimo v predlogu nadomestiti predikat (lambda xQ ax) za (P)

(pomeni (P a) (P b))

dobimo

(pomeni ((lambda xQ os) a) ((lambda xQ os) b))

in z uporabo (beta) - zmanjšanja, (pomeni (Q aa) (Q ab))

Če povzamemo, preprosta teorija vrst prepoveduje samo uporabo, ne pa krožnosti, ki je prisotna v nepredvidljivih definicijah.

Formalizem (lambda) - računanja omogoča tudi jasnejšo analizo Russellovega paradoksa. Lahko ga vidimo kot definicijo predikata

[R x = / neg (xx))

Če pomislimo na (beta) - redukcijo kot proces odpiranja definicije, vidimo, da že obstaja težava z razumevanjem definicije RR

[RR / rightarrow / neg (RR) rightarrow / neg (neg (RR)) rightarrow / ldots)

V nekem smislu imamo neosnovano definicijo, ki je prav tako problematična kot protislovje (predlog, enakovreden njeni negaciji). En pomemben izrek, izrek o normalizaciji, pravi, da se to ne more zgoditi s preprostimi tipi: če imamo (M: A), potem je (M) močna normalizacija (vsako zaporedje zmanjšanj, ki se začne od (M) preneha).

Za več informacij o tej temi poiščemo vpis o cerkveni preprosti teoriji tipa.

3. Ramificirana hierarhija in nepredvidljiva načela

Russell je uvedel drugo hierarhijo, ki je ni motivirala noben formalni paradoks, izražen v formalnem sistemu, temveč strah pred "krožnostjo" in neformalnimi paradoksi, podobnimi paradoksom lažnivca. Če moški reče "lažem", imamo situacijo, ki spominja na Russell-ov paradoks: predlog, ki je enakovreden lastni negaciji. Druga neuradna taka paradoksalna situacija je pridobljena, če definiramo celo število kot "najmanj celo število, ki ga ni mogoče določiti z manj kot 100 besedami". Da bi se izognil takšnim neformalnim paradoksom, je Russell menil, da je treba uvesti drugo vrsto hierarhije, tako imenovano "raztrgano hierarhijo". Na potrebo po takšni hierarhiji je namignjeno v Dodatku B Russell 1903. Zanimivo je, da je to povezano z vprašanjem identitete enakovrednih propozicij in logičnega izdelka razreda propozicij. Temeljita razprava je na voljo v 10. poglavju Russella 1959. Ker je ta pojem o razvejani hierarhiji izredno vplival na logiko in zlasti teorijo dokazovanja, jo opisujemo v nekaterih podrobnostih.

Za nadaljnjo motiviranje te hierarhije je tukaj en primer zaradi Russela. Če rečemo

Napoleon je bil Korzičan.

v tem stavku ne omenjamo nobenega sestavljanja lastnosti. Kaže, da je lastnost "biti Korzikanec" prediktivna. Če rečemo po drugi strani

Napoleon je imel vse lastnosti velikega generala

mislimo na celoto lastnosti. Lastnost "imeti vse lastnosti velikega generala" naj bi bila nepredvidljiva.

Drugi primer, ki prihaja tudi od Russella, kaže, kako lahko nepredvidljive lastnosti povzročijo težave, ki spominjajo na lažniv paradoks. Recimo, da predlagamo definicijo

Tipični Anglež je tisti, ki ima vse lastnosti, ki jih ima večina Angležev.

Jasno je, da večina Angležev nima vseh lastnosti, ki jih ima večina Angležev. Zato bi moral biti tipični Anglež po tej definiciji netipičen. Russellova težava je, da je bila beseda "tipična" opredeljena s sklicevanjem na vse lastnosti in je bila obravnavana kot lastnost. (Izjemno je, da se podobni problemi pojavljajo pri definiranju pojma naključnih števil, prim. Martin-Löf "Opombe k konstruktivni matematiki" (1970). Treba je razlikovati med lastnostmi prvega reda, na primer korziško, ki se ne nanašajo na celoto nepremičnin, in menijo, da se lastnosti drugega reda nanašajo samo na celote lastnosti prvega reda. Nato lahko vnesete lastnosti tretjega reda, ki se lahko nanašajo na celotno lastnost drugega reda in tako naprej. To jasno odpravlja vse okrožnice, povezane z nepredvidljivimi definicijami.

Približno v istem času je Poincaré izvedel podobno analizo. Poudaril je pomen "prediktivnih" klasifikacij in ne definiranja elementov razreda s pomočjo količinske določitve za ta razred (Poincaré 1909). Poincaré je uporabil naslednji primer. Predpostavimo, da imamo zbirko z elementi 0, 1 in operacijo +, ki izpolnjuje

(začeti {poravnati} x + 0 & = 0 \\ x + (y + 1) & = (x + y) +1 / konec {poravnati})

Recimo, da je lastnost induktivna, če ima 0 in drži za (x + 1), če drži za (x).

Nepredvidljiva in potencialno "nevarna" definicija bi bila opredelitev elementa, ki naj bo število, če izpolnjuje vse induktivne lastnosti. Potem je enostavno pokazati, da je ta lastnost "biti število" sama po sebi induktivna. Dejansko je 0 število, ker izpolnjuje vse induktivne lastnosti, in če (x) izpolnjuje vse induktivne lastnosti, potem to velja (x + 1). Podobno je enostavno pokazati, da je (x + y) število, če so (x, y) številke. Pravzaprav je lastnost (Q (z)), da je (x + z) število, induktivna: (Q) (0) drži, ker (x + 0 = x) in če (x + z) je število, torej je (x + (z + 1) = (x + z) +1). Ta celoten argument pa je krožen, saj lastnost „biti število“ni napovedna in jo je treba obravnavati sumljivo.

Namesto tega bi morali uvesti razvejano hierarhijo lastnosti in števil. Na začetku ima ena samo induktivne lastnosti prvega reda, ki se v svojih definicijah ne sklicujejo na celoto lastnosti, ena pa določa, da so številka v vrstici 1 elementi, ki izpolnjujejo vse induktivne lastnosti prvega reda. Nato lahko razmislimo o induktivnih lastnostih drugega reda, ki se lahko nanašajo na zbirko lastnosti prvega reda in števila 2. reda, ki so elementi, ki izpolnjujejo induktivne lastnosti reda 2. Nato lahko podobno upoštevamo številke vrstnega reda 3 in tako naprej. Poincaré poudarja dejstvo, da je število reda 2 fortiori število reda 1, na splošno pa je število vrst (n + 1) fortiori število vrst (n). Tako imamo zaporedje vedno bolj omejenih lastnosti:induktivne lastnosti reda 1, 2,… in zaporedje bolj in bolj omejenih zbirk predmetov: številke reda 1, 2,… Prav tako je lastnost »biti število reda (n)« sama po sebi induktivna lastnost reda (n + 1).

Ne zdi se mogoče dokazati, da je (x + y) število vrst (n), če so (x, y) številke reda (n). Po drugi strani je mogoče pokazati, da če je (x) število vrst (n + 1) in (y) število vrstnega reda (n + 1), potem (x + y) je več vrstnega reda (n). Dejansko je lastnost (P (z)), da je "(x + z) število vrst (n)", induktivna lastnost reda (n + 1: P) (0) drži, ker je (x + 0 = x) več vrstnega reda (n + 1) in s tem tudi vrstni red (n), in če drži (P (z)), to je, če (x + z) je več vrstnega reda (n), potem je tako tudi (x + (z + 1) = (x + z) +1), in tako (P (z + 1)) drži. Ker je (y) število vrst (n + 1) in (P (z)) induktivna lastnost reda (n + 1, P (y)) drži in tako (x + y) je več vrstnega reda (n). Ta primer dobro ilustrira zapletenosti, ki jih prinaša razvejana hierarhija.

Kompleksnosti se še povečajo, če eden, tako kot Russell kot Frege, definira celo osnovne predmete, kot so naravna števila, kot razrede razredov. Številka 2 je na primer definirana kot razred vseh razredov posameznikov, ki imajo točno dva elementa. V razvejani hierarhiji znova dobimo naravno število različnih vrst. Poleg Russella in Chwistek je kljub vsem tem zapletom poskušal razviti aritmetiko na razjarjen način, zanimanje za takšno analizo pa je poudaril Skolem. Glej Burgess in Hazen 1998 za nedavni razvoj.

Drugi matematični primer nepredvidljive definicije je pogosto opredelitev najmanjše zgornje meje omejenega razreda realnih števil. Če identificiramo resničnost z naborom racional, ki je manjši od tega, vidimo, da je to najmanjšo zgornjo mejo mogoče opredeliti kot združitev vseh elementov v tem razredu. Opredelimo podskupine racionalnih kot predikate. Na primer, za racionalna števila (q, P (q)) velja, da je iff (q) član podskupine, označene kot (P). Zdaj določimo predikat (L_C) (podmnožje racionalov) kot najmanjšo zgornjo mejo razreda (C) kot:

(forall q [L_C (q) leftrightarrow / obstaja P [C (P) klin P (q)])

kar je nepredvidljivo: predikat (L) smo definirali z eksistencialno kvantifikacijo za vse predikate. Če je v razvejani hierarhiji razred (C) razred racionalnih razredov prvega reda, bo (L) razred racionalnih vrst drugega reda. Nekdo potem dobi ne en pojem ali resnične številke, ampak dejanske številke različnih naročil 1, 2,… Najmanjša zgornja meja zbirke unovčitev vrstnega reda 1 bo potem vsaj reda 2.

Kot smo že videli, še en primer nepredvidljive definicije daje Leibnizova definicija enakosti. Pri Leibnizu je predikat "enak (a)" velja za (b) iff (b) izpolnjuje vse predikate, ki jih izpolnjuje (a).

Kako se je treba spoprijeti z zapleti, ki jih prinaša razvejana hierarhija? Russell je v uvodu k drugi izdaji časopisa Principia Mathematica pokazal, da se lahko tem zapletom v nekaterih primerih izognemo. V dodatku B druge izdaje Principia Mathematica je celo mislil, da razsvetljena hierarhija naravnih števil reda reda 1,2,… propada pri vrstnem redu 5. Vendar je Gödel pozneje našel težavo v svoji trditvi in res je bil prikazal Myhill 1974, da se ta hierarhija pravzaprav ne ruši na nobeni končni ravni. Podobna težava,o katerem je Russell razpravljal v uvodu k drugi izdaji Principia Mathematica, izhaja v dokazu Cantorjevega izrekanja, da od zbiranja vseh predikatov do zbiranja vseh predmetov ne more biti nobenih injektivnih funkcij (različica Russellovega paradoksa v Fregeovem sistemu, ki ga imamo predstavljeno v uvodu). Ali je to mogoče storiti v razvejani hierarhiji? Russell je dvomil, da bi to lahko storili znotraj razjarjene hierarhije predikatov in to je bilo res potrjeno pozneje (Heck 1996).

Zaradi teh težav sta Russell in Whitehead v prvi izdaji Principia Mathematica uvedla naslednji aksiom reducibilnosti: hierarhija predikatov, prvega reda, drugega reda itd. Se zruši na ravni 1. To pomeni, da za vsak predikat katere koli vrstnega reda, obstaja predikat ravni prvega reda, ki je enakovreden njemu. V primeru enakosti na primer postavimo razmerje prvega reda "(a = b)", ki je enako "(a) izpolnjuje vse lastnosti, ki jih izpolnjuje (b)". Motivacija za ta aksiom je bila povsem pragmatična. Brez nje so vsi osnovni matematični pojmi, kot so realna ali naravna števila, razvrščeni v različne zaporedje. Tudi zaradi očitne krožnosti nepredvidljivih definicij se zdi, da aksiom reducibilnosti ne vodi v neskladja.

Kot je najprej opazil Chwistek in kasneje Ramsey, ob prisotnosti aksioma reducibilnosti pravzaprav nima smisla uvajati razvejene hierarhije! Veliko lažje je sprejeti nepredvidljive definicije od vsega začetka. Dovolj je preprosta „ekstenzivna“hierarhija posameznikov, razredov, razredov razredov…. Na ta način dobimo enostavnejše sisteme, formalizirane v Gödel 1931 ali Church 1940, ki so bili predstavljeni zgoraj.

Aksiom reducibilnosti opozarja na problematičen status nepredvidljivih definicij. Če navajamo Weyl 1946, je aksiom reducibilnosti „drzen, skoraj fantastičen aksiom; v resničnem svetu, v katerem živimo, je to malo upravičeno in sploh ni v dokazih, na katerih naš um temelji na svojih konstrukcijah! Do zdaj ni bilo ugotovljeno nobeno protislovje z uporabo aksioma reduktivnosti. Kakor bomo videli spodaj, dokazno-teoretske preiskave potrjujejo izjemno moč takšnega načela.

Ideja o razvejani hierarhiji je bila izredno pomembna v matematični logiki. Russell je razmišljal le o končni iteraciji hierarhije: prvega reda, drugega reda itd., Toda od začetka je bila upoštevana možnost, da bi se razvejenost razširilo v nedogled. Poincaré (1909) omenja delo Koeniga v tej smeri. Zgornji primer števil različnih vrst, določi tudi število, ki je induktivno za red (omega), če je induktivno za vse končne zaporedje. Nato poudarja, da je x + y induktivni vrstni red (omega), če sta oba (x) in (y). To kaže, da lahko uvedba čezmejnih naročil v nekaterih primerih igra aksiom reducibilnosti. Takšen transfinitetni podaljšek razvejane hierarhije je nadalje analiziral Gödel, ki je opazil ključno dejstvo, da je naslednja oblika aksioma reduktivnosti dejansko dokazljiva: ko človek razširi ramificirano hierarhijo lastnosti nad naravnimi številkami v transfinite, se ta hierarhija zruši na ravni (omega_1), najmanj neizštevni ordinal (Gödel 1995 in Prawitz 1970). Poleg tega je medtem ko je na vseh ravneh (lt / omega_1) zbiranje predikatov mogoče šteti, zbiranje predikatov na ravni (omega_1) je kardinalnosti (omega_1). To dejstvo je bilo močna motivacija Gödelovega modela konstrukcijskih sklopov. V tem modelu je zbirka vseh podskupov nabora naravnih števil (predstavljena s predikati) kardinalnosti (omega_1) in je podobna razvejani hierarhiji. Ta model na ta način izpolnjuje hipotezo o kontinuumu in daje ta aksiom sorazmerno doslednost. (Motivacija Gödela je bila prvotno le za izdelavo modela, kjer je zbiranje vseh podvrstic naravnih števil dobro urejeno.)

Razvejana hierarhija je bila tudi vir veliko dela v dokazni teoriji. Potem ko je Gentzen odkril, da je skladnost aritmetike mogoče dokazati s transfinitno indukcijo (nad odločljivimi predikati) vzdolž zaporedja (varepsilon_0), je naravno vprašanje najti ustrezno zaporedje za različne ravni potrjene hierarhije. Schütte (1960) je ugotovil, da za prvo stopnjo razvejane hierarhije, to je, če aritmetiko razširimo tako, da kvantificiramo samo lastnosti prvega reda, dobimo sistem redne jakosti (varepsilon _ { varepsilon_0}). Za drugo stopnjo dobimo zaporedno jakost (varepsilon _ { varepsilon_ { varepsilon_0}}) itd. Spomnimo, da (varepsilon _ { alfa}) označuje (alfa) - th (varepsilon) - zaporedna številka,an (varepsilon) - zaporedna številka je zaporedna (beta), tako da (omega ^ { beta} = / beta), glej Schütte (1960).

Gödel je poudaril dejstvo, da njegov pristop k problemu hipoteze o kontinuumu ni bil konstruktiven, saj potrebuje nešteto zaporedje (omega_1), zato je bilo naravno raziskovanje razjarjene hierarhije po konstruktivnih ordinacijah naravno. Po predhodnih delih Lorenzena in Wanga je Schütte analiziral, kaj se zgodi, če bomo nadaljevali na naslednji bolj konstruktiven način. Ker ima aritmetika za ordinal jakost (varepsilon_0), najprej upoštevamo iteracijo razvejene hierarhije do (varepsilon_0). Schütte je izračunal ordinalno jakost dobljenega sistema in našel ordinal jakost (u (1) gt / varepsilon_0). Ponovimo nato razvejano hierarhijo do te zaporedne (u (1)) in dobimo sistem ordinalne jakosti (u (2) gt u (1)) itd. Vsak (u (k)) lahko izračunamo v smislu tako imenovane Veblenove hierarhije:(u (k + 1)) je (phi_ {u (k)} (0)). Omejitev tega postopka daje zaporedje imenovano (Gamma_0): če ponovimo razvejano hierarhijo do ordinalne (Gamma_0), dobimo sistem redne jakosti (Gamma_0). Takšen ordinal je približno istočasno dobil S. Feferman. Trdilo se je, da ima (Gamma_0) za predikativne sisteme vlogo, ki je podobna (varepsilon_0) za Aritmetiko. Najnovejša dokazno-teoretična dela pa zadevajo sisteme z večjimi dokazno-teoretičnimi ordinali, ki jih je mogoče šteti za predikativne (glej na primer Palmgren 1995). Trdilo se je, da ima (Gamma_0) za predikativne sisteme vlogo, ki je podobna (varepsilon_0) za Aritmetiko. Najnovejša dokazno-teoretična dela pa zadevajo sisteme z večjimi dokazno-teoretičnimi ordinali, ki jih je mogoče šteti za predikativne (glej na primer Palmgren 1995). Trdilo se je, da ima (Gamma_0) za predikativne sisteme vlogo, ki je podobna (varepsilon_0) za Aritmetiko. Najnovejša dokazno-teoretična dela pa zadevajo sisteme z večjimi dokazno-teoretičnimi ordinali, ki jih je mogoče šteti za predikativne (glej na primer Palmgren 1995).

Poleg teh dokaznih teoretičnih raziskav, povezanih z razčlenjeno hierarhijo, je bilo v dokazni teoriji veliko dela namenjenega analiziranju konsistentnosti aksioma reduktivnosti ali, kar je podobno, doslednosti nepredvidljivih definicij. Po Gentzenovi analizi lastnosti odstranjevanja reza v zaporednem računu je Takeuti našel elegantno zaporedno formulacijo preproste teorije vrst (brez razvejevanja) in naredil drzno domnevo, ki bi jo moral ta sistem uporabiti za ta sistem. Ta domneva se je sprva zdela zelo dvomljiva glede na krožnost nepredvidljivega kvantifikacije, kar se dobro odraža v tem formalizmu. Pravilo za določanje količin je resnično

(frac { Gamma / vdash / forall X [A (X)]} { Gamma / vdash A [X: = T]})

kjer je (T) katerikoli izraz predikat, ki lahko sam vključuje količinsko določitev za vse predikate. Tako je lahko formula (A [X: = T]) sama po sebi veliko bolj zapletena kot formula (A (X)).

Eden zgodnjih rezultatov je, da odstranjevanje reza za Takeutijev nepredvidljivi sistem končno pomeni doslednost aritmetike drugega reda. (Ena kaže, da to pomeni skladnost ustrezne oblike aksioma neskončnosti, glej Andrews 2002.) Po Schüttejevem delu sta pozneje pokazala W. Tait in D. Prawitz, da lastnost izločanja resnično drži (dokazilo o to mora uporabiti močnejše dokazno teoretično načelo, kot bi moralo biti glede na izrek o nepopolnosti.)

Tu je pomembno, da so te študije razkrile ekstremno moč nepredvidljivega kvantifikacije ali, kar je podobno, ekstremno moč aksioma reduktivnosti. To na nek način potrjuje intuicijo Poincaréja in Russella. Dokazno-teoretska moč aritmetike drugega reda je nad vsemi razvejanimi razširitvami aritmetike, ki jih je obravnaval Schütte. Po drugi strani pa kljub krožnosti nepredvidljivih definicij, ki je tako izražena v Takeutijevem računu, v Aritmetiki drugega reda še ni bilo mogoče najti paradoksa.

Druga raziskovalna smer teorije dokazovanja je bilo razumevanje, koliko je mogoče nepredvidljivega kvantifikacije razložiti iz načel, ki so na voljo v intuicijski matematiki. Najmočnejša taka načela so močne oblike induktivnih definicij. S takimi načeli je mogoče razložiti omejeno obliko nepredvidljivega kvantifikacije, imenovano (Pi_ {1} ^ 1) - razumevanje, pri kateri uporabimo le eno stopnjo nepredvidljivega kvantifikacije nad predikati. Zanimivo je, da je skoraj vse znane uporabe nepredvidljivih količinskih določil: enakost Leibniz-a, najmanjšo zgornjo mejo itd., Mogoče izvesti z (Pi_ {1} ^ 1) - razumevanjem. To zmanjšanje (Pi_ {1} ^ 1) - razumevanja je najprej dosegel Takeuti na precej posreden način, pozneje pa sta ga Buchholz in Schütte poenostavila s tako imenovanim pravilom (Omega) -. To lahko razumemo kot konstruktivno razlago nekaterih omejenih, a netrivialnih uporab nepredvidenih definicij.

4. Vnesite teorijo / nastavite teorijo

Teorijo tipov lahko uporabimo kot podlago za matematiko in Russell jo je kot tako predstavil v svojem delu iz leta 1908, ki se je pojavil istega leta kot Zermelov papir, in predstavil teorijo množic kot temelj matematike.

Intuitivno je jasno, kako lahko razložimo teorijo tipov v teoriji množic: tip preprosto razlagamo kot množico, vrste funkcij (A / rightarrow B) pa lahko razložimo z uporabo postavljenega teoretičnega pojma funkcije (kot funkcionalni odnos oz. tj. niz parov elementov). Tip (A / desnica o) ustreza operaciji napajanja.

Druga smer je bolj zanimiva. Kako lahko pojasnimo pojem nizov glede na vrste? Obstaja elegantna rešitev A. Miquela, ki dopolnjuje prejšnja dela P. Aczela (1978) in ki ima tudi prednost razlage ne nujno utemeljenih postavitev a la Finsler. Eden preprosto interpretira niz kot koničasti graf (kjer puščica v grafu predstavlja razmerje članstva). To je zelo priročno predstavljeno v teoriji tipa, koničasti graf preprosto podata vrsta A in par elementov

[a: A, R: A / pravica A / rightarrow o)

Nato lahko v teoriji tipa določimo, ko sta dve taki množici (A, a, R) in (B, b, S) enaki: v tem primeru je, če med (obstaja / A) in (B) takšna, da velja (Tab). Bisimulacija je odnos

[T: A / pravica B / pravica o)

tako, da kadarkoli zadržite (Txy) in (Rxu), obstaja (v) takšna, da se držita (Tuv) in (Syv), in kadarkoli (Txy) in (Ryv)) drži, obstaja (u) takšna, da se držita (Tuv) in (Rxu). Nato lahko določimo razmerje članstva: predstavljeni niz (B, b, S) je član niza, ki ga predstavlja (A, a, R), če obstaja (a_1) tak, da (Ra_1a) in (A, a_1, R) in (B, b, S) sta si podobni.

Potem je mogoče preveriti, ali v tem preprostem modelu držijo vsi običajni aksiomi ekstenzivnosti teorije množic, nabora moči, združevanja, razumevanja omejenih formul (in celo protifundacije, tako da odnosa članstva ni treba utemeljeno). (Omejena formula je formula, kjer so vse kvantifikacije v obliki (forall x / v a / ldots) ali (obstaja x / v a / ldots)). Na ta način se lahko pokaže, da je cerkvena preprosta teorija tipa enakovredna omejeni različici Zermelove teorije množic.

5. Vrsta teorije / teorija kategorij

Med teorijo vrst in teorijo kategorij obstajajo globoke povezave. Omejimo se na predstavitev dveh aplikacij teorije vrst v teoriji kategorij: konstrukcije proste kartezijanske zaprte kategorije in prostega toposa (glej vnos v teoriji kategorij za razlago "kartezijanskih zaprtih" in "toposov").

Za gradnjo proste kartezijanske zaprte kategorije razširimo preprosto teorijo tipa s tipom 1 (vrsta enote) in vrsto izdelka (A / krat B) za vrste (A, B). Izraze razširimo z dodajanjem operacij združevanja in projekcij ter posebnega elementa tipa 1. Tako kot pri Lambek in Scott 1986 lahko potem določimo pojem vtipkane pretvorbe med izrazi in pokažemo, da je to razmerje mogoče določiti. Nato lahko pokažemo (Lambek in Scott 1986), da je kategorija s tipi kot predmeti in kot morfizmi od (A) do (B) niz zaprtih izrazov tipa (A / rightarrow B) (s pretvorbo kot enakost) je prosto kartezijanska zaprta kategorija. To lahko uporabimo za prikaz, da je enakost med puščicami v tej kategoriji odločljiva.

Teorijo vrst Cerkve lahko uporabimo tudi za gradnjo prostih toposov. Za to vzamemo kot pare predmetov (A, E) tip (A) in (E) delno enakovredno razmerje, to je zaprt izraz (E: A / rightarrow A / rightarrow o) ki je simetrična in prehodna. Kot morfizme vzamemo med (A, E) in (B, F) razmerja (R: A / rightarrow B / rightarrow o), ki so funkcionalni, to je tako, da za katero koli (a: A), ki izpolnjujejo (E aa) obstaja en in samo en (modulo (F)) element (b) od (B) tak, da (F bb) in (R ab). Za podobjektivni klasifikator vzamemo par (o, E) z (E: o / rightarrow o / rightarrow o), opredeljenim kot

[EMN = / besedilo {in} (pomeni \, MN) (pomeni \, NM))

Nato lahko pokažemo, da ta kategorija tvori topos, resnično prosti topos.

Treba je opozoriti, da teorija tipa v Lambeku in Scottu 1986 uporablja različico teorije vrst, ki jo je uvedel Henkin in jo izpopolnil P. Andrews (2002).

(text {eq}: A / rightarrow A / rightarrow o)

in določiti vse logične vezi iz te veznice in konstante (T, F: o). Na primer, ena definira

(forall P = _ {df} text {eq} (lambda xT) P)

Enakost pri tipu (o) je logična enakovrednost.

Ena od prednosti intenzivne formulacije je ta, da omogoča neposredno zapisovanje dokazov, ki temeljijo na (lambda) - računu (Martin-Löf 1971 in Coquand 1986).

6. Razširitve tipnega sistema, polimorfizem, paradoksi

Opazili smo analogijo med operacijo A (rightarrow) A (rightarrow) o na tipih in operacijo vklopa v kompletih. V teoriji množic je možno, da operacijo vklopa napajalno ponavljamo vzdolž kumulativne hierarhije. Potem je naravno iskati analogne transfinitene različice teorije vrst.

Eno takšno razširitev cerkvene preproste teorije tipa dobimo z dodajanjem vesoljev (Martin-Löf 1970). Dodajanje vesolja je odsevni postopek: dodamo tip (U), katerega predmeti so doslej obravnavani tipi. Za preprosto cerkveno teorijo tipa bomo imeli

[o: U, i: U / besedilo {in} A / pravica B: U / besedilo {če} A: U, B: U)

in poleg tega je (A) vrsta, če (A: U). Nato lahko upoštevamo vrste, kot so

[(A: U) pravica A / pravica A)

in funkcije, kot so

(text {id} = / lambda A. / lambda xx: (A: U) rightarrow A / rightarrow A)

Funkcija id vzame kot argument "majhen" tip (A: U) in element (x) tipa (A) ter odda element tipa (A). Na splošno je, če je (T (A)) vrsta pod predpostavko (A: U), lahko tvorimo odvisen tip

[(A: U) pravica T (A))

To, da je (M) tega tipa, pomeni, da (MA: T (A)) kadarkoli (A: U). Tako dobimo razširitve teorije vrst, katerih moč je podobna trdnosti Zermelove teorije množic (Miquel 2001). Močnejša oblika vesolja je obravnavana v (Palmgren 1998). Miquel (2003) predstavlja različico teorije moči, ki je enakovredna tisti Zermelo-Fraenkel.

Ena zelo močna oblika vesolja dobimo z dodajanjem aksioma (U: U). To je predlagal P. Martin-Löf leta 1970. JY Girard je pokazal, da je nastala teorija vrst neskladna kot logični sistem (Girard 1972). Čeprav se sprva zdi, da bi človek lahko neposredno reproduciral Russell-ov paradoks z naborom vseh nizov, tak neposreden paradoks pravzaprav ni mogoč zaradi razlike med množicami in vrstami. Dejansko je izpeljava protislovja v takem sistemu subtilna in dokaj posredna (čeprav, kot smo opazili v Miquelu 2001, je zdaj to mogoče reducirati na Russell-ov paradoks, tako da predstavlja množice kot koničasti graf). JY Girard je prvi dobil svoj paradoks za šibkejši sistem. Ta paradoks je bil pozneje izpopolnjen (Coquand 1994 in Hurkens 1995). (Pojem sistema čistega tipa, uveden v Barendregtu 1992,je primeren za ostro formulacijo teh paradoksov.) Namesto aksioma (U: U) se predpostavlja samo

[(A: U) pravica T (A): U)

če (T (A): U [A: U]). Opazimo okroglost, ki je res enaka tisti, ki jo zavrnjena razvejana hierarhija zavrne: določimo element tipa (U) s količinsko določitvijo vseh elementov (U). Na primer vrsto

[(A: U) pravica A / pravica A: U)

bo vrsta polimorfne identitetne funkcije. Kljub tej krožnosti je JY Girard lahko pokazal normalizacijo za tipne sisteme s to obliko polimorfizma. Vendar je razširitev cerkvene preproste vrste teorije s polimorfizmom neskladna kot logični sistem, tj. Vse trditve (izrazi tipa o) so dokazljivi.

Motiva JY Girarda za razmislek o tipovskem sistemu s polimorfizmom je bila razširitev interpretacije Gödelove Dialectice (Gödel 1958) na aritmetiko drugega reda. Dokazal je normalizacijo z metodo reducibilnosti, ki jo je uvedel Tait (1967), medtem ko je analiziral Gödel 1958. Precej omembe vredno je, da okroglost, ki je povezana z nepredvidljivostjo, ne povzroča normalnih pogojev. (Nato je bil uporabljen argument Girarda, da je pokazal, da se odstranjevanje rezov konča v Takeutijevem zaporednem računu, predstavljenem zgoraj.) Podoben sistem je neodvisno uvedel J. Reynolds (1974), ko je analiziral pojem polimorfizma v računalniški znanosti.

Martin-Löf uvedbo vrste vseh vrst izvira iz identifikacije koncepta propozicij in vrst, ki ga predlaga delo Curryja in Howarda. Tu je vredno spomniti njegove tri motivacijske točke:

  1. Russellova definicija vrst kot obsega pomembnosti funkcij predloga
  2. dejstvo, da je treba količinsko ovrednotiti vse trditve (nepredvidljivost preproste teorije vrst)
  3. identifikacija predloga in vrst

Glede na (1) in (2) bi morali imeti vrsto predlogov (kot v teoriji preprostega tipa) in glede na (3) bi moral biti to tudi tip vseh vrst. Girardov paradoks kaže, da ne moremo imeti (1), (2) in (3) hkrati. Izbira Martina Löfa je bila, da odvzame (2), in omejila je teorijo tipa, da je predikativna (in res se je pojem vesolja prvič pojavil v teoriji tipa kot prediktivna različica tipa vseh vrst). Nadomestna izbira odvzema (3) je obravnavana v Coquand 1986.

7. Enostranske fundacije

Povezava med teorijo tipov, teorijo množic in teorijo kategorij dobi novo luč z delom o Univalentnih temeljih (Voevodsky 2015) in Aksiom univalencije. To bistveno vključuje razširitev teorije vrst, opisane v prejšnjem razdelku, zlasti odvisnih vrst, pogled na predloge kot tipe in pojem vesolja tipov. Ta razvoj je pomemben tudi za razpravo o pojmu strukture, katerega pomen je bil na primer poudarjen v Russellu 1959.

Martin-Löf 1975 [1973] je uvedel novo osnovno vrsto (mathbf {Id} _A (a, b)), če sta (a) in (b) v vrsti (A), ki jih lahko razumemo kot vrsto dokazov o enakosti elementa (a) in (b). Pomembna značilnost te nove vrste je, da jo je mogoče ponoviti, tako da lahko upoštevamo tip (mathbf {Id} _ { mathbf {Id} _A (a, b)} (p, q)), če (p) in (q) sta tipa (mathbf {Id} _A (a, b)). Če pomislimo na vrsto kot na vrsto posebne vrste, je seveda domnevati, da je takšna vrsta dokazov o enakosti vedno naseljena za vsaka dva dokaza enakosti (p) in (q). Zares intuitivno se zdi, da obstajata kvečjemu dokaz enakosti med dvema elementoma (a) in (b). Presenetljivo sta Hofmann in Streicher 1996 zasnovala model teorije odvisnih vrst, kadar to ni veljavno,to je model, kjer sta lahko različna dokaza, da sta dva elementa enaka. V tem modelu tip interpretira groupoid, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa niz izomorfizmov med (a) in (b), ki jih lahko imajo več elementov. Obstoj tega modela pomeni, da v teoriji tipa na splošno ni mogoče dokazati, da ima vrsta enakosti kvečjemu en element. Ta skupinska interpretacija je bila posplošena na naslednji način, kar daje intuitivno razlago vrste identitete. Tip se razlaga s topološkim prostorom, do homotopije, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa razlaga tip poti, ki povezuje (a) in (b). (Glej Awodey in sod. 2013 in [HoTT 2013, Drugi internetni viri].)tip interpretira groupoid, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa niz izomorfizmov med (a) in (b), ki jih je lahko več element. Obstoj tega modela pomeni, da v teoriji tipa na splošno ni mogoče dokazati, da ima vrsta enakosti kvečjemu en element. Ta skupinska interpretacija je bila posplošena na naslednji način, kar daje intuitivno razlago vrste identitete. Tip se razlaga s topološkim prostorom, do homotopije, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa razlaga tip poti, ki povezuje (a) in (b). (Glej Awodey in sod. 2013 in [HoTT 2013, Drugi internetni viri].)tip interpretira groupoid, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa niz izomorfizmov med (a) in (b), ki jih je lahko več element. Obstoj tega modela pomeni, da v teoriji tipa na splošno ni mogoče dokazati, da ima vrsta enakosti kvečjemu en element. Ta skupinska interpretacija je bila posplošena na naslednji način, kar daje intuitivno razlago vrste identitete. Tip se razlaga s topološkim prostorom, do homotopije, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa razlaga tip poti, ki povezuje (a) in (b). (Glej Awodey in sod. 2013 in [HoTT 2013, Drugi internetni viri].)Obstoj tega modela pomeni, da v teoriji tipa na splošno ni mogoče dokazati, da ima vrsta enakosti kvečjemu en element. Ta skupinska interpretacija je bila posplošena na naslednji način, kar daje intuitivno razlago vrste identitete. Tip se razlaga s topološkim prostorom, do homotopije, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa razlaga tip poti, ki povezuje (a) in (b). (Glej Awodey in sod. 2013 in [HoTT 2013, Drugi internetni viri].)Obstoj tega modela pomeni, da v teoriji tipa na splošno ni mogoče dokazati, da ima vrsta enakosti kvečjemu en element. Ta skupinska interpretacija je bila posplošena na naslednji način, kar daje intuitivno razlago vrste identitete. Tip se razlaga s topološkim prostorom, do homotopije, tip (mathbf {Id} _A (a, b)) pa razlaga tip poti, ki povezuje (a) in (b). (Glej Awodey in sod. 2013 in [HoTT 2013, Drugi internetni viri].)b)) se razlaga po vrsti poti, ki povezujeta (a) in (b). (Glej Awodey in sod. 2013 in [HoTT 2013, Drugi internetni viri].)b)) se razlaga po vrsti poti, ki povezujeta (a) in (b). (Glej Awodey in sod. 2013 in [HoTT 2013, Drugi internetni viri].)

Voevodsky 2015 je uvedel naslednjo stratifikacijo vrst. (Ta stratifikacija je deloma motivirana s to razlago tipa kot topološkega prostora, vendar ga je mogoče razumeti neposredno brez sklicevanja na to interpretacijo.) Pravimo, da je tip (A) predlog, če imamo (mathbf {Id} _A (a, b)) za kateri koli element (a) in (b) (A) (to pomeni, da ima tip (A) kvečjemu en element). Pravimo, da je tip (A) niz, če je tip (mathbf {Id} _A (a, b)) predlog za kateri koli element (a) in (b) (A). Pravimo, da je tip (A) grouppoid, če je tip (mathbf {Id} _A (a, b)) niz za kateri koli element (a) in (b) (A). Utemeljitev te terminologije je, da je mogoče le z uporabo teorije pravil pokazati, da je kakršno koli takšno vrsto resnično mogoče razumeti kot skupino v običajnem kategoričnem smislu,kjer so predmeti elementi te vrste, je množica morfizmov med (a) in (b) predstavljena s skupom (mathbf {Id} _A (a, b)). Sestava je dokaz prehodnosti enakosti, identitetni morfizem pa dokaz refleksivnosti enakosti. Dejstvo, da ima vsak morfizem obratno, ustreza dejstvu, da je identiteta simetričen odnos. To stratifikacijo lahko nato razširimo in lahko določimo, kdaj je tip 2-groupoid, 3-groupoid in tako naprej. V tem pogledu se teorija vrst pojavlja kot velika posplošitev teorije množic, saj je množica posebne vrste.morfizem identitete je dokaz refleksivnosti enakosti. Dejstvo, da ima vsak morfizem obratno, ustreza dejstvu, da je identiteta simetričen odnos. To stratifikacijo lahko nato razširimo in lahko določimo, kdaj je tip 2-groupoid, 3-groupoid in tako naprej. V tem pogledu se teorija vrst pojavlja kot velika posplošitev teorije množic, saj je množica posebne vrste.morfizem identitete je dokaz refleksivnosti enakosti. Dejstvo, da ima vsak morfizem obratno, ustreza dejstvu, da je identiteta simetričen odnos. To stratifikacijo lahko nato razširimo in lahko določimo, kdaj je tip 2-groupoid, 3-groupoid in tako naprej. V tem pogledu se teorija vrst pojavlja kot velika posplošitev teorije množic, saj je množica posebne vrste.

Voevodsky 2015 uvaja tudi pojem enakovrednosti med tipi, pojem, ki na enoten način posplošuje pojmovanja logične enakovrednosti med propozicijami, bijekcija med množicami, kategorično enakovrednost med skupinami itd. Pravimo, da je zemljevid (f: A / pravica B) enakovrednost, če je za kateri koli element (b) v (B) vrsta parov (a, p), kjer (p) je tipa (mathbf {Id} _B (fa, b)), je predlog in je naseljen. To močno izraža, da je element v (B) slika natančno enega elementa v (A), in če sta nastavljena (A) in (B), obnovimo običajni pojem bijekcije med množicami. (Na splošno je, če je (f: A / rightarrow B) enakovrednost, potem imamo zemljevid (B / rightarrow A), ki ga lahko razumemo kot obratno (f).) Lahko se na primer pokaže, da je identitetni zemljevid vedno enakovreden. Naj bo (text {Equiv} (A, B)) vrsta parov (f, p), kjer sta (f: A / pravica B) in (p) dokaz, da (f) je enakovrednost. Z dejstvom, da je identitetni zemljevid enakovreden, imamo element (text {Equiv} (A, A)) za katero koli vrsto (A). To pomeni, da imamo zemljevid

(mathbf {Id} _U (A, B) rightarrow / text {Equiv} (A, B))

in Aksiom enotnosti pravi, da je ta zemljevid enakovreden. Predvsem imamo posledice

(text {Equiv} (A, B) rightarrow / mathbf {Id} _U (A, B))

in torej, če obstaja enakovrednost med dvema majhnima vrstama, so ti tipi enaki.

Ta Aksiom je mogoče razumeti kot močno obliko načela ekstenzivnosti. Dejansko posplošuje Aksiom ekspozicionalnosti predloga, ki ga omenja Church 1940, ki pravi, da sta dve logično enakovredni predlogi enaki. Presenetljivo pomeni tudi, da je Aksiom razširitve funkcij, Aksiom 10 v Cerkvi 1940, ki pravi, da sta dve točkovno enaki funkciji enaki (Voevodsky 2015). Neposredno pomeni tudi, da sta dva izomorfna niza enaka, da sta dva kategorično enakovredna skupinapoida enaka in tako ena.

To je mogoče uporabiti za oblikovanje pojma o prevozu konstrukcij (Bourbaki 1957) po enakovrednosti. Na primer, naj bo (MA) vrsta monoidnih struktur na množici (A): to je vrsta tupolov (m, e, p), kjer je (m) binarna operacija na (A) in (e) element (A) in (p) dokaz, da ti elementi ustrezajo običajnim monoidnim zakonom. Pravilo zamenjave enakega z enakim ima obliko

(mathbf {Id} _U (A, B) rightarrow MA / rightarrow MB)

Če obstaja bekcija med (A) in (B), sta enaka z aksiomom enotnosti in lahko uporabimo to posledico za prenos katere koli monoidne strukture (A) v monoidno strukturo (B).

Ta okvir lahko uporabimo tudi za izboljšanje razprave Russell 1959 o pojmu strukture. Na primer, naj bo Monoid vrsta parov (A, p), kjer je (p) element (MA). Dva taka para (A, p) in (B, q) sta izomorfna, če obstaja bijekcija (f) od (A) do (B), tako da je (q) enako prevozu strukture (p) vzdolž (f). Posledica Aksioma enotnosti je, da sta dva izomorfna elementa tipa Monoidso enake in zato deli enake lastnosti. Upoštevajte, da tak splošni prenos lastnosti ni mogoč, če so strukture oblikovane v določenem teoretičnem okviru. Dejansko je v določenem teoretičnem okviru mogoče formulirati lastnosti s pomočjo članstvenih razmerij, na primer lastnost, ki jo nosilec strukture strukture vsebuje naravno število (0), lastnost, ki je izomorfizmi na splošno ne ohranijo. Intuitivno postavljeni teoretični opis strukture ni dovolj abstrakten, saj lahko govorimo o načinu gradnje te strukture. Ta razlika med teorijo množic in teorijo tipov je še ena ponazoritev, da J. Reynolds 1983 karakterizira tipno strukturo kot »sintaktično disciplino za uveljavljanje stopnje abstrakcije«.

Bibliografija

  • Aczel, P., 1978, “Tip teoretična razlaga teorije konstruktivnih množic”, Logični kolokvij ’77, Amsterdam: Severna Holandija, 55–66.
  • Andrews, P., 2002, Uvod v matematično logiko in teorijo tipov: k resnici skozi dokazovanje (Applied Logic Series: Letnik 27), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, druga izdaja.
  • Awodey, S., Pelayo, A., Warren, M. 2013, “Axiom of Univalence in Homotopy Type Theory”, Obvestila Ameriškega matematičnega društva, 60 (9): 1157–1164.
  • Barendregt, H., 1997, “Vpliv lambda računanja na logiko in računalništvo”, Bilten simbolične logike, 3 (2): 181–215.
  • –––, 1992, Lambda izračuna s tipi. Priročnik logike računalništva, letnik 2, Oxford, New York: Oxford University Press, 117–309.
  • Bell, JL, 2012, "Vrste, garniture in kategorije" v priročniku za zgodovino logike Akihiro Kanamory. Zvezek 6: Kompleti in razširitve v dvajsetem stoletju, Amsterdam: Severna Holandija.
  • Bourbaki, N., 1958, Théorie des Ansambli, 3. izdaja, Pariz: Hermann.
  • de Bruijn, NG, 1980, "Raziskava projekta AUTOMATH", v knjigi HB Curry: eseji o kombinatorni logiki, lambda računanju in formalizmu, London-New York: Academic Press, 579–606.
  • Burgess JP in Hazen AP, 1998, „Predikativna logika in formalni aritmetični vir“, Notre Dame J. Formal Logic, 39 (1): 1–17.
  • Buchholz, W. in K. Schütte, 1988, Proof teorija nepredvidljivih analiznih podsistemov (Studies in Proof Theory: Monograph 2), Neapelj: Bibliopolis.
  • Church, A., 1940, „Formulacija preproste teorije tipov“, Journal of Symbolic Logic, 5: 56–68
  • –––, 1984, „Russellova teorija identitete propozicij“, Philosophia Naturalis, 21: 513–522
  • Chwistek, L., 1948, Meje znanosti: oris logike in metodologije točnih znanosti, London: Routledge in Kegan Paul.
  • Coquand, T., 1986, "Analiza Girardovega paradoksa", Zbornik simpozija IEEE o logiki računalništva, 227–236.
  • –––, 1994, „Nov paradoks v teoriji vrst“, Št. Logika najdena. Matematika. (Zvezek 134), Amsterdam: Severna Holandija, 555–570.
  • du Bois-Reymond, P., 1875, „Ueber asymptotische Werthe, infintaere Appproximationen und infitaere Aufloesung von Gleichungen,“Mathematische Annalen, 8: 363–414.
  • Feferman, S., 1964, „Sistemi predikativne analize“, Journal of Symbolic Logic, 29: 1–30.
  • Ferreira, F. in Wehmeier, K., 2002, "O konsistentnosti fragmenta Delta-1-1-CA v Fregeovem Grundgesetzeju", Journal of Philosophic Logic, 31: 301–311.
  • Girard, JY, 1972, Interpretation fonctionelle et eleimination des coupures dans l'arithmetique d'ordre superieure, Ti d'Etat, Université Paris 7.
  • Goldfarb, Warren, 2005. "Na poti Godel v: Vpliv Rudolfa Carnapa." Bilten simbolične logike 11 (2): 185–193.
  • Gödel, K., 1995, Zbrana dela, zvezek III, Neobjavljeni eseji in predavanja, Oxford: Oxford University Press, 1995.
  • –––, 1931, „Über formal untentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“, Monatshefte fü Mathematik und Physik, 38: 173–198.
  • –––, 1944, „Russelova matematična logika“, v filozofiji Bertranda Russella, PA Schilpp (ur.), Evanston: Northwestern University Press, 123–153.
  • –––, 1958, „Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes“, Dialectica, 12: 280–287.
  • Heck, R., Jr., 1996, "Doslednost predikativnih fragmentov Fregeovega Grundgesetze der Arithmetik," Zgodovina in filozofija logike, 17 (4): 209-220.
  • van Heijenoort, 1967, Od Fregea do Gödela. Izvorna knjiga o matematični logiki 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Hindley, R., 1997, Osnovna preprosta vrsta teorije, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hodges, W., 2008, „Tarski o metodi Padoe: testni primer za razumevanje logikov drugih tradicij“, v Logiki, Navya-Nyāya in Applications: Homage Bimal Krishna Matilal, Mihir K. Chakraborti idr. (ur.), London: College Publications, str. 155–169
  • Hofmann, M. in Streicher, Th. 1996, "Groupoidna interpretacija teorije vrst", v petindvajsetih letih konstruktivne teorije vrst (Oxford Logic Guides: letnik 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 83–111.
  • Howard, WA, 1980, »Pojem formule kot vrste konstrukcije«, v HB Curry: eseji o kombinatorni logiki, lambda računu in formalizmu, London, New York: Academic Press, 480–490.
  • Hurkens, AJC, 1995, „Poenostavitev Girardovega paradoksa. Natipkani lambda izračuni in aplikacije”, v predavanjih s predavanji iz računalništva (letnik 902), Berlin: Springer: 266–278.
  • Lambek, J., 1980. "Od (lambda) - računanje do kartezijanskih zaprtih kategorij" v knjigi HB Curry: eseji o kombinirani logiki, (lambda) - računanje in formalizem, J. Seldin in J. Hindley (ur.), London, New York: Academic Press. 375–402.
  • Lambek, J. in Scott, PJ, 1986, Uvod v kategorično logiko višjega reda (Cambridge Studies in Advanced Mathematics: letnik 7), Cambridge: Cambridge University Press; ponatis 1988.
  • Lawvere, FW in Rosebrugh, R., 2003, Garniture za matematiko, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Martin-Löf, P., 1970, Opombe o konstruktivni matematiki, Stockholm: Almqvist & Wiksell.
  • –––, 1971, Teorija vrst, Tehnično poročilo 71–3, Stockholm: Stockholmska univerza.
  • –––, 1998, „Intuitionistična teorija vrst“, v petindvajsetih letih teorije konstruktivne vrste (Oxford Logic Guides: letnik 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 127–172.
  • –––, 1975 [1973], „Intuitionistična teorija vrst: predikativni del“, v Logičnem kolokviju '73 (Zbornik logičnega kolokvija, Bristol 1973) (Študije logike in temelji matematike: letnik 80), HE Rose in JC Shepherdson (ur.), Amsterdam: Severna Holandija, 73–118.
  • Myhill, J., 1974, "Nedoločljivost nabora naravnih števil v razslojeni Principiji", v Bertrand Russell's Philosophy, G. Nakhnikian (ur.), London: Duckworth, 19–27.
  • Miquel, A., 2001, Le Calcul des Constructions impplicite: syntaxe et sémantique, Thèse de doctorat, Université Paris 7.
  • –––, 2003, „Močno normaliziranje Curry-Howard-ove korespondence za teorijo množic IZF“, v računalniški logiki (predavanja v računalništvu, 2803), Berlin: Springer: 441–454.
  • Oppenheimer, P. in E. Zalta, 2011, »Odnosi glede na funkcije v temeljih logike: tip-teoretične premisleki«, Journal of Logic and Computation, 21: 351–374.
  • Palmgren, Erik, 1998, "O vesoljih v teoriji tipa", v petindvajsetih letih teorije konstruktivnega tipa (Oxford Logic Guides: letnik 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 191–204.
  • Poincaré, 1909, »H. La logique de l'infini”Revue de metaphysique et de morale, 17: 461–482.
  • Prawitz, D., 1967, »Popolnost in Hauptsatz za logiko drugega reda«, Teorija, 33: 246–258.
  • –––, 1970, „O dokazni teoriji matematične analize“, v Logiki in vrednosti (eseji, posvečeni Thorildu Dahlquistu na njegov petdeseti rojstni dan), Filosofiska Studier (Filosof. Föreningen och Filosof. Inst.), Št. 9, Uppsala: Univerza v Uppsali, 169–180.
  • Quine, W., 1940, "Pregled cerkve" Formulacija preproste teorije tipov "," Journal of Symbolic Logic, 5: 114.
  • Ramsey, FP, 1926, "Temelji matematike", Proceedings of London Mathematical Society, s2–25 (1), 338–384.
  • Russell, B., 1903, Principi matematike, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 1908, „Matematična logika na podlagi teorije tipov“, American Journal of Mathematics, 30: 222–262.
  • –––, 1959, Moj filozofski razvoj, London, New York: Routledge.
  • Russell, B. in Whitehead, A., 1910, 1912, 1913, Principia Mathematica (3 zvezki), Cambridge: Cambidge University Press.
  • Reynolds, J., 1974, "Na poti k teoriji strukture tipa", v programskem simpoziju (Opombe predavanj iz računalništva: letnik 19), Berlin: Springer, 408–425.
  • –––, 1983, „Vrste, abstrakcija in parametrični polimorfizem“, Zbornik 9. mednarodnega računalniškega kongresa IFIP, Pariz, 513–523.
  • –––, 1984, „Polimorfizem ni teoretično nastavljen. Semantika podatkovnih vrst, “Bilješke iz predavanja iz računalništva (letnik 173), Berlin: Springer, 145–156.
  • –––, 1985, „Trije pristopi k strukturi tipa. Matematični temelji razvoja programske opreme ", v predavanju Beležke iz računalništva (letnik 185), Berlin: Springer, 97–138.
  • Schiemer, G. in Reck, EH, 2013, “Logika v tridesetih letih 20. stoletja: Teorija tipov in modelna teorija”, Bilten simbolične logike, 19 (4): 433–472.
  • Schütte, K., 1960, Beweistheorie, Berlin: Springer-Verlag.
  • Scott, D., 1993, “Teoretična alternativa ISWIM, CUCH, OWHY,” Teoretična računalništvo, 121: 411–440.
  • Skolem, T., 1970, Izbrana dela iz logike, Jens Erik Fenstad (ur.), Oslo: Universitetsforlaget.
  • Tait, WW, 1967, "Intenzivne interpretacije funkcij končnega tipa", Journal of Symbolic Logic, 32 (2): 198–212.
  • Takeuti, G., 1955, “O temeljni domnevi GLC: I”, Journal of Mathematical Society of Japan, 7: 249-275.
  • –––, 1967, „Dokazi o skladnosti podsistemov klasične analize“, Anali matematike (druga serija), 86 (2): 299–348.
  • Tarski, A., 1931, „Sur les ansambles definissables de nombres koluti I“, Fundamenta Mathematicae, 17: 210–239.
  • Urquhart, A., 2003, "Teorija vrst", v The Cambridge Companion Bertrandu Russellu, Nicholas Griffin (ur.), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Voevodsky, V., 2015, »Eksperimentalna knjižnica formalizirane matematike, ki temelji na univalentnih temeljih,« Matematične strukture v računalništvu, 25: 1278–1294, dostopna na spletu.
  • Wiener, N., 1914, "Poenostavitev logike odnosov", Zbornik prispevkov iz Cambridgeovega filozofskega društva, 17: 387–390.
  • Weyl, H., 1946, "Matematika in logika", Ameriški matematični mesečnik, 53: 2–13.
  • Zermelo, E., 1908, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen, 65: 261–281.

Akademska orodja

sep man ikona
sep man ikona
Kako navajati ta vnos.
sep man ikona
sep man ikona
Predogled PDF različice tega vnosa pri Društvu prijateljev SEP.
ikona
ikona
Poiščite to temo vnosa pri projektu Internet Filozofija Ontologija (InPhO).
ikona papirjev phil
ikona papirjev phil
Izboljšana bibliografija za ta vnos pri PhilPapers s povezavami do njegove baze podatkov.

Drugi internetni viri

  • Kubota, K., 2018, “Temelji matematike. Genealogija in pregled,”rokopis, osnutek 27. marca 2018.
  • [HoTT 2013], Homotopy Type Theory: Univalent Foundation of Mathematics, Inštitut za napredni študij.

Priporočena: